第10讲 代数式的概念（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第10讲 代数式的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 代数式 同学们，上节课我们学会了用字母来表示数.今天，老师想请大家来当一回“小小精算师”！ 大家平时去文具店买过东西吗？假设一支中性笔的价格是a元，一个笔记本的价格是b元.如果你打算买3支中性笔和2个笔记本，你知道一共需要付多少钱吗？ 没错，3支笔是3a元，2个笔记本是2b元，加起来一共就是3a+2bb元.那如果老师现在告诉你，这支笔a是2元，笔记本b是5元，你能马上算出具体要付多少钱吗？ 大家看，像3a+2b这样，用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，就是我们今天要认识的新朋友——“代数式”.它不仅能帮我们记录购物清单，还能在数字变化时，帮我们快速算出结果！ 【知识点1 用字母表示数的意义】 用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性． 【知识点2 代数式】 1. 概念：像 a－1，a＋6，a＋7，40－m＋n，0. 015m(n－20)，和这样，用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式．单独一个数或一个字母也是代数式，如1，a等．代数式中不含“=”“＞”“＜”“≠”等符号． 2. 代数式的书写格式 （1）在代数式中，数与字母、字母与字母相乘，乘号“×”通常用“”表示或省略不写，并且把数写在字母的前面．例如：4×b应写成4b或4b；a×b应写成ab或ab．数与数相乘时，为避免误会，一般仍用“×”，如3×2 不能省略乘号写成32． （2）代数式中出现除法运算的，通常写成分数的形式，即被除数作分子，除数作分母．如应写成． （3）当代数式后面要注明单位时，若代数式是积或商的形式，直接在后面写单位；若代数式是和或差的形式，先把式子用括号括起来，再在后面写单位． （4）系数是带分数时，带分数要化成假分数．如：x的倍，不能写成，而应写成；如果字母前面的数是1，1通常省略不写． 【知识点3 列代数式】 列代数式就是把实际问题中的数量关系用数学式子表示出来，其本质就是将文字语言转化为数学语言． 【题型1 代数式的概念】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的相关知识． 根据代数式的定义，以及代数式的书写，然后进行判断即可． 【详解】解：A，应写为假分数，代数式书写不规范，该选项不符合题意； B，表示除以的商，描述正确，该选项符合题意； C，1是单独的数，属于代数式，该选项不符合题意； D，“平方的和”指，其4倍应为，而非，该选项不符合题意． 故选B． 【变式1-2】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有_______个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③是等式，不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦是不等式，不是代数式； ⑧是不等式，不是代数式． 综上，代数式有①②④⑤⑥，共5个， 故答案为：5． 【变式1-3】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如就是完全对称式．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是______．（填写序号） 【答案】①② 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ③，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①② 故答案为：①② 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 【题型2 代数式的书写格式】 【例2】下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A的书写符合代数式书写规范，选项A正确； 选项B中，除法运算应写成分数形式，正确书写为，故B不符合要求； 选项C中，数字因数应写在字母前面，正确书写为，故C不符合要求； 选项D中，字母与字母相乘，乘号应省略，正确书写为，故D不符合要求. 【变式2-1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）书写代数式时，常常会作一些要求，对于这个代数式，你认为最规范的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．熟练掌握代数式的书写规范是解题关键．根据代数式的书写规范要求解答即可得． 【详解】解：对于这个代数式，最规范的形式是． 故选：D． 【变式2-2】下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有___________个． 【答案】2 【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：①应表示为 ；②应表示为；③；④正确； 综上分析可知，格式书写正确的个数有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【变式2-3】进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号‘’ ，通常将乘号写作‘ ’或者省略不写”.其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“”，通常用分数线“—”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式简写为__________． 【答案】 【分析】根据题意即可写出答案． 【详解】解：简写为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式的写法，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于基础题型． 【题型3 代数式的意义】 【例3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）写出下列代数式表示的实际意义． （1）若是整数，则表示_____． （2）每只铅笔元，每本笔记本元．则表示_____． 【答案】 三个连续整数的积 用100元购买4支铅笔和3本笔记本后剩余的钱数 【分析】本题考查了代数式的实际意义，将代数式与实际相结合是解题的关键． （1）由n为整数，表示三个连续整数的乘积，据此即可解答； （2）表示购买4支铅笔和3本笔记本的总费用，100减去该总费用表示剩余钱数，据此即可解答． 【详解】解：（1）∵n是整数，所以是三个连续整数， ∴代数式表示这三个连续整数的乘积． 故答案为：三个连续整数的积． （2）∵每支铅笔a元，则4支铅笔的费用为元；每本笔记本b元，则3本笔记本的费用为元； ∴表示购买4支铅笔和3本笔记本的总费用． ∵100元是总钱数， ∴代数式表示用100元购买这些物品后剩余的钱数． 故答案为：用100元购买4支铅笔和3本笔记本后剩余的钱数． 【变式3-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）在不同的实际问题中，代数式可以解释为不同的意义，请你举例说明_______（举一个实际问题的例子即可）． 【答案】一件商品原价x元，打六折出售，则现价为元（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式的意义．代数式表示x的，因此可以联系实际生活中的折扣问题举例． 【详解】解：例如，在销售问题中，若商品原价为x元，享受的折扣，则现价可表示为元． 故答案为：一件商品原价x元，打6折后的价格为元．（答案不唯一） 【变式3-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 【变式3-3】（25-26七年级上·天津西青·期末）下列对代数式的意义描述正确的是（　　） A．代数式的意义可以描述为“的2倍与1的差” B．某个班级原有名男生，开学初转走1名男生，则这个班级的总人数可以表示为 C．若长方形的长为，宽为1，则这个长方形的周长可以表示为 D．甲超市某件商品单价为元，乙超市出售同样商品的单价比甲超市便宜1元，那么在乙超市购买两件这个商品共花费元 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，需根据代数式的含义判断各选项描述是否正确即可． 【详解】解：代数式 表示先计算与的差，再乘以2， A．描述为“的倍与1的差”，即，与题意不符，故A不符合题意； B．班级总人数未明确与男生人数的关系，描述不合理，故B不符合题意； C．长方形周长应为，而非，故C不符合题意； D．乙超市单价为元，购买两件花费元，符合代数式意义，故D符合题意． 故选：D． 【题型4 列代数式】 【例4】（25-26七年级上·河南开封·期末）用代数式表示的平方与的平方的和，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键．先分别用代数式表示的平方、的平方，再将两者相加，由此即可得． 【详解】解：的平方可表示为，的平方可表示为， 则用代数式表示的平方与的平方的和为， 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）甲、乙两个车间生产一种化工产品，甲车间每天生产m吨，乙车间每天生产n吨，两个车间各生产6天，则一共生产_____吨化工产品． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．先分别计算甲、乙两车间6天的生产总量，再通过加法运算得到总产量，用代数式表示结果． 【详解】根据工作总量工作效率工作时间， 甲车间6天生产的化工产品产量为：吨， 乙车间6天生产的化工产品产量为：吨， 将两个车间的产量相加，可得一共生产的化工产品质量为吨． 【变式4-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某银行三年期的存款年利率是，小林把压岁钱元存入该银行，存定期三年，到期后小林可得本息和一共多少元？已知到期后本息和计算公式：本息和本金利息，其中利息本金年利率存期．下面列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据本息和公式及列代数式，关键是熟练应用公式解题；根据利息公式求出利息，再结合本息和公式列出式子即可． 【详解】解：∵利息本金年利率存期，本金为元，年利率，存期年 ∴本息和 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）在学校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了400米决赛，小勇速度为m米/秒，小刚为n米/秒，小勇获得了400米决赛的冠军．小刚比小勇多用了_______秒（列代数式即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．分别求出小勇和小刚跑400米所需的时间，然后计算时间差． 【详解】解：小勇的速度为米/秒，跑400米的时间为 秒； 小刚的速度为米/秒，跑400米的时间为 秒． 由于小勇获得冠军，其时间更短，因此小刚比小勇多用的时间为秒． 故答案为：． 【题型5 用代数式表示数、图形的规律】 【例5】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．依此规律，第n个图案中共有_____个圆片（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系． 观察图形，发现：圆片在2的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可． 【详解】解：第1个图案中有圆片个， 第2个图案中有圆片个， 第3个图案中有圆片个， 第n个图案中有圆片个数是：． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察代数式的符号、分子、分母的变化规律，分别总结后组合得到第个代数式的表达式． 【详解】解： 观察符号规律：第1个为负，第2个为正，第3个为负……，符号可表示为， 分子均为，保持不变， 分母依次为，，，……，分母可表示为， 第个代数式是， 故选A． 【变式5-2】（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图是一组有规律的图案，第1个图案由3个基础图形组成，第2个图案由5个基础图形组成，则第6个图案由________个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案由________个基础图形组成． 【答案】 【分析】本题考查了图形变化规律问题，正确确定图形的变化规律是解题的关键． 根据题意，确定图形的变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意可知，组成第1个图案的基础图形有个， 组成第2个图案的基础图形有个， 组成第3个图案的基础图形有个， 组成第6个图案的基础图形有个， 组成第个图案的基础图形有个． 故答案为：①；②． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查平面镶嵌，规律型：图形的变化类，多边形内角与外角，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．根据题意分析可得：从里向外的第1层含有6个正三角形；第2层含有个正三角形；根据正三角形的规律此后每层都比前一层多个，所以第3层含有个正三角形，第4层含有个正三角形，从而写出第层中含有的正三角形个数． 【详解】解：第1层中含有正三角形个数是个， 第2层中含有正三角形个数是个， 第3层中含有正三角形个数是个， 第4层中含有正三角形个数是个， 第层中含有正三角形个数是个． 故答案为：． 模块三 代数式求值 【知识点4 代数式的值】 1. 概念：代数式中的字母表示的是数，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值． 2. 求代数式的值的一般步骤 （1）用给定的字母的值代替代数式中的字母，即“代入”； （2）按有理数混合运算的顺序进行计算，得出结果． 【题型6 直接求代数式的值】 【例6】当，时，代数式________． 【答案】 【分析】将，代入中，计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式6-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）当时，代数式的值为___________； 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将代入代数式，依次计算绝对值和平方，再求差解答即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）若x，y为有理数，且，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得，， 将，代入得， 故选：D． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，，且，则的值是（    ） A．或12 B．2或 C．2或12 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义和有理数比较大小，先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 【题型7 实际应用中求代数式的值】 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 【变式7-1】某仓库有存粮85吨，第一天运走了吨，第二天又运来了3车，每车装吨，此时仓库有存粮_________吨． 【答案】 【分析】根据题意，利用存粮85吨减去第一天运走的吨数，然后加上第二日运来的吨数，即可列出代数式． 【详解】解：依题意得：仓库存粮= 故答案为：． 【点睛】本题考查的列代数式，正确理解题意，是解题的关键． 【变式7-2】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）甲、乙两地之间公路全长，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为，因为临时有新任务，现将汽车的行驶速度增加，那么汽车加快速度后从甲地到乙地可以早到__________小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 先分别表示出汽车加速前后所用时间，再求差即可． 【详解】原计划所用时间为，汽车加速后所用时间为， 所以汽车加快速度后从甲地到乙地早到． 故答案为：． 【变式7-3】如图，，两地之间有一条东西走向的道路，在地的东边处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌一辆汽车从地的东边处出发，沿此道路向东行驶，当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为（   ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出汽车出发时距离第一个广告牌，再根据第一个广告牌之后每往东就设置一个广告牌列代数式即可． 【详解】解：由题意得：汽车出发时距离第一个广告牌， ∴当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 【题型8 用程序框图求代数式的值】 【例8】（25-26七年级上·河北唐山·期末）按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，由于，则把代入中，求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴输出的值是1， 故选：D． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（    ） A．9 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与求代数式的值． 根据将，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为7，则第2026次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律探索，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次输入：（奇数）， 第2次输入：10（偶数）， 第3次输入：5（奇数）， 第4次输入：8（偶数）， 第5次输入：4（偶数）， 第6次输入：2（偶数）， 第7次输入：1（奇数）， 从第4次开始，输出进入循环：，周期为． 由上规律可得，前3次不参与循环，从第4次到第2026次共次， ∵余， ∴第2026次输出的结果为4， 故选B． 【变式8-3】（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图是一个“数值转换器”，若开始输入x的值为8，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是6，…，则第次输出的结果是______． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出相应的输出结果． 根据题意和数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化特点，从而可以求得第次输出的结果． 【详解】解：由题意可得， 第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， …， 从第3次输出的结果开始按照开始循环出现， ∵， ∴第输出的结果为， 故答案为：． 模块四 课后作业 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 2．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 3．（25-26八年级下·海南·期中）当时，则代数式的值是(    ) A．2 B．3 C．1 D．5 【答案】D 【详解】解：将代入代数式得 ∴代数式的值为5． 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 5．（25-26七年级上·广西河池·期末）若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（   ） A．0 B．5 C． D．无法计算 【答案】C 【详解】解：∵x与y互为相反数，a与b互为倒数， ∴，， ∴． 6．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若，则的倒数是______． 【答案】 【分析】先计算出，再得出其倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故的倒数为． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数式的意义：__________． 【答案】一件商品原价元，降价，售价是元（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查了代数式的实际意义．代数式表示原价减去的折扣后的价格，常用于商品降价情境． 【详解】解：设商品原价为元，降价后，现价为原价的，即元． 故答案为：一件商品原价元，降价，售价是元（答案不唯一，合理即可）． 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）用代数式表示：a的平方的倍与b的平方的差，_________． 【答案】 【分析】先分别表示出a的平方的倍和b的平方，再作差，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列代数式为． 9．（25-26七年级上·山西晋中·期末）在三角形内取一定数量的点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形内所有区域都变成三角形．如图，当三角形内有1个点时，可分得3个三角形；当三角形内有2个点时，可分得5个三角形；当三角形内有3个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）……按此规律，当三角形内有个点时，可分得________个三角形．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的规律，列代数式，掌握知识点是解题的关键．通过观察三角形内点个数与可分得三角形个数的关系，发现每增加一个点，三角形个数增加2，从而得出一般规律． 【详解】解：图1中三角形内有1个点时，三角形个数为个）； 图2中三角形内有2个点时，三角形个数为（个）； 图3中三角形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以此类推……； 三角形内有n个点时，三角形个数为个． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·广东·期末）如图所示是一个运算程序，若输入的值为，则输出的结果为______ 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，把x的值代入运算程序中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】把，，直接代入计算． 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）当，，时， ． 12．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 【答案】(1) (2)表示与2的和的3倍 【分析】本题考查了列代数式，代数式的意义，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）用总页数减去已经看了的页数即可得解； （2）表示与2的和，乘以表示3倍，由此即可得解． 【详解】（1）解：∵一本书有280页，每天看页，看了4天， ∴剩余页数为页； （2）解：代数式的意义为与2的和的3倍． 13．（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示的长度为_____； (2)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (3)若，求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)27 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列出正确的代数式是解题的关键． （1）根据图形及已知数据列出代数式即可； （2）用长方形的面积减去两个三角形的面积即可； （3）将已知数值代入（2）中列出的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）解： ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由（2）可得：当时， ， 即阴影部分的面积为27． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 代数式的概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 代数式 同学们，上节课我们学会了用字母来表示数.今天，老师想请大家来当一回“小小精算师”！ 大家平时去文具店买过东西吗？假设一支中性笔的价格是a元，一个笔记本的价格是b元.如果你打算买3支中性笔和2个笔记本，你知道一共需要付多少钱吗？ 没错，3支笔是3a元，2个笔记本是2b元，加起来一共就是3a+2bb元.那如果老师现在告诉你，这支笔a是2元，笔记本b是5元，你能马上算出具体要付多少钱吗？ 大家看，像3a+2b这样，用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，就是我们今天要认识的新朋友——“代数式”.它不仅能帮我们记录购物清单，还能在数字变化时，帮我们快速算出结果！ 【知识点1 用字母表示数的意义】 用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性． 【知识点2 代数式】 1. 概念：像 a－1，a＋6，a＋7，40－m＋n，0. 015m(n－20)，和这样，用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式．单独一个数或一个字母也是代数式，如1，a等．代数式中不含“=”“＞”“＜”“≠”等符号． 2. 代数式的书写格式 （1）在代数式中，数与字母、字母与字母相乘，乘号“×”通常用“”表示或省略不写，并且把数写在字母的前面．例如：4×b应写成4b或4b；a×b应写成ab或ab．数与数相乘时，为避免误会，一般仍用“×”，如3×2 不能省略乘号写成32． （2）代数式中出现除法运算的，通常写成分数的形式，即被除数作分子，除数作分母．如应写成． （3）当代数式后面要注明单位时，若代数式是积或商的形式，直接在后面写单位；若代数式是和或差的形式，先把式子用括号括起来，再在后面写单位． （4）系数是带分数时，带分数要化成假分数．如：x的倍，不能写成，而应写成；如果字母前面的数是1，1通常省略不写． 【知识点3 列代数式】 列代数式就是把实际问题中的数量关系用数学式子表示出来，其本质就是将文字语言转化为数学语言． 【题型1 代数式的概念】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【变式1-2】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有_______个． 【变式1-3】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如就是完全对称式．下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是______．（填写序号） 【题型2 代数式的书写格式】 【例2】下列代数式书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）书写代数式时，常常会作一些要求，对于这个代数式，你认为最规范的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有___________个． 【变式2-3】进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号‘’ ，通常将乘号写作‘ ’或者省略不写”.其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“”，通常用分数线“—”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式简写为__________． 【题型3 代数式的意义】 【例3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）写出下列代数式表示的实际意义． （1）若是整数，则表示_____． （2）每只铅笔元，每本笔记本元．则表示_____． 【变式3-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）在不同的实际问题中，代数式可以解释为不同的意义，请你举例说明_______（举一个实际问题的例子即可）． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【变式3-3】（25-26七年级上·天津西青·期末）下列对代数式的意义描述正确的是（　　） A．代数式的意义可以描述为“的2倍与1的差” B．某个班级原有名男生，开学初转走1名男生，则这个班级的总人数可以表示为 C．若长方形的长为，宽为1，则这个长方形的周长可以表示为 D．甲超市某件商品单价为元，乙超市出售同样商品的单价比甲超市便宜1元，那么在乙超市购买两件这个商品共花费元 【题型4 列代数式】 【例4】（25-26七年级上·河南开封·期末）用代数式表示的平方与的平方的和，其中正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）甲、乙两个车间生产一种化工产品，甲车间每天生产m吨，乙车间每天生产n吨，两个车间各生产6天，则一共生产_____吨化工产品． 【变式4-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某银行三年期的存款年利率是，小林把压岁钱元存入该银行，存定期三年，到期后小林可得本息和一共多少元？已知到期后本息和计算公式：本息和本金利息，其中利息本金年利率存期．下面列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）在学校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了400米决赛，小勇速度为m米/秒，小刚为n米/秒，小勇获得了400米决赛的冠军．小刚比小勇多用了_______秒（列代数式即可）． 【题型5 用代数式表示数、图形的规律】 【例5】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．依此规律，第n个图案中共有_____个圆片（用含n的代数式表示）． 【变式5-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·海南儋州·期末）如图是一组有规律的图案，第1个图案由3个基础图形组成，第2个图案由5个基础图形组成，则第6个图案由________个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案由________个基础图形组成． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 模块三 代数式求值 【知识点4 代数式的值】 1. 概念：代数式中的字母表示的是数，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值． 2. 求代数式的值的一般步骤 （1）用给定的字母的值代替代数式中的字母，即“代入”； （2）按有理数混合运算的顺序进行计算，得出结果． 【题型6 直接求代数式的值】 【例6】当，时，代数式________． 【变式6-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）当时，代数式的值为___________； 【变式6-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）若x，y为有理数，且，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，，且，则的值是（    ） A．或12 B．2或 C．2或12 D．或 【题型7 实际应用中求代数式的值】 【例7】（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【变式7-1】某仓库有存粮85吨，第一天运走了吨，第二天又运来了3车，每车装吨，此时仓库有存粮_________吨． 【变式7-2】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）甲、乙两地之间公路全长，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划行驶速度为，因为临时有新任务，现将汽车的行驶速度增加，那么汽车加快速度后从甲地到乙地可以早到__________小时． 【变式7-3】如图，，两地之间有一条东西走向的道路，在地的东边处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌一辆汽车从地的东边处出发，沿此道路向东行驶，当经过第个广告牌时，此车所行驶的路程为（   ）        A． B． C． D． 【题型8 用程序框图求代数式的值】 【例8】（25-26七年级上·河北唐山·期末）按如图所示的运算程序，输入，则输出的值是（    ） A．3 B．3 C．2 D．1 【变式8-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）按照如图所示的运算程序，若，，则输出结果为（    ） A．9 B．11 C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为7，则第2026次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式8-3】（25-26七年级上·福建宁德·期末）如图是一个“数值转换器”，若开始输入x的值为8，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是6，…，则第次输出的结果是______． 模块四 课后作业 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 2．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．（25-26八年级下·海南·期中）当时，则代数式的值是(    ) A．2 B．3 C．1 D．5 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 5．（25-26七年级上·广西河池·期末）若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（   ） A．0 B．5 C． D．无法计算 6．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若，则的倒数是______． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期中）请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数式的意义：__________． 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）用代数式表示：a的平方的倍与b的平方的差，_________． 9．（25-26七年级上·山西晋中·期末）在三角形内取一定数量的点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形内所有区域都变成三角形．如图，当三角形内有1个点时，可分得3个三角形；当三角形内有2个点时，可分得5个三角形；当三角形内有3个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）……按此规律，当三角形内有个点时，可分得________个三角形．（用含的代数式表示） 10．（25-26七年级上·广东·期末）如图所示是一个运算程序，若输入的值为，则输出的结果为______ 11．（25-26七年级上·四川自贡·期中）当，，时求下列代数式的值： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 13．（25-26七年级上·广东珠海·期中）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示的长度为_____； (2)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (3)若，求出阴影部分的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $