专题25.1 一元二次方程的概念（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（满足整式方程、一个未知数、最高次数2三个条件）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0及各项系数），再到方程的解（根的定义及应用），最后到实际问题列方程的完整学习支架。 该资料以10种题型系统归纳知识点，含例题与变式题，通过方程识别、参数求解等培养抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）、模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺。

专题25.1 一元二次方程的概念（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的识别】 2 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 3 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 5 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 7 【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】 8 【题型6 判断是否是一元二次方程的解】 10 【题型7 由一元二次方程的解求参数】 12 【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】 13 【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 16 【题型10 根据实际问题列一元二次方程】 18 考点1 一元二次方程的定义 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【变式2-3】关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 考点2 一元二次方程的一般形式 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 【例3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ， ， ， ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东临沂·月考）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 【例4】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， 所以，一次项系数为． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 【变式4-2】（25-26九年级上·广西钦州·期中）一元二次方程的常数项为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案． 【详解】解：一元二次方程 化成一般式为，常数项为， 故答案是：． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以使二次项系数为1，再确定一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程：， 展开：， 移项：， 为使二次项系数为1，乘以：， ∴ 一次项系数为． 故选：B． 【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】 【例5】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是： （，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：设表示的数为， 化成一元二次方程一般形式是， ∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0， ∴， ∴表示的数为4， 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式5-2】若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 考点3 一元二次方程的解 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型6 判断是否是一元二次方程的解】 【例6】（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 【变式6-1】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时， ，该选项不符合题意； B、当时， ，该选项符合题意； C、当时， ，该选项不符合题意； D、当时， ，该选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【题型7 由一元二次方程的解求参数】 【例7】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义． 将已知根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 【变式7-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 【答案】1 【分析】本题考查了方程的解的定义．将代入方程，利用根的定义求解 【详解】解：将代入方程 ，得 ， 故答案为：1 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出即可，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知是关于x的方程的解，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，根据一元二次方程的性质，将代入到原方程计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】 【例8-1】方程的一个根是，则＝_____． 【答案】2023 【分析】把代入方程，得到，把看成是一个整体，代入代数式求值即可. 【详解】把代入方程得： 则： 原式 故填：2023. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和代数式求值，采用整体代入法是解本题的关键. 【例8-2】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程得到关于的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的解 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为_________ 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：11． 【变式8-3】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式8-4】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知为方程的根，那么的值为（　　） A．-2022 B．2022 C．0 D．4044 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ， ， ． 故选：C． 【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 【例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 【变式9-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 考点4 根据实际问题列一元二次方程 【题型10 根据实际问题列一元二次方程】 【例10】（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 【变式10-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10月份产值达到1500万元，预计12月份产值将增至3000万元，设该公司11，12两个月的月平均增长率为，则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】初始量为，月平均增长率为，经过个月后的量为．从月份到月份经过2个月，初始产值为万元，月份产值为万元，据此即可列出方程． 【详解】解：∵月份产值为万元，月平均增长率为， ∴月份的产值为万元， ∴可列方程为． 【变式10-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 一元二次方程的概念（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的识别】 1 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 2 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 3 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 3 【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】 4 【题型6 判断是否是一元二次方程的解】 4 【题型7 由一元二次方程的解求参数】 5 【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】 5 【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 6 【题型10 根据实际问题列一元二次方程】 6 考点1 一元二次方程的定义 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【变式2-3】关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 考点2 一元二次方程的一般形式 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 【例3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为________． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东临沂·月考）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 【例4】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【变式4-1】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【变式4-2】（25-26九年级上·广西钦州·期中）一元二次方程的常数项为_________． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【题型5 由一元二次方程各项系数的值求参数】 【例5】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式5-2】若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 【变式5-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 考点3 一元二次方程的解 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型6 判断是否是一元二次方程的解】 【例6】（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【变式6-3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【题型7 由一元二次方程的解求参数】 【例7】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式7-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·期末）已知是关于x的方程的解，则m的值为___________． 【题型8 由一元二次方程的解求代数式的值】 【例8-1】方程的一个根是，则＝_____． 【例8-2】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为______． 【变式8-2】（25-26八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为_________ 【变式8-3】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式8-4】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知为方程的根，那么的值为（　　） A．-2022 B．2022 C．0 D．4044 【题型9 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 【例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【变式9-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 考点4 根据实际问题列一元二次方程 【题型10 根据实际问题列一元二次方程】 【例10】（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10月份产值达到1500万元，预计12月份产值将增至3000万元，设该公司11，12两个月的月平均增长率为，则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $