1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 重难突破讲义-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

1.3　带电粒子在匀强磁场中的运动　【重难突破】 人教版（2019）选择性必修第二册 · 第一章 安培力与洛伦兹力 1.3　带电粒子在匀强磁场中的运动 【重难突破】 人教版（2019）选择性必修第二册　第一章　安培力与洛伦兹力 建议用时：45 分钟 题量：35 题 难度：★★★★☆ 版本：原卷版 ▎学习目标 1．理解带电粒子在匀强磁场中两种运动情况：v∥B 时做匀速直线运动，v⊥B 时做匀速圆周运动。 2．掌握轨道半径 r＝mv/qB、周期 T＝2πm/qB 和角速度 ω＝qB/m，并能比较多个粒子的运动。 3．能分析带电粒子在直线、平行、圆形等有界磁场中的运动，会确定圆心、半径和运动时间。 4．了解速度选择器、质谱仪、回旋加速器及磁约束核聚变等应用，体会磁场对带电粒子运动的控制。 ▎课标与考情 【考情分析】高考常以选择题考查洛伦兹力方向判断、大小计算、不做功的特点及约束运动分析；常结合极光、地磁场、显像管、电磁流量计等真实情境命题，侧重受力分析与左手定则，难度中等。【课标要求】通过实验认识带电粒子在匀强磁场中的运动规律，会推导并运用轨道半径和周期公式，能分析带电粒子在有界磁场中的运动，了解质谱仪、回旋加速器等装置的工作原理。 【考情分析】高考常以选择题考查半径、周期、角速度的计算与多粒子比较，以解答题结合有界磁场、复合场考查几何关系与临界条件；常结合质谱仪、回旋加速器、磁约束核聚变等真实情境，难度中等偏上。 ▎思维导图 1.3 带电粒子的运动 无界磁场圆周运动 v∥B：F＝0，做匀速直线运动 v⊥B：洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动 半径：r＝mv/qB，与速率成正比 周期：T＝2πm/qB，与速率、半径无关 角速度：ω＝qB/m 直线与平行边界 直线边界：进出对称，速度与边界夹角相等 平行边界：存在能否射出的临界条件 圆心：两速度垂线交点或弦垂直平分线交点 半径：由直角三角形、勾股定理求解 圆形与多边形边界 圆形边界：沿径向射入必沿径向射出 圆心角＝偏向角＝2倍弦切角 时间：t＝αm/qB＝αT/2π 多边形边界：结合顶点、直线段与对称分析 复合场与科技应用 速度选择器：v＝E/B 时匀速通过 质谱仪：r＝mv/qB，按比荷分离离子 回旋加速器：周期不变，反复加速 磁约束核聚变：用磁场约束高温等离子体 考向一　无界匀强磁场中的圆周运动 本考向围绕带电粒子在无界匀强磁场中的圆周运动展开，重点是理解两种运动情况，掌握半径、周期和角速度公式，并能比较多个粒子的运动。 ▎知识梳理 1．两种运动情况：带电粒子以速度 v 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场时—— （1）当 v∥B 时，粒子不受洛伦兹力（F＝0），以速度 v 做匀速直线运动。 （2）当 v⊥B 时，洛伦兹力始终与速度垂直，只改变速度方向，粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2．轨道半径：洛伦兹力提供向心力，由 qvB＝mv²/r 可得轨道半径。 半径 r 与速率 v 成正比，与粒子的比荷 q/m 成反比。 3．周期：由 T＝2πr/v 和 r＝mv/qB 可得周期。 周期 T 与粒子的速率、轨道半径无关，只由比荷和磁感应强度决定。 4．角速度：由 ω＝2π/T＝v/r 可得。 物理量 公式 决定因素 轨道半径 r＝mv/qB 与速率、比荷有关 周期 T＝2πm/qB 与速率、半径无关 角速度 ω＝qB/m 只由比荷和磁场决定 ▎重难诠释 1．洛伦兹力不做功，不改变粒子的速率和动能，只改变速度方向，这是粒子做匀速圆周运动的前提。 2．周期与速度无关：速度大的粒子轨道半径大，但绕一周所用时间相同，回旋加速器正是利用这一特点反复加速。 3．多粒子比较的思路：先由轨迹弯曲方向（左手定则）判断电性，再用 r＝mv/qB 比较半径、用 T＝2πm/qB 比较周期。 ▎生活·科技实例：回旋加速器 回旋加速器是利用磁场使粒子做圆周运动、用电场反复加速的装置。两个 D 形盒处在匀强磁场中，粒子每次经过盒缝时被电场加速，速度增大，由 r＝mv/qB 可知其轨道半径随之增大；但由 T＝2πm/qB，粒子的周期与速度、半径无关，因此只要在盒缝上加周期固定的交变电压，就能保证粒子每次经过缝隙时都被加速。医用回旋加速器可生产氟-18 等短寿命同位素，用于肿瘤的诊断与治疗。 图1　医用回旋加速器：磁场控制圆周运动，电场反复加速 ◆ 考点专练（第 1～5 题） 1．如图是比荷相同的两粒子从O点垂直进入直线边界匀强磁场区域的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a的带电量比b的带电量小 C．a运动的速率比b的小 D．a的运动时间比b的短 2．如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为mA＝3mB，轨道半径为RA＝3RB，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B均带正电 B．小球A带负电、B带正电 C．小球A、B的周期比为2：1 D．小球A、B的速度比为3：1 3．有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的（　　） A．质量 B．电量 C．速率 D．动能 4．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中两个虚线所示，下列表述正确的是（　　） A．M带正电，N带负电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间 5．氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　　） A．角速度越来越大 B．角速度越来越小 C．向心加速度越来越大 D．向心加速度越来越小 考向二　直线与平行边界磁场中的运动 本考向围绕直线与平行边界磁场中的运动展开，关键是利用对称性和临界条件，学会确定圆心、半径，画出粒子的运动轨迹。 ▎知识梳理 1．直线边界：粒子进出磁场具有对称性，射入磁场和射出磁场时，速度方向与边界的夹角大小相等。 图2　直线边界：粒子进出磁场，速度与边界夹角相等 2．平行边界：粒子在两条平行边界之间运动，存在能否射出磁场、从哪一侧射出的临界条件，需结合几何关系分析。 图3　平行边界：粒子运动存在临界条件 边界类型 运动特点 解题关键 直线边界 进出对称，夹角相等 利用对称性反推速度方向 平行边界 存在射出与否的临界 找轨迹与边界相切的临界 ▎重难诠释 1．圆心确定的两种方法： （1）已知入射、出射方向时，过入射点和出射点分别作速度方向的垂线，两条垂线的交点就是圆心。 （2）已知入射方向和出射点时，过入射点作速度方向的垂线，连接入射点与出射点作弦的垂直平分线，两条垂线的交点就是圆心。 图4　圆心确定：两速度垂线交点或弦垂直平分线交点 2．半径确定：作好辅助线，由圆的半径与几何边构成直角三角形，利用边角关系或勾股定理求解。 3．临界条件：平行边界中，当轨迹恰好与边界相切时为临界状态，对应速度大小或方向的极值。 ◆ 考点专练（第 6～10 题） 6．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 7．如图所示，MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度v0从磁场边界MN上E点进入磁场，然后从磁场边界MN上F点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从F点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和 60°，不计粒子所受的重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1： C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为：1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1：2 9．如图所示，在x轴上方（含x轴）存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度也为x0、厚度不计的薄板PQ，粒子打在板上即被吸收。坐标原点O处有一粒子源，可垂直于磁场向磁场内各个方向均匀发射速率相同的同种粒子，粒子速度大小为v、质量为m、带电量为+q。现观察到沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，不考虑薄板吸收粒子后产生的电场，则下列说法正确的有（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．打在薄板左侧的粒子数占发射总粒子数的 C．打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 D．打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为5：1 （多选）10．一个粒子以水平速度v1从左侧垂直进入宽度为d的局部匀强磁场，从K处以水平速度v2射出磁场。如图，磁感应强度大小为B、方向水平向里，粒子在磁场中仅受洛伦兹力。下列说法错误的是（　　） A．粒子带负电 B．v2＞v1 C．增大磁感应强度B，K点下移 D．若粒子运动半径R＝d，则入射点与出射点距离为2d 考向三　圆形与多边形边界磁场中的运动 本考向围绕圆形与多边形边界磁场中的运动展开，重点是径向射入的特点、几何关系和圆心角，进而确定粒子的运动时间。 ▎知识梳理 1．圆形边界：粒子沿磁场圆的径向射入时，必沿径向射出，出射方向的延长线也经过磁场圆心。 图5　圆形边界：沿径向射入必沿径向射出 2．几何关系：圆形边界中，粒子轨道圆心、磁场圆心与入射点构成几何图形，常借助三角形、勾股定理求半径和圆心角。 3．多边形（半圆、三角形等）边界：注意边界的顶点与直线段，结合对称性和几何关系分析。 边界类型 射入、射出特点 常用关系 直线边界 速度与边界夹角相等 对称性 圆形边界 径向射入、径向射出 三角形、勾股定理 多边形边界 注意顶点与直线段 分段几何分析 ▎重难诠释 1．运动时间：当轨迹圆弧所对圆心角为 α（弧度）时，运动时间为 t＝αT/2π。 2．角度关系：圆心角＝偏向角＝2倍弦切角，确定圆心角时要灵活运用这一关系。 3．时间比较：在同一磁场、比荷相同的情况下，粒子轨迹的圆心角越大，运动时间越长。 4．径向射入的粒子，入射方向指向磁场圆心，出射方向的反向延长线也经过磁场圆心，据此可快速确定轨迹。 ◆ 考点专练（第 11～15 题） 11．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图、若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．三个粒子都带负电荷 B．c粒子运动速率最小 C．a粒子在磁场中运动时间最长 D．它们在磁场中做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc 12．如图所示，半径为R圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD方向射入磁场，经过圆心O后离开磁场，已知A点到CD的距离为，粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动速率为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的路程为 13．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1：2 14．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域边界上的三点，∠AOC＝90°，∠AOD＝60°。现有一对质量相等、电荷量不等的粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场，另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计。则下列说法正确的是（　　） A．从C点离开磁场的粒子带正电 B．从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比：3 C．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2 D．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的半径之比为2：1 15．如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子从p点以速度v沿平行于直径CD的方向射入磁场，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，PO与CD间的夹角为45°，不计粒子重力。则（　　） A．粒子圆周运动的半径为 B．粒子在磁场中运动的路程为πR C．粒子在磁场中运动的时间为 D．磁感应强度大小为 考向四　复合场中的运动与科技应用 本考向围绕复合场中的运动与科技应用展开，理解速度选择器、质谱仪等装置原理，能结合受力分析处理复合场与约束问题。 ▎知识梳理 1．复合场：同一区域同时存在电场和磁场（常还含重力场），粒子同时受到电场力、洛伦兹力和重力等作用。 2．速度选择器：在正交的匀强电场和磁场中，当电场力与洛伦兹力平衡，即 qE＝qvB 时，粒子做匀速直线运动而通过。 只有速度 v＝E/B 的粒子才能通过，与粒子的电性、电量无关。 3．质谱仪：离子先经电场加速，再进入匀强磁场偏转，由 r＝mv/qB，比荷不同的离子轨道半径不同，从而被分离。 4．带电体约束：带电小球、小环在杆、斜面等约束下运动，需结合受力分析和牛顿运动定律求解。 装置 原理 作用 速度选择器 qE＝qvB，v＝E/B 选出特定速度的粒子 质谱仪 r＝mv/qB 按比荷分离、测质量 回旋加速器 周期与速度无关 反复加速粒子 ▎重难诠释 1．复合场平衡：当各力合力为零时粒子做匀速直线运动，分析时先确定各力方向，注意区分正、负电荷。 2．速度选择器只允许速度 v＝E/B 的粒子通过，改变电场或磁场即可调节所选择的速度。 3．质谱仪中离子先加速（qU＝½mv²）再偏转（r＝mv/qB），联立可测粒子的比荷与质量。 ▎生活·科技实例：磁约束核聚变（人造太阳） 核聚变需要上亿摄氏度的高温，任何固体容器都无法直接盛放如此高温的等离子体。我国的全超导托卡马克核聚变实验装置 EAST（“东方超环”“人造太阳”）利用环形分布的强磁场，把带电的高温等离子体约束在环形真空室中，使其不与器壁接触，从而持续发生核聚变。带电粒子在磁场中受洛伦兹力而沿磁场回旋、被磁场“锁住”，正是磁约束的物理基础。EAST 已多次创造长脉冲高温等离子体运行的世界纪录，为人类开发清洁的聚变能探路。 图6　全超导托卡马克 EAST：用强磁场约束高温等离子体 ◆ 考点专练（第 16～20 题） 16．如图，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直（平行纸面）向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内（　　） A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小 C．小球的重力势能增大 D．小球的机械能增大 17．如图所示，界面PQ与水平地面之间有一个正交的匀强磁场B和匀强电场E，在PQ上方有一个带正电的小球A自O静止开始下落，穿过电场和磁场到达地面．设空气阻力不计，下列说法中正确的是（　　） A．在复合场中，小球做匀变速曲线运动 B．在复合场中，小球下落过程中的电势能增加 C．小球从静止开始下落到水平地面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和 D．若其他条件不变，仅增大磁感应强度，小球从原来位置下落到水平地面时的动能不变 18．如图所示的阴极射线管，在D1D2间加图示电压和磁场（未画出），仅调节磁场的大小，阴极射线从P1点移动到P3点，则（　　） A．磁场垂直纸面向里 B．应该减小磁感应强度 C．射线到P3点的动能等于P1点 D．射线到P3点的物质波波长大于P1点 19．如图所示，足够大的垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定斜面（斜面足够长），A、B叠放在斜面上，A带正电，B不带电且上表面绝缘，B与斜面间的摩擦因数μ＜tanθ。控制B在斜面上静止时，A也能静止在B上，解除对B的控制后，两物块开始沿斜面向下运动，以下说法正确的是（　　） A．刚释放B时，A受到的静摩擦力方向为沿斜面向下 B．A、B相对滑动前，A受到的静摩擦力一直变大 C．A对B的压力大小与时间t成正比关系 D．斜面越粗糙，A、B一起共速运动的时间越长 20．如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E1在0.6E0≤E1≤1.2E0范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1随E1的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为（﹣L，﹣1.5L）的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为（﹣L，0）的小孔C，再经偏转区后从坐标为（0，L）的小孔D进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ＝30°。检测区内加沿y轴负方向、场强大小E2＝8E0的匀强电场，在满足（1）的条件下： ①求检测板上收集到离子记录线的长度Δd1； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度Δd2及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小B2沿x轴均匀变化，即B2＝kx（k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 ★ 综合培优检测 ★ 21．如图，xOy平面内有大量电子（质量为m、电荷量为e）从原点O连续以相同速率v0向各个方向发射，右侧远处放置与xOy平面垂直且足够大的荧光屏。现在各象限施加面积最小的垂直于该平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，使第1、4象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向运动，第2、3象限的电子最终平行于x轴并沿x轴负向运动。忽略电子间的相互作用，则（　　） A．第1、4象限磁场方向垂直平面向外 B．整场的最小总面积为 C．电子在磁场中运动的最长时间为 D．电子在光屏上形成的光斑长度为 22．如图所示，三个完全相同的小球a、b、c带有相同电荷量正电荷，从同一高度由静止同时开始下落，当下落某一相同高度后a球进入水平向左的匀强电场，b球进入垂直纸面向里的匀强磁场，最终它们落到同一水平地面上，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三球同时落地，且落地时三球动能相同 B．b球最后落地，落地时c球动能最大 C．a、c同时落地，落地时b、c动能相同 D．c最后落地，落地时b动能最大 23．如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 24．如图所示，界面MN与水平面之间有一个正交的匀强磁场B和匀强电场E，在MN上方有一个带正电的小球A由静止开始下落，经电场和磁场到达水平面，设空气阻力不计，下列说法中正确的是（　　） A．在电磁、磁场中，小球做匀变速曲线运动 B．在电磁、磁场中，小球下落过程中的电势能增大 C．小球从静止开始下落到达水平面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和 D．若其他条件不变，仅仅增大磁感应强度，小球从原来位置下落到水平面时的动能不变 25．如图所示，在xOy平面内的y轴和虚线之间除了圆形区域外的空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。虚线经过Q点（3L，0）且与y轴平行，圆形区域的圆心P的坐标为（2L，0），半径为L。一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点垂直y轴进入磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为 B．粒子不经过圆形区域到达不了Q点 C．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为 D．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为 26．如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），在O点有一粒子源，能沿纸面向各方向均匀发射初速度为v0，电荷量为+q，质量为m的带电粒子，O点右侧有一挡板PQ，已知OQ⊥PQ，OQ＝PQ＝a，当v0沿OQ方向时，粒子恰好打在挡板上端P点处，不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为2a B．击中挡板左侧的粒子占粒子总数的 C．击中挡板右侧的粒子占粒子总数的 D．若将挡板PQ两端延伸足够长，粒子打在挡板上的长度为2a 27．如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径。环与杆的动摩擦因数均为μ。两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下。下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 28．如图所示，光滑绝缘直杆倾角为θ，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度v0，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 29．如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，同种粒子每次都从a点沿与ab边成30°的方向垂直射入磁场，初速度大小为v时，粒子从ac边距a点L处射出磁场，不计粒子的重力，则粒子（　　） A．一定带负电 B．初速度为2v时，在磁场中运动的时间变短 C．初速度为2v时，出射位置距a点L D．射入磁场的速度足够大，能从bc边的中点射出 30．如图所示，在坐标平面内，半径为R的圆形边界（圆心在O2点）正好与y轴相切在O1，三个相同的带正电粒子（不计重力）以相同的速度从O1、a、b点射入磁场，其中，从O1点射入磁场的粒子从圆心正上方的c点离开磁场，且射出速度方向沿y轴正方向。则（　　） A．从a点射入的粒子从c点左侧离开磁场 B．从b点射入的粒子从c点右侧离开磁场 C．从a点射入的粒子在磁场中的运动时间比从b点射入的长 D．从a点射入的粒子在磁场中的运动时间比从b点射入的短 31．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的范围足够大的匀强磁场内，固定着倾角为θ的绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为﹣q的带电小物块以初速度v0沿斜面向上运动，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ。设滑动时电荷量不变，在小物块上滑过程中，其速度v与时间t，加速度a与时间t和动能Ek与位移x的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 32．如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1＝v，粒子Q的入射速度为，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为3：2 （多选）33．如图所示，粗糙绝缘的直杆倾斜固定，轻质绝缘弹簧AB套在直杆上且位于直杆末端。一带正电的小球也套在杆上，从某一位置P由静止下滑，下滑到点M时速度最大，到达N点时速度为零（M、N两点未标出）。若在杆所在的竖直平面内加一方向垂直杆斜向右上的匀强磁场，小球仍然从P点由静止下滑（电量不变），则下列判断正确的是（　　） A．磁场足够强时，小球有可能不能到达A点 B．小球速度最大的位置一定在P、M之间的某一位置 C．因为洛伦兹力不做功，所以小球下降的最低点仍然在N点 D．第二种情况下弹簧所具有的最大弹性势能一定比第一次小 34．如图所示，直角坐标系xOy平面内，x轴上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以与x轴正方向成53°角的初速度从M（0.8d，0）点进入第一象限，恰好垂直于y轴进入第二象限。不计粒子的重力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求粒子的初速度大小v； （2）x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场。电场强度大小为E0，求粒子第一次在电场中运动的时间t； （3）若x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场、且方向不变、E大小可调整，要使粒子从M点第1次进入磁场后，第3次进入磁场时的运动轨迹能与y轴相切，求电场强度E需满足的条件。 ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ 35．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。现有这样一个简化模型：如图所示，一上、下表面水平的长方体ABCD﹣abcd区域内存在沿竖直向下方向的匀强电场（图中未画出），将质量为m，电荷量为+q（q＞0）的带正电粒子从长方形ADda对角线的交点以水平速度v0射入长方体区域，刚好从BC的中点飞出该区域。已知AB长为3l，Aa高为2l，不计粒子的重力。求： （1）长方体ABCD﹣abcd区域内电场强度E的大小； （2）若撤去电场，加上匀强磁场，粒子也从BC的中点飞出该区域，则磁感应强度B的大小和方向； （3）求上述分别加电场和磁场时，粒子在该区域运动的时间之比。 ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ 重难突破系列 · 人教版（2019）选择性必修第二册 · 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $1.3　带电粒子在匀强磁场中的运动　【重难突破】 人教版（2019）选择性必修第二册 · 第一章 安培力与洛伦兹力 1.3　带电粒子在匀强磁场中的运动 【重难突破】 人教版（2019）选择性必修第二册　第一章　安培力与洛伦兹力 建议用时：45 分钟 题量：35 题 难度：★★★★☆ 版本：解析版 ▎学习目标 1．理解带电粒子在匀强磁场中两种运动情况：v∥B 时做匀速直线运动，v⊥B 时做匀速圆周运动。 2．掌握轨道半径 r＝mv/qB、周期 T＝2πm/qB 和角速度 ω＝qB/m，并能比较多个粒子的运动。 3．能分析带电粒子在直线、平行、圆形等有界磁场中的运动，会确定圆心、半径和运动时间。 4．了解速度选择器、质谱仪、回旋加速器及磁约束核聚变等应用，体会磁场对带电粒子运动的控制。 ▎课标与考情 【考情分析】高考常以选择题考查洛伦兹力方向判断、大小计算、不做功的特点及约束运动分析；常结合极光、地磁场、显像管、电磁流量计等真实情境命题，侧重受力分析与左手定则，难度中等。【课标要求】通过实验认识带电粒子在匀强磁场中的运动规律，会推导并运用轨道半径和周期公式，能分析带电粒子在有界磁场中的运动，了解质谱仪、回旋加速器等装置的工作原理。 【考情分析】高考常以选择题考查半径、周期、角速度的计算与多粒子比较，以解答题结合有界磁场、复合场考查几何关系与临界条件；常结合质谱仪、回旋加速器、磁约束核聚变等真实情境，难度中等偏上。 ▎思维导图 1.3 带电粒子的运动 无界磁场圆周运动 v∥B：F＝0，做匀速直线运动 v⊥B：洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动 半径：r＝mv/qB，与速率成正比 周期：T＝2πm/qB，与速率、半径无关 角速度：ω＝qB/m 直线与平行边界 直线边界：进出对称，速度与边界夹角相等 平行边界：存在能否射出的临界条件 圆心：两速度垂线交点或弦垂直平分线交点 半径：由直角三角形、勾股定理求解 圆形与多边形边界 圆形边界：沿径向射入必沿径向射出 圆心角＝偏向角＝2倍弦切角 时间：t＝αm/qB＝αT/2π 多边形边界：结合顶点、直线段与对称分析 复合场与科技应用 速度选择器：v＝E/B 时匀速通过 质谱仪：r＝mv/qB，按比荷分离离子 回旋加速器：周期不变，反复加速 磁约束核聚变：用磁场约束高温等离子体 考向一　无界匀强磁场中的圆周运动 本考向围绕带电粒子在无界匀强磁场中的圆周运动展开，重点是理解两种运动情况，掌握半径、周期和角速度公式，并能比较多个粒子的运动。 ▎知识梳理 1．两种运动情况：带电粒子以速度 v 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场时—— （1）当 v∥B 时，粒子不受洛伦兹力（F＝0），以速度 v 做匀速直线运动。 （2）当 v⊥B 时，洛伦兹力始终与速度垂直，只改变速度方向，粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2．轨道半径：洛伦兹力提供向心力，由 qvB＝mv²/r 可得轨道半径。 半径 r 与速率 v 成正比，与粒子的比荷 q/m 成反比。 3．周期：由 T＝2πr/v 和 r＝mv/qB 可得周期。 周期 T 与粒子的速率、轨道半径无关，只由比荷和磁感应强度决定。 4．角速度：由 ω＝2π/T＝v/r 可得。 物理量 公式 决定因素 轨道半径 r＝mv/qB 与速率、比荷有关 周期 T＝2πm/qB 与速率、半径无关 角速度 ω＝qB/m 只由比荷和磁场决定 ▎重难诠释 1．洛伦兹力不做功，不改变粒子的速率和动能，只改变速度方向，这是粒子做匀速圆周运动的前提。 2．周期与速度无关：速度大的粒子轨道半径大，但绕一周所用时间相同，回旋加速器正是利用这一特点反复加速。 3．多粒子比较的思路：先由轨迹弯曲方向（左手定则）判断电性，再用 r＝mv/qB 比较半径、用 T＝2πm/qB 比较周期。 ▎生活·科技实例：回旋加速器 回旋加速器是利用磁场使粒子做圆周运动、用电场反复加速的装置。两个 D 形盒处在匀强磁场中，粒子每次经过盒缝时被电场加速，速度增大，由 r＝mv/qB 可知其轨道半径随之增大；但由 T＝2πm/qB，粒子的周期与速度、半径无关，因此只要在盒缝上加周期固定的交变电压，就能保证粒子每次经过缝隙时都被加速。医用回旋加速器可生产氟-18 等短寿命同位素，用于肿瘤的诊断与治疗。 图1　医用回旋加速器：磁场控制圆周运动，电场反复加速 ◆ 考点专练（第 1～5 题） 1．如图是比荷相同的两粒子从O点垂直进入直线边界匀强磁场区域的运动轨迹，下列说法正确的是（　　） A．a带负电，b带正电 B．a的带电量比b的带电量小 C．a运动的速率比b的小 D．a的运动时间比b的短 【答案】C 【解答】解：A、根据题意分析可知，左手定则a带正电，b带负电，故A错误； B、根据题意分析可知，由题中信息无法确定a、b电量和质量大小，且因为比荷相同，无法确定电量大小，故B错误； C、根据题意分析可知，带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有 得 因两粒子比荷相同，所以a运动的速率比b的小，故C正确； D、根据题意分析可知，带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有 有 所以运动周期相同，且在磁场中运动时间都是周期的一半，所以a的运动时间与b相同，故D错误。 故选：C。 2．如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为mA＝3mB，轨道半径为RA＝3RB，则下列说法正确的是（　　） A．小球A、B均带正电 B．小球A带负电、B带正电 C．小球A、B的周期比为2：1 D．小球A、B的速度比为3：1 【答案】D 【解答】解：AB．因为两小球在复合场中都能做匀速圆周运动，均满足mg＝qE 所受电场力均向上，两小球均带负电，故AB错误； CD．由 联立可得 可得，小球A、B的速度比为 由周期与线速度的关系： 故小球A、B的周期比为，故C错误，D正确。 故选：D。 3．有一个辐向分布的电场，距离O相等的地方电场强度大小相等，有一束粒子流通过电场，又垂直进入一匀强磁场，则运动轨迹相同的粒子，它们具有相同的（　　） A．质量 B．电量 C．速率 D．动能 【答案】C 【解答】解：粒子在辐射电场中以速度v做匀速圆周运动，电场力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知 解得 粒子在匀强磁场中 解得 粒子在不同场中的轨迹相同，即粒子在不同场中转动半径相同，所以这些粒子具有相同的速率v和比荷。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 4．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中两个虚线所示，下列表述正确的是（　　） A．M带正电，N带负电 B．M的速率大于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间 【答案】B 【解答】解：A：由左手定则判断出N带正电荷，M带负电荷，故A错误； B：粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，半径为：，在质量与电量相同的情况下，半径大说明速率大，即M的速率大于N的速率，故B正确； C：洛伦兹力不做功，故C错误； D：粒子在磁场中运动半周，即时间为周期的一半，而周期为T，与粒子运动的速度无关，所以M的运行时间等于N的运行时间，故D错误。 故选：B。 5．氢气气泡室处在匀强磁场中，某快电子从右下方a处进入，在气泡室运动的轨迹如图所示。则在电子运动的过程中（　　） A．角速度越来越大 B．角速度越来越小 C．向心加速度越来越大 D．向心加速度越来越小 【答案】D 【解答】解：AB.由洛伦兹力提供向心力得 得 当电子从右下方a处进入时，半径减小，可知，电子速度减小 且 v＝ωr 解得 即角速度不变 故AB错误； CD.根据 结合以上分析可知，向心加速度越来越小 故C错误，D正确。 故选：D。 考向二　直线与平行边界磁场中的运动 本考向围绕直线与平行边界磁场中的运动展开，关键是利用对称性和临界条件，学会确定圆心、半径，画出粒子的运动轨迹。 ▎知识梳理 1．直线边界：粒子进出磁场具有对称性，射入磁场和射出磁场时，速度方向与边界的夹角大小相等。 图2　直线边界：粒子进出磁场，速度与边界夹角相等 2．平行边界：粒子在两条平行边界之间运动，存在能否射出磁场、从哪一侧射出的临界条件，需结合几何关系分析。 图3　平行边界：粒子运动存在临界条件 边界类型 运动特点 解题关键 直线边界 进出对称，夹角相等 利用对称性反推速度方向 平行边界 存在射出与否的临界 找轨迹与边界相切的临界 ▎重难诠释 1．圆心确定的两种方法： （1）已知入射、出射方向时，过入射点和出射点分别作速度方向的垂线，两条垂线的交点就是圆心。 （2）已知入射方向和出射点时，过入射点作速度方向的垂线，连接入射点与出射点作弦的垂直平分线，两条垂线的交点就是圆心。 图4　圆心确定：两速度垂线交点或弦垂直平分线交点 2．半径确定：作好辅助线，由圆的半径与几何边构成直角三角形，利用边角关系或勾股定理求解。 3．临界条件：平行边界中，当轨迹恰好与边界相切时为临界状态，对应速度大小或方向的极值。 ◆ 考点专练（第 6～10 题） 6．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】B 【解答】解：A．根据洛伦兹力提供向心力有 可得半径大小为，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，可知s上min＝d 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，可知 故上表面接收到粒子的区域长度为，故B正确； C．粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C错误； D．粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选：B。 7．如图所示，MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，一不计重力的带电粒子以初速度v0从磁场边界MN上E点进入磁场，然后从磁场边界MN上F点射出，现只改变带电粒子的入射速度，粒子都仍从F点飞出磁场。则纸面内满足上述条件的粒子的速度矢量图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：粒子在磁场中的轨道半径为r，根据洛伦兹力提供向心力，则有，解得，粒子离开磁场时弦长为 其中θ表示初速度与MN的夹角，则vsinθ表示速度在垂直MN方向的分速度，此值不变。 故ACD错误，B正确。 故选：B。 8．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和 60°，不计粒子所受的重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1： C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为：1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1：2 【答案】B 【解答】解：A.根据左手定则判断，a粒子向上偏转，则a粒子带正电；b粒子向下偏转，b粒子带负电，故A错误； B.如图 由几何关系可知，设磁场水平宽度为d，则有 d＝Rasin60°＝Rbsin30°， 故，故B正确； C.由 得 比荷相同，磁场相同，则 va：vb＝Ra：Rb，故C错误； D.粒子运动周期T Ta＝Tb＝T a粒子运动时间ta b粒子运动时间，故ta：tb＝2：1，故D错误。 故选：B。 9．如图所示，在x轴上方（含x轴）存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度也为x0、厚度不计的薄板PQ，粒子打在板上即被吸收。坐标原点O处有一粒子源，可垂直于磁场向磁场内各个方向均匀发射速率相同的同种粒子，粒子速度大小为v、质量为m、带电量为+q。现观察到沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，不考虑薄板吸收粒子后产生的电场，则下列说法正确的有（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．打在薄板左侧的粒子数占发射总粒子数的 C．打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 D．打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为5：1 【答案】D 【解答】解：A.由题意，“沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q”，可得粒子运动的半径 R＝x0 由洛伦兹力提供向心力，得 qvB＝m 解得 B 故A错误； BC.沿y轴正方向射出的粒子恰能达到挡板的最上端；由图1可知与x轴正方向夹角为30°的粒子能达到挡板左侧最低点，则能打到挡板左侧的粒子的速度范围为60°范围，占总粒子数的 同理与x轴正方向夹角为150°的粒子能达到挡板右侧最低点（如图2所示），沿x轴负方向射出的粒子能达到挡板的最高点，则能打到挡板右侧的粒子的速度范围为30°范围，则打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 故BC错误； D.与x轴正方向夹角为30°的粒子能达到挡板左侧最低点的粒子运动时间最短，此粒子在磁场中转过的角度为60°；与x轴正方向夹角为150°的粒子达到挡板右侧最低点的粒子运动时间最长，此粒子在磁场中转过的角度为300°，根据 tT 可知打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为300°：60° ＝5：1，故D正确。 故选：D。 （多选）10．一个粒子以水平速度v1从左侧垂直进入宽度为d的局部匀强磁场，从K处以水平速度v2射出磁场。如图，磁感应强度大小为B、方向水平向里，粒子在磁场中仅受洛伦兹力。下列说法错误的是（　　） A．粒子带负电 B．v2＞v1 C．增大磁感应强度B，K点下移 D．若粒子运动半径R＝d，则入射点与出射点距离为2d 【答案】BC 【解答】解：A、粒子从左侧垂直进入磁场，从此处以水平速度射出磁场，说明粒子在磁场中受到向下的力，根据左手定则判断粒子带负电，故A正确； B、粒子在磁场中仅受洛伦兹力，洛伦兹力不做功，因此粒子的动能不变，即v1＝v2，故B错误； C、根据洛伦兹力提供向心力有qvB可得，r。增大磁感应强度B，则粒子的半径r减小，所以K点上移，故C错误； D、若粒子运动半径R＝ d，则入射点与出射点的距离为2d，因为粒子在磁场中运动的轨迹是一个半圆，所以入射点与出射点距离为2r＝2d，故D正确。 本题是选错误的，故选：BC。 考向三　圆形与多边形边界磁场中的运动 本考向围绕圆形与多边形边界磁场中的运动展开，重点是径向射入的特点、几何关系和圆心角，进而确定粒子的运动时间。 ▎知识梳理 1．圆形边界：粒子沿磁场圆的径向射入时，必沿径向射出，出射方向的延长线也经过磁场圆心。 图5　圆形边界：沿径向射入必沿径向射出 2．几何关系：圆形边界中，粒子轨道圆心、磁场圆心与入射点构成几何图形，常借助三角形、勾股定理求半径和圆心角。 3．多边形（半圆、三角形等）边界：注意边界的顶点与直线段，结合对称性和几何关系分析。 边界类型 射入、射出特点 常用关系 直线边界 速度与边界夹角相等 对称性 圆形边界 径向射入、径向射出 三角形、勾股定理 多边形边界 注意顶点与直线段 分段几何分析 ▎重难诠释 1．运动时间：当轨迹圆弧所对圆心角为 α（弧度）时，运动时间为 t＝αT/2π。 2．角度关系：圆心角＝偏向角＝2倍弦切角，确定圆心角时要灵活运用这一关系。 3．时间比较：在同一磁场、比荷相同的情况下，粒子轨迹的圆心角越大，运动时间越长。 4．径向射入的粒子，入射方向指向磁场圆心，出射方向的反向延长线也经过磁场圆心，据此可快速确定轨迹。 ◆ 考点专练（第 11～15 题） 11．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图、若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．三个粒子都带负电荷 B．c粒子运动速率最小 C．a粒子在磁场中运动时间最长 D．它们在磁场中做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc 【答案】C 【解答】解：A、根据左手定则可知，三个粒子都带正电荷，故A错误； BD、在运动的过程中洛伦兹力提供向心力，则 Bqv＝m 解得 v Bqv＝m 解得 T 由图可知，三个粒子在磁场中运动的轨道半径关系为 ra＜rb＜rc 故 va＜vb＜vc，Ta＝Tb＝Tc， 故BD错误； C、轨迹图如图所示 由图可知，粒子a、b、c在磁场中运动轨迹对应的圆心角关系为 θa＞θb＞θc 粒子在磁场中运动的时间 tT 故 ta＞tb＞tc 故C正确。 故选：C。 12．如图所示，半径为R圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD方向射入磁场，经过圆心O后离开磁场，已知A点到CD的距离为，粒子重力不计，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动速率为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的路程为 【答案】D 【解答】解：A．根据题意可知，粒子经过圆心O，最后离开磁场，则可知粒子在A点所受洛伦兹力方向向下，结合左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．由几何关系 可知粒子运动的轨道半径 根据 粒子运动速率为 故B错误； C．粒子在磁场中运动的时间为 故C错误； D．粒子在磁场中运动的路程为 故D正确。 故选：D。 13．如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知∠AON＝60°，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为1：2 【答案】C 【解答】解：作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 AC.根据几何知识可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 故A错误，C正确； B.粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识可得 rb＝R 解得 结合题意可得 解得 故B错误； D.根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 两粒子在磁场中偏转的圆心角 θa＝120° θb＝60° 则两粒子在磁场中运动的时间之比为 ta：tb＝θa：θb＝120°：60°＝2：1 故D错误。 故选：C。 14．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域边界上的三点，∠AOC＝90°，∠AOD＝60°。现有一对质量相等、电荷量不等的粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场，另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计。则下列说法正确的是（　　） A．从C点离开磁场的粒子带正电 B．从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比：3 C．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比为3：2 D．从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的半径之比为2：1 【答案】B 【解答】解：A、从C点离开磁场的粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力水平向左，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误； D、粒子运动轨迹如图所示 设区域圆的半径为R，由几何知识可知r1＝Rtan30°R，r2＝R，则，故D错误； B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m， 解得q，则，故B正确； C、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，则，粒子在磁场中的运动时间t， 粒子在磁场中的运动时间之比，故C错误。 故选：B。 15．如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带电粒子从p点以速度v沿平行于直径CD的方向射入磁场，粒子经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，PO与CD间的夹角为45°，不计粒子重力。则（　　） A．粒子圆周运动的半径为 B．粒子在磁场中运动的路程为πR C．粒子在磁场中运动的时间为 D．磁感应强度大小为 【答案】D 【解答】解：AD．画出粒子的运动轨迹，如图所示： 由于圆形区域半径为R，则P点到CD的距离为，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有： 由洛伦兹力提供向心力，则 解得 故A错误，D正确； BC．由上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，则： 粒子在磁场中运动的时间为： 故BC错误； 故选：D。 考向四　复合场中的运动与科技应用 本考向围绕复合场中的运动与科技应用展开，理解速度选择器、质谱仪等装置原理，能结合受力分析处理复合场与约束问题。 ▎知识梳理 1．复合场：同一区域同时存在电场和磁场（常还含重力场），粒子同时受到电场力、洛伦兹力和重力等作用。 2．速度选择器：在正交的匀强电场和磁场中，当电场力与洛伦兹力平衡，即 qE＝qvB 时，粒子做匀速直线运动而通过。 只有速度 v＝E/B 的粒子才能通过，与粒子的电性、电量无关。 3．质谱仪：离子先经电场加速，再进入匀强磁场偏转，由 r＝mv/qB，比荷不同的离子轨道半径不同，从而被分离。 4．带电体约束：带电小球、小环在杆、斜面等约束下运动，需结合受力分析和牛顿运动定律求解。 装置 原理 作用 速度选择器 qE＝qvB，v＝E/B 选出特定速度的粒子 质谱仪 r＝mv/qB 按比荷分离、测质量 回旋加速器 周期与速度无关 反复加速粒子 ▎重难诠释 1．复合场平衡：当各力合力为零时粒子做匀速直线运动，分析时先确定各力方向，注意区分正、负电荷。 2．速度选择器只允许速度 v＝E/B 的粒子通过，改变电场或磁场即可调节所选择的速度。 3．质谱仪中离子先加速（qU＝½mv²）再偏转（r＝mv/qB），联立可测粒子的比荷与质量。 ▎生活·科技实例：磁约束核聚变（人造太阳） 核聚变需要上亿摄氏度的高温，任何固体容器都无法直接盛放如此高温的等离子体。我国的全超导托卡马克核聚变实验装置 EAST（“东方超环”“人造太阳”）利用环形分布的强磁场，把带电的高温等离子体约束在环形真空室中，使其不与器壁接触，从而持续发生核聚变。带电粒子在磁场中受洛伦兹力而沿磁场回旋、被磁场“锁住”，正是磁约束的物理基础。EAST 已多次创造长脉冲高温等离子体运行的世界纪录，为人类开发清洁的聚变能探路。 图6　全超导托卡马克 EAST：用强磁场约束高温等离子体 ◆ 考点专练（第 16～20 题） 16．如图，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直（平行纸面）向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动。若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内（　　） A．小球的动能减小 B．小球的电势能减小 C．小球的重力势能增大 D．小球的机械能增大 【答案】A 【解答】解：带负电的小球在电磁场中水平向右做直线运动，小球共受到三个力作用：向下的重力G、向上的电场力F、向下的洛伦兹力f，这三个力都在竖直方向上，小球受到的合力一定为零，小球做匀速直线运动，洛伦兹力保持不变。 若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则向下的洛伦兹力增大，而电场力和重力不变，则在小球进入的一小段时间内小球将向下偏转，因电场力与重力的合力向上，故此合力对小球做负功，而洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，小球的动能减小；电场力对小球做负功，由功能关系可知，电势能增大，小球的机械能减小；重力对小球做正功，则重力势能减小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 17．如图所示，界面PQ与水平地面之间有一个正交的匀强磁场B和匀强电场E，在PQ上方有一个带正电的小球A自O静止开始下落，穿过电场和磁场到达地面．设空气阻力不计，下列说法中正确的是（　　） A．在复合场中，小球做匀变速曲线运动 B．在复合场中，小球下落过程中的电势能增加 C．小球从静止开始下落到水平地面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和 D．若其他条件不变，仅增大磁感应强度，小球从原来位置下落到水平地面时的动能不变 【答案】C 【解答】解：A、小球进入混合场后，受重力、电场力、洛伦兹力共同作用，初速度竖直向下，电场力水平向右，洛伦兹力水平向右，因此，合力必不沿竖直方向，故粒子做曲线运动，运动过程中洛伦兹力时刻变化，故合力将会改变，小球做变加速曲线运动，故A错误； B、下落过程中，电场力将做正功，由功能关系得，电势能减小，故B错误； C、小球从静止开始下落到水平地面过程中，洛伦兹力不做功，由动能定理得，小球落到水平地面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和，故C正确； D、增大磁感应强度后，将改变洛伦兹力的大小，进而影响粒子的落点发生变化，电场力做功将会改变，落地时动能将会不同，故D错误； 故选：C。 18．如图所示的阴极射线管，在D1D2间加图示电压和磁场（未画出），仅调节磁场的大小，阴极射线从P1点移动到P3点，则（　　） A．磁场垂直纸面向里 B．应该减小磁感应强度 C．射线到P3点的动能等于P1点 D．射线到P3点的物质波波长大于P1点 【答案】D 【解答】解：A、当粒子打在P1点时，粒子沿水平方向运动，说明粒子受到的电场力和洛伦兹力平衡，洛伦兹力竖直向上，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B、当打在P3点时，洛伦兹力大于电场力，所以在其他条件不变的情况下，要调节磁感应强度增大，才能增大洛伦兹力，故B错误； C、当电子在D1和D2之间穿过时，由于电子穿过复合场区时，打在P3点的电场力做负功，打在P1点的电场力做正功，但洛伦兹力均不做功，所以打在P3点的动能小于P1点的动能，故C错误； D、根据物质波的波长公式有：λ，由于打在P3点的动能小，所以打在P3点的电子的物质波的波长较长，故D正确。 故选：D。 19．如图所示，足够大的垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定斜面（斜面足够长），A、B叠放在斜面上，A带正电，B不带电且上表面绝缘，B与斜面间的摩擦因数μ＜tanθ。控制B在斜面上静止时，A也能静止在B上，解除对B的控制后，两物块开始沿斜面向下运动，以下说法正确的是（　　） A．刚释放B时，A受到的静摩擦力方向为沿斜面向下 B．A、B相对滑动前，A受到的静摩擦力一直变大 C．A对B的压力大小与时间t成正比关系 D．斜面越粗糙，A、B一起共速运动的时间越长 【答案】D 【解答】解：A.设A的质量为m，B的质量为M，因为A能静止在B上，说明AB之间的最大静摩擦力大于A重力的下滑分力，故刚开始运动时A不会相对B向下滑动，故开始时AB相对静止的沿斜面向下加速运动，对AB整体分析，整体受到斜面的摩擦力，故下滑的加速度 对A分析 mgsinθ﹣fAB＝ma 故 fAB＞0 则刚开始运动时，AB之间有摩擦力，故A错误； B.A运动之后，根据左手定则，A受到垂直斜面向上的洛伦兹力F，在AB相对运动之前对AB整体有 （M+m）gsinθ﹣μ（Mgcosθ+mgcosθ﹣qvB）＝（M+m）a 可知随着A速度增大，加速度增大，故B错误； C.A对B的压力大小 FN＝mgcosθ﹣qvB 因为随着A速度增大，加速度增大，则A速度增大得越来越快，则速度与时间不成正比，则A对B的压力大小与时间t不成正比，故C错误； D.A与B恰好分离时，A与B之间弹力为零，对A则有 mgcosθ﹣qvB＝0 解得 可知A与B分离时的速度大小为一定值； 对整体分析有 （M+m）gsinθ﹣μ（Mgcosθ+mgcosθ﹣qvB）＝（M+m）a 可知斜面越粗糙，AB一起运动的加速度越小，A的速度越晚达到此速度，则共速运动的时间越长，故D正确。 故选：D。 20．如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E1在0.6E0≤E1≤1.2E0范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1随E1的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为（﹣L，﹣1.5L）的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为（﹣L，0）的小孔C，再经偏转区后从坐标为（0，L）的小孔D进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ＝30°。检测区内加沿y轴负方向、场强大小E2＝8E0的匀强电场，在满足（1）的条件下： ①求检测板上收集到离子记录线的长度Δd1； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度Δd2及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小B2沿x轴均匀变化，即B2＝kx（k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【答案】（1）磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）①检测板上收集到离子记录线的长度Δd1为0.3L； ②此记录线的长度Δd2为L，调整后的角度正弦值为0.8； （3）检测板x坐标的最大值为。 【解答】解：（1）粒子在加速电场中从A到C过程，由动能定理可得 粒子在偏转区做圆周运动，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 ； （2）①粒子进入检测区后做类平抛运动，根据运动学公式有 dcos30°＝vt 联立解得 代入E1（0.6E0≤E1≤1.2E0） 有 d1＝0.3L d2＝0.6L 则 Δd1＝0.3L； ②粒子做类平抛运动，根据运动学公式有 dcosθ＝vt 联立解得 当E1＝1.2E0时d＝2L，即 解得 sinθ＝0.8 当E1＝0.6E0时 所以 Δd2＝2L﹣d1＝L； （3）粒子以最大速度进入磁场刚好打在检测板下边缘过程，由动能定理可知 设粒子运动过程中速度在x轴方向的分量为vx，竖直方向根据动量定理可知 qB2vxΔt＝mvm 又 x＝vxΔt 联立解得 或者 。 答：（1）磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）①检测板上收集到离子记录线的长度Δd1为0.3L； ②此记录线的长度Δd2为L，调整后的角度正弦值为0.8； （3）检测板x坐标的最大值为。 ★ 综合培优检测 ★ 21．如图，xOy平面内有大量电子（质量为m、电荷量为e）从原点O连续以相同速率v0向各个方向发射，右侧远处放置与xOy平面垂直且足够大的荧光屏。现在各象限施加面积最小的垂直于该平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，使第1、4象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向运动，第2、3象限的电子最终平行于x轴并沿x轴负向运动。忽略电子间的相互作用，则（　　） A．第1、4象限磁场方向垂直平面向外 B．整场的最小总面积为 C．电子在磁场中运动的最长时间为 D．电子在光屏上形成的光斑长度为 【答案】B 【解答】解：A．因为1、4象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向运动，由左手定则可知第1象限磁场方向垂直纸面向里，第4象限磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．电子在磁场中做匀速圆周运动的半径 在由O点射入第1象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界，设某电子做匀速圆周运动的圆心与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，如图所示 若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得x＝Rsinθ，y＝R﹣Rcosθ 消去参数可知磁场区域的下边界满足的方程为R2＝x2+（R﹣y）2（x＞0，y＞0） 这是一个圆心在（0，R）处圆的方程，磁场区域的最小面积为图中两条圆弧所围成的面积， 则整场的最小总面积为，故B正确； C．电子在磁场中轨迹为四分之一圆周时，运动的最长时间，对应的圆心角为90°，时间为，故C错误； D．电子在光屏上形成的光斑长度为电子运动半径之和，即，故D错误。 故选：B。 22．如图所示，三个完全相同的小球a、b、c带有相同电荷量正电荷，从同一高度由静止同时开始下落，当下落某一相同高度后a球进入水平向左的匀强电场，b球进入垂直纸面向里的匀强磁场，最终它们落到同一水平地面上，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．a、b、c三球同时落地，且落地时三球动能相同 B．b球最后落地，落地时c球动能最大 C．a、c同时落地，落地时b、c动能相同 D．c最后落地，落地时b动能最大 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，c做自由落体运动；而a除竖直方向做自由落体运动外，水平方向受到电场力作用做初速度为零的匀加速运动，所以下落时间一样，不过下落的速度大于c的自由落体运动的速度； 对于b受到洛伦兹力作用，因洛伦兹力始终与速度垂直，所以在竖直方向除受到重力作用外，带电粒子偏转后还有洛伦兹力在竖直方向的分力，导致下落的加速度变小，则下落时间比c的长，由于洛伦兹力不做功，因此下落的速度大小等于c的； 故有速度大小关系va＞vb＝vc 时间大小关系ta＝tc＜tb 根据动能定理，因电场力做正功，而洛伦兹力不做功，所以落地时a球动能最大，b、c动能相同。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 23．如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【答案】B 【解答】解：A、因为重力改变速度的大小，而洛伦兹力仅改变速度的方向，又洛伦兹力大小随速度的变化而变化，故电荷运动的轨迹不可能是圆，故A错误； B、因为系统只有重力做功，据动能定理，电荷在最低点时重力做功最多 解得 最低点处h最大故速度最大。曲线运动的速度方向为该点的切线方向，是最低点的切线方向在水平方向，故B正确； C、整个过程中由于洛伦兹力不做功，即只有重力做功，故系统机械能守恒，故C错误； D、若最低点洛伦兹力与重力大小相等，根据平衡可知电荷将水平向右做匀速直线运动，故不可能沿轨迹AB运动，故D错误。 故选：B。 24．如图所示，界面MN与水平面之间有一个正交的匀强磁场B和匀强电场E，在MN上方有一个带正电的小球A由静止开始下落，经电场和磁场到达水平面，设空气阻力不计，下列说法中正确的是（　　） A．在电磁、磁场中，小球做匀变速曲线运动 B．在电磁、磁场中，小球下落过程中的电势能增大 C．小球从静止开始下落到达水平面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和 D．若其他条件不变，仅仅增大磁感应强度，小球从原来位置下落到水平面时的动能不变 【答案】C 【解答】解：A、小球进入混合场后，受重力、电场力、洛伦兹力共同作用，初速度竖直向下，电场力水平向右，洛伦兹力水平向右，因此，合力必不沿竖直方向，故粒子做曲线运动，在运动过程中洛伦兹力时刻变化，故合力将会改变，小球做变加速曲线运动，故A错误； B、下落过程中，电场力将做正功，由功能关系得，电势能减小，故B错误； C、小球从静止开始下落到水平地面过程中，洛伦兹力不做功，电势能和重力势能均减小，由能量守恒定律知小球落到水平地面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和，故C正确； D、增大磁感应强度后，将改变洛伦兹力的大小，进而使小球的落点发生变化，电场力做功将会改变，落地时动能将会不同，故D错误。 故选：C。 25．如图所示，在xOy平面内的y轴和虚线之间除了圆形区域外的空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。虚线经过Q点（3L，0）且与y轴平行，圆形区域的圆心P的坐标为（2L，0），半径为L。一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点垂直y轴进入磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为 B．粒子不经过圆形区域到达不了Q点 C．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为 D．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为 【答案】C 【解答】解：AB.要使粒子不经过圆形区域到达Q点，则粒子应恰好经过四分之一圆周到达Q点，故半径为3L；则由洛伦兹力充当向心力可知 解得： 故AB错误； CD.要使粒子到达圆形磁场的圆心，轨迹圆的切线应过圆心；如图所示 设粒子从C点进入圆形区域，PC与PA夹角为θ，轨迹圆对应的半径为r 由几何关系得：2L＝rsinθ+Lcosθ 可得：r 由数学知识（可用导数知识）可知当θ＝60°时，半径r最小为 又 解得： 故C正确，D错误。 故选：C。 26．如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），在O点有一粒子源，能沿纸面向各方向均匀发射初速度为v0，电荷量为+q，质量为m的带电粒子，O点右侧有一挡板PQ，已知OQ⊥PQ，OQ＝PQ＝a，当v0沿OQ方向时，粒子恰好打在挡板上端P点处，不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为2a B．击中挡板左侧的粒子占粒子总数的 C．击中挡板右侧的粒子占粒子总数的 D．若将挡板PQ两端延伸足够长，粒子打在挡板上的长度为2a 【答案】C 【解答】解：A.沿OQ方向射入的粒子轨迹1如图甲所示 由几何关系知 R＝a 故A错误； B.击中挡板左侧的粒子，如上图甲所示，其轨迹介于轨迹1与轨迹2之间，对应初速度间的夹角为30°，故其间的粒子数占总粒子数的比例为 故B错误； C.击中挡板右侧的粒子，如图乙所示 其轨迹介于轨迹3与轨迹4之间，对应初速度间的夹角为60°，故其间的粒子数占总粒子数的比例为 故C正确； D.若将挡板PQ两端延伸足够长，如图丙所示 粒子能够打在挡板上的轨迹介于轨迹1与轨迹5之间，由几何关系知，粒子打在挡板上的长度为 故D错误。 故选：C。 27．如图，绝缘环a、b质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆上，环的直径略大于杆的直径。环与杆的动摩擦因数均为μ。两杆分别处于竖直向下的匀强电场E和匀强磁场B中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下。下列说法不正确的是（　　） A．摩擦力对两环的冲量相同 B．摩擦力对两环做的功相同 C．若两环最终位移相同，则a环运动时间较短 D．若两环最终运动时间相同，则a环位移较短 【答案】D 【解答】解：A、两环均沿杆做减速运动直到停止，两环受的合力就是摩擦力，以向右为正方向，根据动量定理：I合＝I摩＝Δp＝﹣mv0，由于两环的初速度、质量相同，摩擦力的冲量相同，故A正确； B、由动能定理可知：W合＝W摩＝ΔEk，所以摩擦力做的功相同，故B正确； C、对环a进行分析，有：μ（mg+qE）＝maa，解得：aa，由此可知，环a向右做匀减速直线运动。 对环b进行分析，有：μmab，由此可知，环b向右做加速度减小的减速直线运动。由于当两者速度都为零时，其位移相同，可以作出环a和环b运动的v﹣t图像分别如图中的实线和虚线所示， 两者向右停止时位移相同，则有ta＜tb，故C正确； D、若两者的时间相等ta＝tb，两者v﹣t图像如下所示， 实线所围的面积大于虚线所围的面积，则xa＞xb，故D错误。 本题选错误的， 故选：D。 28．如图所示，光滑绝缘直杆倾角为θ，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖直平面。给小球一沿杆向上的初速度v0，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程中（　　） A．机械能减小 B．最大上滑位移为 C．上滑时间小于下滑时间 D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大 【答案】B 【解答】解：A、由于洛伦兹力不做功，运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故A错误； B、根据动能定理可得：﹣mgsinθ•x＝0，解得最大上滑位移为x，故B正确； C、上滑过程中的加速度大小等于下滑过程中加速度大小，则上滑时间等于下滑时间，故C错误； D、根据左手定则可知，下滑时洛伦兹力方向垂直于杆向上，速度增大、洛伦兹力增大，受到杆的弹力一定先减小，但不一定后增大，故D错误。 故选：B。 29．如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，同种粒子每次都从a点沿与ab边成30°的方向垂直射入磁场，初速度大小为v时，粒子从ac边距a点L处射出磁场，不计粒子的重力，则粒子（　　） A．一定带负电 B．初速度为2v时，在磁场中运动的时间变短 C．初速度为2v时，出射位置距a点L D．射入磁场的速度足够大，能从bc边的中点射出 【答案】C 【解答】解：A.由左手定则可知，粒子带正电，故A错误； C.如图 由题意可知，初速度大小为v时，粒子从ac边距a点处射出磁场，则粒子运动的半径为 当初速度为2v时，则由 可知粒子的运动半径变为原来的2倍，即 因粒子入射方向不变，由图可知出射位置距a点，故C正确； B.由图可知，无论粒子的速度是v还是2v时，粒子在磁场中的偏转角均为60°，根据 粒子在磁场中的运动时间不变，故B错误； D.因bc边的中点在粒子的入射方向上，则粒子不可能从bc边的中点射出，故D错误。 故选：C。 30．如图所示，在坐标平面内，半径为R的圆形边界（圆心在O2点）正好与y轴相切在O1，三个相同的带正电粒子（不计重力）以相同的速度从O1、a、b点射入磁场，其中，从O1点射入磁场的粒子从圆心正上方的c点离开磁场，且射出速度方向沿y轴正方向。则（　　） A．从a点射入的粒子从c点左侧离开磁场 B．从b点射入的粒子从c点右侧离开磁场 C．从a点射入的粒子在磁场中的运动时间比从b点射入的长 D．从a点射入的粒子在磁场中的运动时间比从b点射入的短 【答案】C 【解答】解：AB．从O1点射入磁场的粒子从圆心正上方的c点离开磁场，且射出速度方向沿y轴正方向，可知粒子在磁场中运动的轨迹半径与圆形边界的半径相等，根据“磁聚焦”的特点判断，三个粒子在磁场中发生“磁聚焦”，故从a、b点射入的粒子均从c点离开磁场，故AB错误； CD．从a点射入的粒子在磁场中的运动轨迹大于从b点射入的粒子在磁场中的运动轨迹，故从a点射入的粒子在磁场中的运动时间比从b点射入的长，故C正确，D错误。 故选：C。 31．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的范围足够大的匀强磁场内，固定着倾角为θ的绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为﹣q的带电小物块以初速度v0沿斜面向上运动，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ。设滑动时电荷量不变，在小物块上滑过程中，其速度v与时间t，加速度a与时间t和动能Ek与位移x的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：依据左手定则判断物块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下，对沿斜面向上运动的小物块受力分析，由牛顿第二定律可得： mgsinθ+μFN＝ma FN＝mgcosθ+qvB 联立解得： a＝gsinθ+μgcosθ，方向沿斜面向下 所以物体沿斜面向上做加速度减小的减速运动，速度越小，加速度越小，速度减小的越慢，加速度减小得越慢，在小物块上滑过程中，当速度为零时加速度最小，但最小值不为零； A、速度—时间图像的切线斜率表示加速度，故A错误； BC、物体加速度减小，且加速度减小得越来越慢，在小物块上滑过程中，加速度减不到零，故C正确，B错误； D、动能Ek与位移x的关系图像的斜率表示合力，根据以上分析可知，小物块上滑过程中，合力为变力，则斜率会发生变化，故D错误。 故选：C。 32．如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1＝v，粒子Q的入射速度为，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为3：2 【答案】D 【解答】解：A、两粒子进入磁场时所受洛伦兹力均向左，由左手定则可知，粒子P、Q均带正电，故A错误； B、带电粒子在磁场中运动周期为：T，两粒子比荷相同，故粒子P、Q的运动周期相同，故B错误； C、带电粒子Q在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：qv2B＝m 已知粒子Q的入射速度为v2v，可得粒子Q的轨道半径为半径r，故C错误； D、已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，易知粒子P的运动半径rP＝R。 因粒子的运动半径与速度大小成正比，由题意可得粒子Q的入射速度为粒子P的入射速度的倍，故可得粒子Q的运动半径rR； 作出两粒子的运动轨迹如下图所示： 由几何关系易知：α＝30°，可得粒子Q的轨迹圆心角为2α＝2×30°＝60°，粒子P的轨迹圆心角为90°； 由于两粒子周期相同，运动时间与轨迹圆心角成正比，则粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为：tP：tQ＝90°：60°＝3：2，故D正确。 故选：D。 （多选）33．如图所示，粗糙绝缘的直杆倾斜固定，轻质绝缘弹簧AB套在直杆上且位于直杆末端。一带正电的小球也套在杆上，从某一位置P由静止下滑，下滑到点M时速度最大，到达N点时速度为零（M、N两点未标出）。若在杆所在的竖直平面内加一方向垂直杆斜向右上的匀强磁场，小球仍然从P点由静止下滑（电量不变），则下列判断正确的是（　　） A．磁场足够强时，小球有可能不能到达A点 B．小球速度最大的位置一定在P、M之间的某一位置 C．因为洛伦兹力不做功，所以小球下降的最低点仍然在N点 D．第二种情况下弹簧所具有的最大弹性势能一定比第一次小 【答案】BD 【解答】解：A、设杆与水平方向的夹角为θ，小球第一次从静止下滑，可知mgsinθ＞μmgcosθ，即μ＜tanθ，加上磁场，小球从静止释放后加速下滑，由左手定则可知小球受到垂直杆水平方向的洛伦兹力，相比第一次无磁场下滑，小球的弹力由mgcosθ逐渐增大，由牛顿第二定律有：mgsinθ﹣μN＝ma，弹力N逐渐增大，加速度逐渐减小，当加速度为零时，小球做匀速直线运动，所以不存在小球到不了A点，故A错误； B、小球速度最大位置，为合力等于零的位置，即：mgsinθ＝μN+kx，相比第一次下滑，第二次下滑到同一位置时，由于小球受到洛伦兹力，弹力增大，摩擦力增大，合力为零的位置一定在M点上方，故B正确； CD、第二次下滑，摩擦力增大，经过相同的路程克服摩擦力做的功增大，机械能减少得比第一次多，所以小球下降的最低点在N点上方，小球在下降到最低点时弹簧弹性势能最大，可知第二次弹簧具有的最大弹性势能一定比第一次小，故C错误，D正确。 故选：BD。 34．如图所示，直角坐标系xOy平面内，x轴上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的粒子，以与x轴正方向成53°角的初速度从M（0.8d，0）点进入第一象限，恰好垂直于y轴进入第二象限。不计粒子的重力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。 （1）求粒子的初速度大小v； （2）x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场。电场强度大小为E0，求粒子第一次在电场中运动的时间t； （3）若x轴下方存在着沿y轴正方向的匀强电场、且方向不变、E大小可调整，要使粒子从M点第1次进入磁场后，第3次进入磁场时的运动轨迹能与y轴相切，求电场强度E需满足的条件。 【答案】（1）粒子的初速度大小为； （2）粒子第一次在电场中运动的时间为； （3）电场强度E需满足的条件是或者。 【解答】解：（1）粒子从M点进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图1 由几何关系可得轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）由匀速圆周运动规律知，粒子从x轴上的（﹣0.8d，0）点射出，且方向与+x 方向成53°，进入匀强电场后x轴方向上做匀速直线运动，y轴方向上做匀变速直线运动，且加速度 根据运动轨迹对称性可知，粒子再次进入磁场时速度大小仍为v，方向与+x方向成53°，则粒子第一次在电场中运动的时间 解得 （3）电场中运动的水平距离x＝vcos53°t 要使粒子能与y轴相切，可以有两种情况： ①设粒子自Q1点后第3次在磁场中运动的轨迹左侧与y轴相切，如图 则2（x﹣1.6d）＝r 则 ②设粒子自Q1点后第3次在磁场中运动的轨迹右侧与y轴相切，如图 则满足2（1.6d﹣x）＝r 则 答：（1）粒子的初速度大小为； （2）粒子第一次在电场中运动的时间为； （3）电场强度E需满足的条件是或者。 35．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。现有这样一个简化模型：如图所示，一上、下表面水平的长方体ABCD﹣abcd区域内存在沿竖直向下方向的匀强电场（图中未画出），将质量为m，电荷量为+q（q＞0）的带正电粒子从长方形ADda对角线的交点以水平速度v0射入长方体区域，刚好从BC的中点飞出该区域。已知AB长为3l，Aa高为2l，不计粒子的重力。求： （1）长方体ABCD﹣abcd区域内电场强度E的大小； （2）若撤去电场，加上匀强磁场，粒子也从BC的中点飞出该区域，则磁感应强度B的大小和方向； （3）求上述分别加电场和磁场时，粒子在该区域运动的时间之比。 【答案】（1）长方体区域内电场强度大小为。 （2）磁感应强度大小为，方向平行于AD边且由D指向A。 （3）加电场和磁场时粒子运动时间之比为。 【解答】解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向匀速运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。 由运动学公式得3l＝v0t1与，根据牛顿第二定律有qE＝ma，联立解得电场强度。 （2）撤去电场并施加匀强磁场后，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。因其初速度水平且落点在入射点下方，由几何关系可知轨迹位于垂直AD的平面内，圆心在过入射点且垂直初速度的方向上。设轨迹半径为R，由几何关系得（3l）2+（R﹣l）2＝R2，解得：R＝5l。根据牛顿第二定律，解得磁感应强度。依据左手定则，磁场方向平行于AD边，且由D指向A。 （3）在匀强电场中，粒子在水平方向做匀速直线运动，运动时间； 在匀强磁场中，根据几何关系（3l）2+（R﹣l）2＝R2解得轨迹半径R＝5l。 设粒子在磁场中运动转过的圆心角为α，则有，代入数据得sinα＝0.6，根据中学物理常用近似取，其运动时间，代入数据可得，即； 由此可得，粒子在两区域运动的时间之比。 答：（1）长方体区域内电场强度大小为。 （2）磁感应强度大小为，方向平行于AD边且由D指向A。 （3）加电场和磁场时粒子运动时间之比为。 重难突破系列 · 人教版（2019）选择性必修第二册 · 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $