精品解析：吉林吉林市龙潭区吉化第六中学校2025-2026学年下学期期中质量检测八年级 数学试卷

2025-2026学年下学期期中质量检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个长方形的面积是，其长是，宽是，下列判断正确的是（ ） A. 常量为10、a，变量为b B. 常量为10，变量为a、b C. 常量为10、b，变量为a D. 常量为a、b，变量为10 3. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，， C. 4，5，6 D. 1，1，2 5. 如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A. 40° B. 30° C. 20° D. 15° 6. 如图，已知平行四边形 中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若式子有意义，则的取值范围是______________． 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可） 9. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 10. 小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 11. 如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，发现在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，米，请你想办法求出的长度． 14. 感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 15. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形 ； （2）在图②中以为边作菱形 （除正方形之外）； （3）在图③中以为对角线作平行四边形，且其面积为3． 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 17. 如图，在四边形 中，，，M是的中点，连接，且．求证：四边形 是矩形． 18. 【问题解决】把一张矩形纸片 按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，点A的对应点为，折痕为，连接BE，求证：四边形是菱形； 【拓展研究】在【问题解决】的条件下：若，，求线段的长． 19. 小鹏和父母一起开车旅游．出发前，油箱内有45升汽油，当行驶了180千米时，发现油箱剩余油量为27升（假设行驶过程中汽车每千米的耗油量是相等的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）写出油箱剩余油量（单位：升）与行驶路程（单位：千米）之间的函数解析式； （3）当油箱中剩余油量等于3升时，汽车行驶了多少千米？ 20. 如图，在中，点E是边上任意一点，连接、，点F、G分别是和的中点，连接、． （1）求证： （2）当点E在边上什么位置时，四边形是平行四边形？并证明． 21. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 22. 如图，Rt中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中质量检测 八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及性质，根据二次根式的除法法则可判断A，根据二次根式的性质可判断B和C，根据二次根式的加减法法则可判断D． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确； 故选D． 2. 一个长方形的面积是，其长是，宽是，下列判断正确的是（ ） A. 常量为10、a，变量为b B. 常量为10，变量为a、b C. 常量为10、b，变量为a D. 常量为a、b，变量为10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键．根据常量与变量的定义：一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量判断即可． 【详解】解：是常量，变量是，， 故选：． 3. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可． 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 4. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，， C. 4，5，6 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； B、，能构成直角三角形，符合题意，选项正确； C、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； D、，不能构成直角三角形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是计算两条较小边的平方和于最长边的平方是否相等． 5. 如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A. 40° B. 30° C. 20° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若式子有意义，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，被开方数，且分母， ∴， 解得：． 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可） 【答案】∠ABC=90°或AC=BD． 【解析】 【详解】试题分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可． 解：条件为∠ABC=90°， 理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为∠ABC=90°． 点睛：本题主要考查正方形的判定.熟练运用正方形判定定理是解题的关键. 9. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上表示无理数，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得到，由勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：点，点对应的数分别为，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵点表示的数是， ∴以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为， 故答案为： ． 10. 小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用（单位：元）与所用流量（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，找出超过套餐流量后的起始点和终止点坐标，利用费用变化量除以流量变化量即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当所用流量为时，费用为元，当所用流量为时，费用为元， 则超过套餐内流量后，每流量的费用为：（元）． 11. 如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2． 【详解】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC于点P， ∵正方形ABCD边长为4， ∴BP＝BD＝×4＝2， ∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC， ∴四边形BEPF是矩形， ∴FE＝BP， ∴EF的最小值为BP的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】按照二次根式乘除运算法则，先计算乘除部分，再计算减法，化简后合并即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，发现在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，米，请你想办法求出的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，在，米，米，米， ， ，即， 在中，米， ∴米． 14. 感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．过人的头顶点C作于点E，则，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出． 【详解】解：过人的头顶点C作于点E，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴． 15. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形； （2）在图②中以为边作菱形（除正方形之外）； （3）在图③中以为对角线作平行四边形，且其面积为3． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质作图即可解题； （2）作出四条边相等的四边形即可； （3）确定另一条对角形即可确定四个顶点解题． 【小问1详解】 如图所示，正方形即为所求； 【小问2详解】 如图所示, 菱形即为所求； 【小问3详解】 如图所示，平行四边形即为所求． 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形； （2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 17. 如图，在四边形中，，，M是的中点，连接，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，然后证明，再证明出即可． 【详解】证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形． 18. 【问题解决】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，点A的对应点为，折痕为，连接BE，求证：四边形是菱形； 【拓展研究】在【问题解决】的条件下：若，，求线段的长． 【答案】问题解决：见解析；拓展研究： 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线由面积法求线段的长． 问题解决：证得，得四边形四条边相等是菱形； 拓展研究：连接，得，利用，易得的长． 【详解】问题解决：由折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． 拓展研究：连接，在中，． 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，· ∵四边形的面积， ∴， 解得． 19. 小鹏和父母一起开车旅游．出发前，油箱内有45升汽油，当行驶了180千米时，发现油箱剩余油量为27升（假设行驶过程中汽车每千米的耗油量是相等的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）写出油箱剩余油量（单位：升）与行驶路程（单位：千米）之间的函数解析式； （3）当油箱中剩余油量等于3升时，汽车行驶了多少千米？ 【答案】（1）该车平均每千米的耗油量为0.1升． （2）函数解析式为． （3）汽车行驶了420千米． 【解析】 【分析】（1）根据已知的油量变化计算出单位耗油量即可； （2）根据“剩余油量=原有油量-总耗油量”写出函数解析式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （3）代入剩余油量的值求解行驶路程． 【小问1详解】 解：行驶180千米的总耗油量（升）， 平均每千米耗油量为（升）； 【小问2详解】 解：设行驶路程为千米，油箱剩余油量为升，行驶千米的总耗油量为升， 因此剩余油量满足， 结合实际意义，行驶路程非负，剩余油量也非负，因此， 解得， 因此函数解析式为； 【小问3详解】 解：当剩余油量升时，将代入函数解析式得， 解得， 答：当油箱中剩余油量等于3升时，汽车行驶了420千米． 20. 如图，在中，点E是边上任意一点，连接、，点F、G分别是和的中点，连接、． （1）求证： （2）当点E在边上什么位置时，四边形是平行四边形？并证明． 【答案】（1）见解析 （2）当点E在边上的中点时，四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明是是中位线，即有，问题随之得解； （2）结合三角形中位线的性质有，，再根据点E在边上的中点，可得，即有且，问题得解． 【小问1详解】 又点F、G分别是AE和BE的中点， 是的中位线． ， 中，， ． 【小问2详解】 当点E在边上的中点时，四边形是平行四边形． 证明：在中，． 是的中位线， ． ． 点E在边上的中点， ． ． 且． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的判定与性质，是解答本题的关键． 21. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，Rt中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE＝DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）证明：由题意得：CD＝2t，AE＝t， 又∵在Rt中，∠C＝30°， ∴DF＝CD＝t， ∴DF＝AE； （2）能，当t＝10时，▱AEFD是菱形； （3）当t＝时，是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，是直角三角形（∠DEF＝90°）． 【解析】 【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明； （2）先证明四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值； （3）分三种情况，即，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2） DF∥AB， DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， 即30﹣2t＝t， 解得：t＝10， 即当t＝10时，▱AEFD是菱形； （3）当t＝时，是直角三角形（∠EDF＝90°）； 当t＝12时，是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下： 当∠EDF＝90°时，DE∥BC． ∴∠ADE＝∠C＝30° ∴AD＝2AE ∵CD＝2t， ∴DF＝t＝AE， ∴AD＝2t， ∴2t+2t＝30， ∴t＝时，∠EDF＝90°． 当∠DEF＝90°时，DE⊥EF， 由 四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴是直角三角形，∠ADE＝90°， ∵∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DEA＝30°， ∴AD＝， AD＝AC﹣CD＝30﹣2t，AE＝DF＝＝t， ∴30﹣2t＝， 解得t＝12． 当∠DFE＝90°时，点E和点F都和点B重合，不能构成三角形，所以，此种情况不存在； 综上所述，当t＝时，是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，是直角三角形（∠DEF＝90°）． 【点睛】本题考查的是含直角三角形的性质，平行四边形的判定与菱形的判定与性质，注意分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $