第06讲 一元二次方程的概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第06讲 一元二次方程的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的概念 同学们，学校后勤处准备在图书馆前的一块长方形空地上进行绿化改造.已知这块空地的长为20米，宽为15米.为了大家散步方便，学校计划在草坪的正中间修建两条互相垂直的“十字形”步道（一条横向，一条纵向），并且要求这两条步道的宽度必须完全相同. 改造完成后，剩余部分将全部铺上绿色草坪.如果学校要求最终保留的草坪总面积恰好为234平方米，那么这条步道的宽度应该设计为多少米呢？ 请大家思考一下：如果我们设步道的宽度为米，你能利用平移的思想，将不规则的草坪拼凑成一个完整的长方形吗？根据“草坪的长×草坪的宽=草坪总面积”的等量关系，你能列出一个怎样的方程？ 【知识点1 一元二次方程的定义】 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【知识点3 一元二次方程的解（根）】 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型1 一元二次方程的定义判断】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A：，只含一个未知数，的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B：，含有两个未知数和，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元二次方程； C：，含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D：，当时，方程变为，是一元一次方程，不满足“未知数最高次数为2”的条件，故不一定是一元二次方程． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、，整理得，故选项A符合题意； B、，整理得，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C、，整理得，含有两个未知数，故选项C不符合题意； D、，整理得，是一元一次方程，故选项D不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 根据题意，二次项系数和一次项系数均为1，可设方程为，其中为常数，选择即可得到简单方程． 【详解】解：一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 本题要求二次项系数和一次项系数都为1，即，， 因此方程形式为（为任意实数）． 为构造简单方程，取，得到． 故答案为． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 【变式2-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【题型3 化为一元二次方程化为一般形式】 【例3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，对于一元二次方程，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将一元二次方程化成一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：将方程移项， 得， 故一次项系数为， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 【题型4 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 【例4】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的概念，列出关于k的方程求解，且二次项系数不能为零，从而求得k的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴且， ∴且， 即， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【题型5 判断是否是一元二次方程的根】 【例5】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）下列是一元二次方程的根的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 求出方程的根，进而判断即可． 【详解】解：， ， 或， ， 只有B符合． 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【题型6 由一元二次方程的根求字母的值】 【例6】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 【变式6-1】关于的一元二次方程的一个根为6，则a为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】∵是一元二次方程的根， ∴把代入原方程得：， ∴， 解得． 【变式6-2】已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 【变式6-3】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于k的方程，求解k后，根据一元二次方程的定义，得到二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不能为0， ∴， ∴． 【题型7 由一元二次方程的根求代数式的值】 【例7】（25-26九年级上·四川达州·期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，熟悉如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后，方程左右两边相等，是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴代入得，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 【题型8 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 【例8】我国伟大的杂交水稻之父袁隆平老先生，一生奉献于水稻科研中，从根本上解决了十四亿中国人民的粮食问题，并使得中国杂交水稻技术处于世界领先水平．某村种植的水稻2019年平均每公顷产，2021年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，可列方程． 【变式8-1】某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出仓库的长和宽，然后根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 根据仓库面积为列方程得： 整理得：． 【变式8-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【变式8-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价定为x元，根据题意得， ； 故选：D． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】解：选项A，方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项B，方程只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义； 选项C，方程分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义； 选项D，方程 未知数最高次数为3，不符合定义． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． 4．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 【答案】C 【分析】将根代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 6．（25-26九年级上·全国·期中）一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是______，常数项是_________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式（其中 ），直接识别二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：方程中，二次项系数是1，一次项系数是，常数项是， 故答案为1；；． 7．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某个关于的一元二次方程有一个解为，这个方程可以是：_________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解，熟练掌握定义是解题的关键．由于是方程的一个根，因此方程可构造为含有因式的一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为， 则方程为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 11．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】有错，的值是，正确解答见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 【详解】有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一元二次方程的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的概念 同学们，学校后勤处准备在图书馆前的一块长方形空地上进行绿化改造.已知这块空地的长为20米，宽为15米.为了大家散步方便，学校计划在草坪的正中间修建两条互相垂直的“十字形”步道（一条横向，一条纵向），并且要求这两条步道的宽度必须完全相同. 改造完成后，剩余部分将全部铺上绿色草坪.如果学校要求最终保留的草坪总面积恰好为234平方米，那么这条步道的宽度应该设计为多少米呢？ 请大家思考一下：如果我们设步道的宽度为米，你能利用平移的思想，将不规则的草坪拼凑成一个完整的长方形吗？根据“草坪的长×草坪的宽=草坪总面积”的等量关系，你能列出一个怎样的方程？ 【知识点1 一元二次方程的定义】 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【知识点3 一元二次方程的解（根）】 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型1 一元二次方程的定义判断】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南商丘·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【变式2-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________． 【题型3 化为一元二次方程化为一般形式】 【例3】（25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·期中）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为__________． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【题型4 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 【例4】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则k的值为________． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【题型5 判断是否是一元二次方程的根】 【例5】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【变式5-2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）下列是一元二次方程的根的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【题型6 由一元二次方程的根求字母的值】 【例6】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【变式6-1】关于的一元二次方程的一个根为6，则a为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式6-2】已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【题型7 由一元二次方程的根求代数式的值】 【例7】（25-26九年级上·四川达州·期末）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么__________． 【变式7-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）若是方程的一个根，则的值为___________． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型8 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 【例8】我国伟大的杂交水稻之父袁隆平老先生，一生奉献于水稻科研中，从根本上解决了十四亿中国人民的粮食问题，并使得中国杂交水稻技术处于世界领先水平．某村种植的水稻2019年平均每公顷产，2021年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）为铭记历史，凝聚民族精神，某商场购进一批2025年九三阅兵纪念画册，每本的成本是50元，根据市场预测，该纪念画册销售单价为100元时，每天的销量是50本，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5本．设销售单价定为x元，商店每天纪念画册的销售利润为4000元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 4．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的方程的一个根，则的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2031 6．（25-26九年级上·全国·期中）一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是______，常数项是_________． 7．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某个关于的一元二次方程有一个解为，这个方程可以是：_________ ． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 10．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 11．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 12．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $