第05讲 有理数的加法与减法15大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第05讲 有理数的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的加法运算 题型2 有理数加法中的符号问题 题型3 有理数加法在生活中的应用 题型4 有理数加法运算律 题型5 有理数减法运算 题型6 有理数减法的实际应用 题型7 有理数的加减混合运算 题型8 有理数加减中的简便运算 题型9 有理数加减法的错题纠正问题 题型10 有理数加减混合运算的实际应用 题型11 省略加法和括号的形式 题型12 有理数加减法与数轴结合 题型13 有理数加减法与绝对值结合 题型14 有理数加减计算的规律性问题 题型15 有理数加减法的新定义运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的加法 有理数的减法 有理数加减法混合运算 有理数加减法的实际应用 1. 理解有理数加减法的运算法则，明晰减法转加法的本质，能熟记核心运算规律； 2.熟练进行有理数加减常规及简便运算，规避符号错误，提升精准计算能力； 3. 掌握数轴数形结合解题方法，学会分组凑整，掌握加减法解题技巧； 4. 培养严谨的数学逻辑思维，纠正运算惯性思维，养成规范解题的思维习惯； 5. 体会数学运算的严谨性，通过实际应用解题，提升学习数学的兴趣与信心。 学习重点：熟练掌握有理数加减法法则，理解减法变加法的转化思想，精准完成正负有理数的基础运算。熟练运用加法运算律进行简便运算，掌握同号结合、凑整简算技巧，适配各类计算题型。 学习难点：符号处理易错，去括号、减法变号、移动项时极易漏改符号，是运算出错的主要原因。 数轴结合运算与实际应用题难点大，易混淆点的移动规则，难以准确梳理实际数量关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 即时即练 1．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 即时即练 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，灵活运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （2）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （3）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可； （4）根据有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 即时即练 7．___________． 【答案】 【详解】解：． 8．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 即时即练 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 11．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，先化简符号或去绝对值再计算． （1）先将减法化为加法，再合并同类项计算；（2）先去绝对值，再合并同类项计算；（3）直接按顺序进行加减运算；（4）先化简符号，再利用加法结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算，涉及的知识点是有理数的加减法运算法则、绝对值的化简． （1）根据有理数加减法运算法则计算即可． （2）根据有理数加减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型1 有理数的加法运算 【例1】下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 【变式1】计算：___________． 【答案】2 【详解】解：原式． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （3）根据一个数与0相加，仍得这个数计算即可； （4）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （5）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （6）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 题型2 有理数加法中的符号问题 【例2】下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式3】把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 【变式4】计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 题型3 有理数加法在生活中的应用 【例3】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【变式1】下列是我校初一年级5名学生的体重情况， 姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁 体重（千克） 34 45 与平均体重的差 0 最重的与最轻的相差_________千克． 【答案】11 【分析】先根据小颖的体重和与平均体重的差求出平均体重，再得到所有学生的体重，找出最重体重和最轻体重，计算二者的差值即可． 【详解】解：由题意得平均体重为千克， 则小明体重为千克，小京的体重为千克，小宁的体重为千克， ∵， ∴小颖的体重最轻，小刚的体重最重， ∴最重的与最轻的相差千克． 【变式2】某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一） 【分析】先统一质量单位，根据标识含义求出符合标准的质量取值范围，在范围内任选一个值作答即可． 【详解】解：， 最小合格质量为，最大合格质量为， ∴该袋大米符合标准的质量范围为， ∴该袋大米符合标准质量的可以是． 【变式3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 首先列式得到，得到标记线按顺时针转了格，进而求解即可． 【详解】解：∵一组开锁密码为“，，” ∴， ∴标记线按顺时针转了格， ∵ ∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故答案为：． 【变式4】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地南边，相距117千米 (2)这一天共耗油57升 【分析】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 题型4 有理数加法运算律 【例4】计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 【易错警示】 运用交换律、结合律时，切勿丢掉数字前符号；凑整分组要区分正负，同号先结合不易出错。勿混淆加法与乘法运算律，不能随意添括号变符号。多个负数相加易漏负号，分数小数混算先统一形式，避免计算中途符号写错，最后核对正负结果防失误。 【变式1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式2】如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律和结合律的识别；加法交换律形式为；加法结合律形式为，据此判断所使用的运算律即可． 【详解】解：∵原式为，步骤①将其改写为， ∴将的位置从末尾调整到第二位，改变了加数的顺序， ∴应用了加法交换律， ∵步骤②将算式分为，通过添加括号将原式分组计算，改变了加法的运算顺序， ∴应用了加法结合律. ∴①是加法交换律，②是加法结合律． 故选：C． 【变式3】计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 【变式4】计算：． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． 题型5 有理数减法运算 【例5】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将原式转化为加法计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式2】计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型6 有理数减法的实际应用 【例6】二十四节气是中国古代农耕文明的重要组成部分，用来指导农业生产和日常生活．乐乐查询了当地2025年大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为，则两个节气的最高气温相差（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求两个气温的差值，用较高温度减去较低温度，再根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：∵大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为， ∴ 气温差为 ． 【易错警示】 解决温差、高度差等实际问题，牢记减一个数等于加它的相反数。列式时分清被减数与减数，勿颠倒两者顺序。零下、地下数值为负数，代入易漏负号；计算时别直接去掉括号变号，单位、结果正负含义要对应题意，最后检验差值逻辑是否合理。 【变式1】王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【答案】 【分析】由正负数的实际意义，根据给定的标准分，结合有理数的减法运算计算即可． 【详解】解：以优秀成绩分为标准，小刚考试成绩记为分，则小刚这次考试的实际分数为（分）． 【变式2】2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 【变式3】科技助农促发展，丰县的大沙河苹果凭借优良品质，通过网络销售渠道拓宽了销路．果农小李将自家种植的大沙河红富士苹果线上销售，计划每天销售120千克，实际每天销售量与计划量相比有增减，超过计划量记为正，不足记为负．下表是小李第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售量情况（单位：千克） (1)小李第一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售________千克． (2)求小李第一周实际销售苹果的总量． 【答案】(1)20 (2)865千克 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用最大值减去最小值即可求解； （2）通过计算计划总销售量和增减量的总和求实际总销售量． 【详解】（1）解：由题意得，（千克）， 故答案为：； （2）解：（千克）， 答：小李第一周实际销售苹果的总量为千克． 【变式4】今年的“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） (1)10月4日的旅客人数为_____万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数加减法运算，熟练掌握有理数加减法运算法则是解题的关键． （1）从表上可知，10月4日的旅客比10月1日少万人，据此进行计算即可； （2）用最多那天的人数减去最少那天的人数即可； （3）先计算这八天超出6万人的人数变化和，再总人数乘以150即可． 【详解】（1）解：（万人） 故答案为：； （2）解：（万人） 故答案为：； （3）解：（万人） （万元）． 答：黄金周七天的旅游总收入约为6000万元． 题型7 有理数的加减混合运算 【例7】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数加减从左往右计算即可； （2）去括号，再由交换律及结合律进行简便运算． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是加减混合运算； （1）先把互为相反数的两数相加，再计算即可； （2）先计算括号内的运算，再进一步计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算； （1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3】计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及加减简便运算，掌握加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则结合简便方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是先化简算式以及运用运算律简便计算． （1）先去括号，再利用加法交换律和结合律将同号的数先相加即可简化计算并求解； （2）先去括号，再利用加法交换律和结合律将能凑整的两个数先分别相加，最后再合并它们的结果即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 有理数加减中的简便运算 【例8】计算值为________． 【答案】 【分析】通过观察发现，从第2项开始每四个数的和均为0，分别分组计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查规律，有理数的加减混合运算，掌握规律是解题的关键． 【易错警示】 分组简算时不能弄丢数字前的正负号，交换数字要连带符号一起移动。凑整、同号结合别乱添括号，括号前是减号，去括号内部要全部变号。分数小数混算先统一形式，易忽略零散小数与分数，最后核对符号，避免漏算、错变符号导致结果出错。 【变式1】计算：______． 【答案】0 【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果． 【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2013-2014-2015+2016 =（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2009-2010-2011+2012）+（2013-2014-2015+2016） =0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 【变式3】计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确去括号，灵活运用加法运算律简化计算． 先根据去括号法则去掉括号；再将整数部分与分数部分分别结合，进行加减运算． 【详解】解：      【变式4】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟记法则是解决此题的关键，利用运算律可使计算简化． （1）先把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可； （2）把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型9 有理数加减法的错题纠正问题 【例9】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 【易错警示】 错题先定位符号错误：交换数字未连带符号、减号去括号未全变号最常见。区分减法法则，牢记减一个数等于加相反数，切勿直接消去负号。分数小数混算统一形式再计算，分组简算不漏项。订正时标注错因，重新规范步骤，验算正负，避免只改答案不梳理运算规则。 【变式1】计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)交换；结合 (2)三 (3)见解析 【分析】本题主要查了有理数的加减混合运算： （1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【详解】（1）解：小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律； 故答案为：交换；结合． （2）解：她从第三步开始出现错误； 故答案为：三． （3）解：原式 ． 【变式2】在计算：“10﹣3”时，甲同学的做法如下： 10﹣3﹣ ＝10﹣（﹣3﹣）① ＝10+（﹣3）② ＝7③ 在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤 　 　．（写出错误所在行的序号） 这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，　 　．请改正甲同学的计算过程． 【答案】①；取相同符号，并把绝对值相加；计算过程见解析 【分析】按照有理数的加减运算法则，连减去两个有理数，相当于加上这两个数的相反数的和． 【详解】在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是①， 这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加． 10﹣3 ＝10﹣ ＝10﹣4 ＝6． 故答案为：①；取相同符号，并把绝对值相加． 【点睛】本题考查有理数加减运算，添括号时，正负号的处理是关键． 【变式3】计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：____________； (2)请指出她从第____________步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律． 故答案为：加法的交换律、结合律； （2）解：小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误． 理由：，而不是， 故答案为：三； （3）解： ． 【变式4】阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 题型10 有理数加减混合运算的实际应用 【例10】2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【答案】B 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 【详解】解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【答案】A 【分析】只需将所有收支数据相加，根据结果的正负判断最终收支情况即可． 【详解】解：∵将所有收支数据相加，得， 又∵题目规定正数表示收入，结果为正数， ∴妈妈当天微信收支的最终结果是收入49.00元， 故选A． 【变式2】一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 【答案】5 【分析】本题考查重叠问题，熟练掌握容斥原理与韦恩图是解题关键． 先计算出只答对第一题的人数，再用总人数减去只答对第一题和答对第二题的人数即可． 【详解】解：由题意可知，只答对第一题的人数为人， ∴两道题都错的有人． 故答案为：5． 【变式3】以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 【答案】242 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，根据正负数的意义，逐日计算票房收入，并比较得出最高值． 【详解】解：10月9日票房：万元； 10月10日票房：万元； 10月11日票房：万元； 10月12日票房：万元； 10月13日票房：万元； 10月14日票房：万元； 10月15日票房：136+4=140万元． 比较上述票房，最高为10月12日的242万元． 故答案为：242． 【变式4】当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 题型11 省略加法和括号的形式 【例11】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 【变式1】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 【变式2】把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】将写成省略加号的和的形式为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据题意直接去括号即可，特别要注意符号的变化． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型12 有理数加减法与数轴结合 【例12】若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，熟练掌握其性质及求法是做题的关键．根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等，可得点表示的数是，再求与点相距个单位长度的点表示的数，计算的值即可． 【详解】解：根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等， 则点表示的数是， 又∵与点相距个单位长度的点有两个， ∴该点表示的数为：， 即符合条件的点表示的数为：或． 故选：C． 【易错警示】 数轴上右加左减，极易混淆移动方向。正数向右移、负数向左移，列式时不要颠倒加减。求两点距离要用大数减小数，不可直接两数相减不判断大小。移动类题目分步标清起点、移动长度与方向，区分点的位置和线段长度，避免符号、方向判断失误。 【变式1】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 【变式2】数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 【变式3】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了数轴的应用、数轴上两点之间的距离、有理数的加减法等知识点，熟练掌握分类讨论是解题的关键． 分点C是的中点、点D是的中点、点O是的中点三种情况求解即可． 【详解】解：∵原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d， ∴①当点C是的中点，， ，即； ②当点D是的中点时，，即； ③当点O是的中点时，，即． 综上所述，d的值为6或或． 【变式4】情境  如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 操作：（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）如图2，有一根小木棒，其中点C和原点重合，点D表示的数为3，现将木棒沿着数轴以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时木棒也沿着该数轴以个单位长度的速度向右运动，求这两根木棒运动4秒后的距离（即点D到点A的距离）． 探究：一天，嘉嘉去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年后才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”那么嘉嘉再过5年的年龄是多少？（借助数轴解题更方便） 【答案】操作：（1）8；（2）；探究：再过5年后嘉嘉的年龄为20岁 【分析】本题主要考查了一个线段模型的运用，数轴上两点间的距离，解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄． 操作：（1）根据图象可知3倍木棒的长为，即得答案； （2）根据，求出A点B点所表示的数，可求出4秒后点D点A所表示的数，即可求解； 探究：运用（1）（2）中“数轴”上的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一条线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】操作： 解：（1）观察数轴可知数轴上表示6的点与表示30的点的距离是三根木棒的长，即， 所以这根木棒的长为； （2）因为， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 4秒后点D的位置为，点A的位置为， 则此时两根木棒的距离为． 探究：当奶奶像嘉嘉这样大时，嘉嘉为岁， 所以奶奶与嘉嘉的年龄差为（岁）， 所以嘉嘉现在的年龄为（岁）， 所以再过5年后嘉嘉的年龄为20岁． 题型13 有理数加减法与绝对值结合 【例13】综合与实践 阅读：我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，本学期我们学习的数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，利用数轴我们发现了很多重要的规律． 表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 理解： （1）点A表示的数为，点B表示的数为1，画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来； （2）线段的长是____； 应用： （3）在数轴上如果表示数a和5的两个点之间的距离是12，则可记为，那么数a是____； （4）在数轴上表示数a的点位于与1之间，则的值是____； 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）或17；（4）4 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，有理数的加减法，熟练掌握绝对值的意义，运用“数形结合”的思想解决问题是解题的关键． （1）画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，分两种情况即可求解； （4）由题意得，数a与的距离为，数a与1的距离为，将二者相加即可求解． 【详解】解：（1）画出数轴如下： （2）线段的长是， 故答案为：3； （3）当时，则， 当时，则， ∴数是或17； 故答案为：或17； （4）由题意得，数a与的距离为， 数a与1的距离为， ∴， 故答案为：4． 【变式1】通过学习绝对值，我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离．，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为．请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是 ． (2)点，，在数轴上分别表示数、、，那么到点、点的距离之和可表示 （用含绝对值的式子表示）． (3)的最小值为 ． 【答案】(1)2；1或7 (2) (3)3 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离． （2）根据数轴上两点之间的距离公式可表示A到B的距离与A到C的距离之和． （3）结合数轴，可得当时，有最小值为3． 【详解】（1）解：数轴上表示2和4的两点之间的距离是； 数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是或． （2）解：A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为． （3）解：如图，表示数对应的点与数，数对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值为． 【变式2】我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离．若有理数x满足，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意即数轴上x对应的点到3和对应的点的距离和为9，因为数轴上3和对应的点的距离为7，故可确定数轴上x对应的点在3对应的点的右侧或对应的点的左侧，据此解答即可． 【详解】解：根据题意即表示数轴上x对应的点到3和对应的点的距离和为9， ∵数轴上3和对应的点的距离为7， ∴数轴上x对应的点在3对应的点的右侧或对应的点的左侧， 当x对应的点在3对应的点的右侧时，， 当x对应的点在对应的点的左侧时，， 则或， 故答案为：或4． 【变式3】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______． (2)①若，则______； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为______； (3)有最小值，最小值是______． (4)若，则______． 【答案】(1)6； (2)①1或；②； (3)2028； (4)或． 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值的几何意义，数轴，有理数的加法，一元一次方程的解法，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． （1）利用两数在数轴上所对应的两点之间的距离的意义解答即可； （2）①利用两数在数轴上所对应的两点之间的距离的意义解答即可； ②利用两数在数轴上所对应的两点之间的距离的意义解答即可； （3）利用两数在数轴上所对应的两点之间的距离的意义解答即可； （4）利用分类讨论的方法去掉绝对值符号，得到一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 故答案为：6； （2）①若， 数轴上表示x与的两点之间的距离是2， 数轴上表示1与的两点之间的距离是2，数轴上表示与的两点之间的距离是2， 或 故答案为：1或； ②所表示的点到表示2和的点的距离之和为5， ， ， 为整数， ，，，0，1，2， 所有符合条件的整数的和为 故答案为：； （3）∵表示a所表示的点到表示3和的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值是， 故答案为：2028； （4）当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上，或 故答案为：或 【变式4】同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义． (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得．则 ； (4)数轴上，点表示原点，点、分别表示负整数和正整数，若，且的长是长的倍，则 ． 【答案】(1)11 (2)11或； (3)、、、； (4)． 【分析】（1）先算出与的差，再求出差的绝对值即可； （2）根据绝对值的几何意义理解为x与5的距离为6，由此得到x的值； （3）根据两数在数轴上所对应的两点之间的距离即可解答即可； （4）由点表示原点，点、分别表示负整数和正整数，，且的长是长的倍，得，，进而求得、的值，从而即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：11； （2）解：可理解为数轴上到的点的距离为个单位的点所表示的数， ∴这个数为或， 故答案为：或； （3）解：由题意知表示数到和的距离之和，且， ∴， ∴整数为、、、， 故答案为：、、、． （4）解：∵点表示原点，点、分别表示负整数和正整数，，且的长是长的倍， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 题型14 有理数加减计算的规律性问题 【例14】任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数和，底数为3的分裂成3个奇数和，底数为4的分裂成4个奇数和， ∴分裂成m个奇数， 所以，从到的奇数的个数为：， ， ， ∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数， ，， ∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 【变式1】已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则的值为（　　） A．109 B．149 C．169 D．219 【答案】A 【分析】根据题意的式子得出当，由此解答即可． 【详解】解：已知：， ， ， …， 则， 当时，原式为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据题目所给式子得出规律是解本题的关键． 【变式2】符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】观察下列各式： ；；；… (1)按照上述规律，第4个等式是：_________________； (2)运用你发现在规律计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，抽象概括出规律并能准备计算是解题的关键． （1）按照上面规律写出第四个等式即可； （2）根据题目规律可发现，，再利用有理数的加减法计算即可； （3）由规律将式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）解：按照上述规律，第4个等式是， 故答案为：； （2）解：按照上述规律，，， 那么 （3）解： ． 【变式4】观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （2）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （3）先将绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． 题型15 有理数加减法的新定义运算 【例15】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则________． 【答案】 【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可． 【详解】根据题意得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合运算，关键是根据题意列式解答． 【变式1】阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1) 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值 (2)加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析. 【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则； （2）对于加乘运算的交换律， 可举例进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例 进行运算后再判断即可. 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；． 归纳可得： 两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）解：加法的交换律仍然适用， 例如： 所以 故加法的交换律仍然适用． 加法的结合律不适用， 例如： 所以 故加法的结合律不适用． 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键. 【变式2】【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【答案】【计算】①②③④【探究一】存在，【探究二】【探究三】成立，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的加法以及绝对值的意义，理解新定义的运算法则是关键． 【计算】根据运算法则计算即可． 【探究一】按照运算法则确定． 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，，分情况求解即可． 【详解】解：【计算】①； ②； ③； ④； 【探究一】存在，当时，； 【探究二】∵在计算时，得到的结果是，根据定义可知：与同号，， ∴； 【探究三】成立， ∵两个有理数的结果是负数， ∴a、b异号，， ①当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； ②当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； 综上，等式对任意非零有理数c都成立． 【变式3】阅读下列内容，并完成相关问题： 嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加． 特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________； (2)计算：． 【答案】(1)正；负；绝对值；绝对值 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：正；负；绝对值；绝对值． （2）解： ． 【变式4】小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正；负；都得0；这个数的绝对值 (2)①0；②不成立，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；都得0；这个数的绝对值； （2）解：① ， 故答案为：0； ②不成立，理由如下： ，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 1．计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为， ∴． 2．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米． 3．著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的“异名相益”的运算规则，先确定结果的符号，再确定括号内的内容，即可选出正确选项． 【详解】解：对于，被减数为，符号为负，两数的绝对值分别为和，绝对值的和为， ∴． 4．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 5．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A． B．8 C．或 D．或8 【答案】C 【分析】点A可能向右移动到点B，或者向左移动到点B，因此分两种情况讨论求解即可． 【详解】解∶当点A向右移动到点B时，点B表示的数为； 当点A向左移动到点B时，点B表示的数为． 综上所述，点B表示的数为或． 6．北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 7．两个数的和为正数，那么这两个数是（　　） A．正数 B．负数 C．至少有一个为正数 D．一正一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法法则，对各选项逐一分析判断，即可得到正确结果． 【详解】解：如果两个数的和是正数，这两个数可以都是正数，也可以是一正一负（例如）， ∴A错误； ∵两个负数相加的和一定是负数，不可能为正数， ∴B错误； ∵如果两个数都不是正数，那么它们的和一定不是正数， ∴和为正数时，至少有一个数为正数， ∴C正确； 当时，和为正数，但两个数都是正数，不是一正一负， ∴D错误． 8．小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻”游戏，现在将，，，，，，，，分别填入如图所示的圆图内，使横、竖以及内外两图上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加、减法的应用．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， ∴， ， 剩下两个数为和，且满足， ∵当时，，则， 当时，，则． 故选：A． 9．如果，，且，则的值等于（   ） A．或10 B．2或 C．或10 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法． 根据绝对值的性质求出m和n的值，根据可知m和n异号，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． 又∵， ∴m和n异号． 当时，； 当时，； ∴的值为或2． 故选：D． 10．按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 【详解】解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. 11．计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 12．_____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 13．在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 【答案】或3 【详解】解：（1）当所求点在点A的左侧时，可得所求点表示的数为； （2）当所求点在点A的右侧时，可得所求点表示的数为， 故与点相距5个单位长度的点表示的数是或3． 14．将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是_______． 【答案】30 【分析】本题考查了相对面，有理数的混合运算，理解相对面，有理数加减运算法则是关键． 根据图示找出相对面上的数字，再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据图1，图2可知， 数字8的邻面是9，11， 数字的邻面是，， ∴的相对面是，的相对面是，的相对面是， ∴图2中，叠放的图形中顶层的数字依次为：，和为， 第二层的数字依次为：，和为， 第一层的数字依次为：，和为， ∴该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是， 故答案为：30 ． 15．若，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，根据绝对值的意义，求出的值，根据，得出，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或 16．规定表示运算，表示运算．则+=______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据定义运算列式，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算求解． 【详解】 解：∵表示运算， ∴表示运算， ∵表示运算， ∴表示运算， ∴， 故答案为：． 17．填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 18．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和有理数的加减，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【答案】(1)减少了45吨 (2)7天前，仓库里存有水泥245吨 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过有理数的加减计算确定水泥的变化量． （1）将7天的进出水泥吨数相加，根据结果的正负判断是增多还是减少，结果的绝对值即为变化的吨数； （2）用现有水泥量减去7天的变化量（注意符号），得到7天前的存量． 【详解】（1）解：将7天的进出量相加∶ 结果为负，说明水泥减少了，减少了45吨． （2）现有水泥量是7天后的剩余量，7天前的存量 = 现有量 - 7天的变化量∶． 7天前，仓库里存有水泥245吨． 23．某中学劳技课程布置了一项社会实践活动，通过参与家庭劳动、出售废弃或闲置物品获得一定收入，劳动所得可以自行安排支出．甲同学按照老师要求每周做一次收支记录，下表是他一个月的收支情况（收入“”，支出“”，单位：元）． 时间 第一周 第二周 第三周 第四周 收入 支出 (1)甲同学这个月劳动所得还有剩余吗？如果有剩余，剩余多少元？ (2)若规定：收入元，支出元，则经手金额为元（即经手金额为收入金额与支出金额的和，如收入元，支出元，则经手金额为元），则甲同学这个月经手总金额与元比较，超过或不足多少元？ 【答案】(1)有剩余，剩余元 (2)不足元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用，熟记有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据甲同学一个月的收支情况，由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）根据题意，由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：甲同学这个月劳动所得还有剩余，剩余元； （2）解：由题意可得， ， 甲同学这个月经手总金额与元比较，不足元． 24．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】题目主要考查了有理数的加减混合运算及去绝对值符号，掌握运算法则，熟练去括号、去绝对值是解题关键． （1）根据有理数的加法法则求解即可； （2）根据有理数的减法法则求解即可； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先进行绝对值内的运算，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 25．2025年“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)10月3日游客的人数为________万人？ (2)请判断7天内游客人数最多的是________日？最少的是________日？它们相差________万人？ (3)求这个黄金周期间游客在该风景区的总人数． 【答案】(1) (2)3；7； (3) 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）将9月30日游客人数加上1日、2日增加的人数就是10月3日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； （3）将7天假期中每天的游客人数相加，即可得到总人数． 【详解】（1）解：10月3日游客的人数为：（万人）； 故答案为：4.8； （2）解：10月1日有游客：(万人)； 10月2日游客的人数为(万人)； 10月3日游客的人数为(万人)； 10月4日游客的人数为(万人)； 10月5日游客的人数为(万人)； 10月6日游客的人数为(万人)； 10月7日游客的人数为(万人)； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，两天相差（万人）； 故答案为：3；7；2.2； （3）解：(万人) 答：这个黄金周该地有游客共万人． 26．已定义☆运算，观察下列运算： ；；；；；． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则，再写出下列算式的结果． ______；______； ______；______； (2)计算：______． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算． （1）根据新定义运算的运算法则进行计算即可求解； （2）根据新定义运算的运算法则分步进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，，， 故答案为：，，，； （2）解： ， 故答案为：． 27．对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3)11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ． 故答案为：；； （3）解： ． 28．高斯符号首次出现是在数学家高斯（）的数学著作《算术研究》中，设表示不超过x的最大整数，例如，． (1)求的结果． (2)设，求 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了数学新定义和有理数的计算，读懂题意并准确计算是解题的关键． （1）先取整，再计算即可． （2）根据题意把原式化为：，然后再取整并进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴． 29．观察下列各式： ；；； (1)写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分数运算规律的应用． （1）根据题中所给规律并结合分数运算法则即可得到答案； （2）根据题中所给规律将每个乘法“化”为加法进行运算即可． 【详解】（1）解：第n个等式为； （2）解：原式． 30．对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：452 “好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为小于9的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以 ， ，． 所以， 所以n是“好六数” (3)已知三位自然数m是“好六数”，且（x，y是大于1且小于等于9的正整数）． ①直接写出x与y满足的关系 ； ②若p是m去掉其个位数后的两位数，而q是m去掉其百位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 【答案】(1)不是 (2)； (3)①；②见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的加减运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断452不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，结合说明过程，填写完整步骤即可； （3）①仿照第（2）题的过程，得到，，，再根据“好六数”的定义得到，整理即可得到x与y满足的关系；②由题意得，，，结合，得到，即可说明p与q的和能被3整除． 【详解】（1）解：， ∴452不是“好六数”； 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，． 所以， 所以n是“好六数”． 故答案为：；； （3）解：①， ∴，，， ∵三位自然数m是“好六数”， ∴， 整理得：， ∴x与y满足的关系为； 故答案为：； ②由题意得，，， 由①得， ∴， ∴ ， ∵是大于1且小于等于9的正整数， ∴是正整数， ∴p与q的和能被3整除． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的加法与减法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数的加法运算 题型2 有理数加法中的符号问题 题型3 有理数加法在生活中的应用 题型4 有理数加法运算律 题型5 有理数减法运算 题型6 有理数减法的实际应用 题型7 有理数的加减混合运算 题型8 有理数加减中的简便运算 题型9 有理数加减法的错题纠正问题 题型10 有理数加减混合运算的实际应用 题型11 省略加法和括号的形式 题型12 有理数加减法与数轴结合 题型13 有理数加减法与绝对值结合 题型14 有理数加减计算的规律性问题 题型15 有理数加减法的新定义运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数的加法 有理数的减法 有理数加减法混合运算 有理数加减法的实际应用 1. 理解有理数加减法的运算法则，明晰减法转加法的本质，能熟记核心运算规律； 2.熟练进行有理数加减常规及简便运算，规避符号错误，提升精准计算能力； 3. 掌握数轴数形结合解题方法，学会分组凑整，掌握加减法解题技巧； 4. 培养严谨的数学逻辑思维，纠正运算惯性思维，养成规范解题的思维习惯； 5. 体会数学运算的严谨性，通过实际应用解题，提升学习数学的兴趣与信心。 学习重点：熟练掌握有理数加减法法则，理解减法变加法的转化思想，精准完成正负有理数的基础运算。熟练运用加法运算律进行简便运算，掌握同号结合、凑整简算技巧，适配各类计算题型。 学习难点：符号处理易错，去括号、减法变号、移动项时极易漏改符号，是运算出错的主要原因。 数轴结合运算与实际应用题难点大，易混淆点的移动规则，难以准确梳理实际数量关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 即时即练 1．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 即时即练 4．计算： (1)； (2)． 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 即时即练 7．___________． 8．计算 (1) (2) (3) (4) 9．计算： (1)； (2)． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 即时即练 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 12．计算： (1)； (2)． 题型1 有理数的加法运算 【例1】下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】计算：___________． 【变式2】计算： (1)； (2) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2 有理数加法中的符号问题 【例2】下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式3】把写成省略加号和括号的形式为________． 【变式4】计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 题型3 有理数加法在生活中的应用 【例3】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列是我校初一年级5名学生的体重情况， 姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁 体重（千克） 34 45 与平均体重的差 0 最重的与最轻的相差_________千克． 【变式2】某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【变式3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【变式4】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 题型4 有理数加法运算律 【例4】计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【易错警示】 运用交换律、结合律时，切勿丢掉数字前符号；凑整分组要区分正负，同号先结合不易出错。勿混淆加法与乘法运算律，不能随意添括号变符号。多个负数相加易漏负号，分数小数混算先统一形式，避免计算中途符号写错，最后核对正负结果防失误。 【变式1】下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 【变式3】计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【变式4】计算：． 题型5 有理数减法运算 【例5】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【变式2】计算的结果等于______． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型6 有理数减法的实际应用 【例6】二十四节气是中国古代农耕文明的重要组成部分，用来指导农业生产和日常生活．乐乐查询了当地2025年大寒时的最高气温为，大暑时的最高气温为，则两个节气的最高气温相差（   ） A． B． C． D． 【易错警示】 解决温差、高度差等实际问题，牢记减一个数等于加它的相反数。列式时分清被减数与减数，勿颠倒两者顺序。零下、地下数值为负数，代入易漏负号；计算时别直接去掉括号变号，单位、结果正负含义要对应题意，最后检验差值逻辑是否合理。 【变式1】王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【变式2】2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【变式3】科技助农促发展，丰县的大沙河苹果凭借优良品质，通过网络销售渠道拓宽了销路．果农小李将自家种植的大沙河红富士苹果线上销售，计划每天销售120千克，实际每天销售量与计划量相比有增减，超过计划量记为正，不足记为负．下表是小李第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售量情况（单位：千克） (1)小李第一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售________千克． (2)求小李第一周实际销售苹果的总量． 【变式4】今年的“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） (1)10月4日的旅客人数为_____万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则黄金周八天的旅游总收入约为多少万元？ 题型7 有理数的加减混合运算 【例7】计算： (1)； (2) 【变式1】计算： (1)； (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算题： (1)； (2)． 【变式4】计算： (1)； (2)； 题型8 有理数加减中的简便运算 【例8】计算值为________． 【易错警示】 分组简算时不能弄丢数字前的正负号，交换数字要连带符号一起移动。凑整、同号结合别乱添括号，括号前是减号，去括号内部要全部变号。分数小数混算先统一形式，易忽略零散小数与分数，最后核对符号，避免漏算、错变符号导致结果出错。 【变式1】计算：______． 【变式2】计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】计算 【变式4】计算 (1) (2) 题型9 有理数加减法的错题纠正问题 【例9】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【易错警示】 错题先定位符号错误：交换数字未连带符号、减号去括号未全变号最常见。区分减法法则，牢记减一个数等于加相反数，切勿直接消去负号。分数小数混算统一形式再计算，分组简算不漏项。订正时标注错因，重新规范步骤，验算正负，避免只改答案不梳理运算规则。 【变式1】计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． 【变式2】在计算：“10﹣3”时，甲同学的做法如下： 10﹣3﹣ ＝10﹣（﹣3﹣）① ＝10+（﹣3）② ＝7③ 在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤 　 　．（写出错误所在行的序号） 这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，　 　．请改正甲同学的计算过程． 【变式3】计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：____________； (2)请指出她从第____________步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【变式4】阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 题型10 有理数加减混合运算的实际应用 【例10】2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【变式1】手机移动支付给生活带来便捷．如下是妈妈11月26日一天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），则妈妈当天微信收支的最终结果是（　　） Luckin coffee 11月26日12：05 快团团 11月26日14：21 微信红包 来自*** 11月26日14：41 A．收入49.00元 B．收入50.00元 C．支出49.00元 D．收入75.00元 【变式2】一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 【变式3】以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 【变式4】当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 题型11 省略加法和括号的形式 【例11】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】把写成省略括号的和的形式为_______________． 【变式3】将写成省略加号的和的形式为_____． 【变式4】请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 题型12 有理数加减法与数轴结合 【例12】若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【易错警示】 数轴上右加左减，极易混淆移动方向。正数向右移、负数向左移，列式时不要颠倒加减。求两点距离要用大数减小数，不可直接两数相减不判断大小。移动类题目分步标清起点、移动长度与方向，区分点的位置和线段长度，避免符号、方向判断失误。 【变式1】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【变式2】数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【变式3】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 【变式4】情境  如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 操作：（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）如图2，有一根小木棒，其中点C和原点重合，点D表示的数为3，现将木棒沿着数轴以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时木棒也沿着该数轴以个单位长度的速度向右运动，求这两根木棒运动4秒后的距离（即点D到点A的距离）． 探究：一天，嘉嘉去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年后才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”那么嘉嘉再过5年的年龄是多少？（借助数轴解题更方便） 题型13 有理数加减法与绝对值结合 【例13】综合与实践 阅读：我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，本学期我们学习的数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，利用数轴我们发现了很多重要的规律． 表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 理解： （1）点A表示的数为，点B表示的数为1，画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来； （2）线段的长是____； 应用： （3）在数轴上如果表示数a和5的两个点之间的距离是12，则可记为，那么数a是____； （4）在数轴上表示数a的点位于与1之间，则的值是____； 【变式1】通过学习绝对值，我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离．，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为．请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是 ． (2)点，，在数轴上分别表示数、、，那么到点、点的距离之和可表示 （用含绝对值的式子表示）． (3)的最小值为 ． 【变式2】我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离．若有理数x满足，则x的值为______． 【变式3】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______． (2)①若，则______； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为______； (3)有最小值，最小值是______． (4)若，则______． 【变式4】同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义． (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得．则 ； (4)数轴上，点表示原点，点、分别表示负整数和正整数，若，且的长是长的倍，则 ． 题型14 有理数加减计算的规律性问题 【例14】任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 【变式1】已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则的值为（　　） A．109 B．149 C．169 D．219 【变式2】符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 【变式3】观察下列各式： ；；；… (1)按照上述规律，第4个等式是：_________________； (2)运用你发现在规律计算： (3)计算： 【变式4】观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 题型15 有理数加减法的新定义运算 【例15】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则________． 【变式1】阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【变式2】【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【变式3】阅读下列内容，并完成相关问题： 嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加． 特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________； (2)计算：． 【变式4】小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 1．计算的结果是（  ） A． B． C．0 D． 2．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 4．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 5．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A． B．8 C．或 D．或8 6．北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 7．两个数的和为正数，那么这两个数是（　　） A．正数 B．负数 C．至少有一个为正数 D．一正一负 8．小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻”游戏，现在将，，，，，，，，分别填入如图所示的圆图内，使横、竖以及内外两图上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 ∴， ， 剩下两个数为和，且满足， ∵当时，，则， 当时，，则． 9．如果，，且，则的值等于（   ） A．或10 B．2或 C．或10 D．或2 10．按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 11．计算的结果等于______． 12．_____． 13．在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 14．将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是_______． 15．若，且，则的值为______． 16．规定表示运算，表示运算．则+=______． 17．填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 18．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 19．计算： (1)； (2) ． 20．计算： (1)； (2)． 21．计算∶ (1) (2) 22．某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 23．某中学劳技课程布置了一项社会实践活动，通过参与家庭劳动、出售废弃或闲置物品获得一定收入，劳动所得可以自行安排支出．甲同学按照老师要求每周做一次收支记录，下表是他一个月的收支情况（收入“”，支出“”，单位：元）． 时间 第一周 第二周 第三周 第四周 收入 支出 (1)甲同学这个月劳动所得还有剩余吗？如果有剩余，剩余多少元？ (2)若规定：收入元，支出元，则经手金额为元（即经手金额为收入金额与支出金额的和，如收入元，支出元，则经手金额为元），则甲同学这个月经手总金额与元比较，超过或不足多少元？ 24．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 25．2025年“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)10月3日游客的人数为________万人？ (2)请判断7天内游客人数最多的是________日？最少的是________日？它们相差________万人？ (3)求这个黄金周期间游客在该风景区的总人数． 26．已定义☆运算，观察下列运算： ；；；；；． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则，再写出下列算式的结果． ______；______； ______；______； (2)计算：______． 27．对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 28．高斯符号首次出现是在数学家高斯（）的数学著作《算术研究》中，设表示不超过x的最大整数，例如，． (1)求的结果． (2)设，求 29．观察下列各式： ；；； (1)写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算：． 30．对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：452 “好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为小于9的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以 ， ，． 所以， 所以n是“好六数” (3)已知三位自然数m是“好六数”，且（x，y是大于1且小于等于9的正整数）． ①直接写出x与y满足的关系 ； ②若p是m去掉其个位数后的两位数，而q是m去掉其百位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $