素养提升6 圆周运动的临界、极值问题-【优学精研】2027年高考物理一轮总复习教用Word

素养提升6　圆周运动的临界、极值问题

1.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。

2.掌握分析判断临界问题的方法。

提升点一　水平面内圆周运动的临界问题

　〔教科版必修第二册P56·T6改编〕如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，放一质量为m的滑块，滑块离转轴的距离为R，滑块随着转盘一起做匀速圆周运动，转盘和滑块的动摩擦因数为μ。

（1）滑块随转盘一起做匀速圆周的向心力由谁来提供？

（2）若转盘的角速度ω从零开始增大，计算滑块将要与转台发生相对滑动时转台的角速度ωmax。

提示：（1）滑块与转台间的静摩擦力提供滑块随圆盘做匀速圆周运动的向心力。

（2）对滑块：F静＝mω2R，ω增大，则静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大静摩擦时，滑块与转台将发生相对滑动，即μmg＝mR，解得ωmax＝。

1.临界状态

物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。

2.常见的临界情况

（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。

（2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。

（3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。

〔多选〕如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，

重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　AC　）

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω＝是b开始滑动的临界角速度

D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg

解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2r，当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，设木块a的临界角速度为ωa，则有fm＝kmg＝ml，解得ωa＝，同理可求出木块b的临界角速度为ωb＝，因为ωb＜ωa，所以b一定比a先开始滑动，故A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，由静摩擦力提供向心力可知，小木块a受到的摩擦力为fa＝mω2l，小木块b受到的摩擦力为fb＝mω2·2l＝2mω2l，综上可得fa＜fb，故B错误；当角速度ω＝时，小木块a的角速度小于临界角速度，所以a没有滑动，则a所受摩擦力的大小为f＝mω2l＝kmg，故D错误。

拓展：如图所示，在例1的条件下，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰好出现弹力时，角速度多大？当a、b开始滑动时，角速度多大？此时剪断轻绳，分析a、b各做什么运动？

提示：若没有轻绳时，b先滑动，b开始滑动时，a、b距离增大，此时若有轻绳，绳发生形变，开始有弹力，即ω＝时，轻绳开始有弹力；当a、b 恰好开始滑动时，对b有kmg＋FT＝mω2·2l，对a有kmg－FT＝mω2·l，联立解得ω＝，此时剪断轻绳，b做离心运动，a仍和圆盘保持相对静止而做圆周运动。

分析圆周运动临界问题的方法

1.让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。

2.确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。

（2026·山东烟台期末）如图甲所示，一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线拉力大小为T，T与ω2的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，则当ω＝ω2时，细线拉力的大小为（　　）

A. B.

C. D.

审题指导

（1）图像的“拐点”是解决问题的关键。

（2）当角速度等于ω1时，小球处于与斜面分离的临界状态。

答案：B

解析：根据题意，当角速度为0时，小球受重力、支持力和绳的拉力，且有T0＝mgcos θ，当角速度等于ω1时，小球恰好只受重力和绳的拉力，则mgtan θ＝mlsin θ，当角速度等于ω2时，小球只受重力和绳的拉力，且绳与竖直方向的夹角变大，则Tsin α＝mlsin α，联立可得T＝，故B正确。

　（2026·四川内江模拟）如图，在粗糙的水平圆盘上，甲、乙两个小物体（可视为质点）叠放在一起随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，两小物体所在位置到转轴距离为r，乙的质量是甲的质量的2倍，甲、乙两物体间的动摩擦因数为μ1，盘与乙物体间的动摩擦因数为μ2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，μ1＞μ2，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）