精品解析：江苏省扬州市邗江实验学校2024-2025学年八年级下学期数学期中考试试题

八年级期中数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 ） A B. C. D. 2. 某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（  ） A 扬州东站对旅客上高铁进行安检，采用抽样调查方式 B. 为了了解全国八年级学生的近视情况，采用全面调查方式 C. 为了了解江苏省居民的日平均用电量，采用抽样调查方式 D. 为了解同学们对《新闻联播》的收看情况，李明在学校随机采访了10名初二学生 4. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5. 若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 6. 关于方程的解为正数．则的取值范围为（  ） A. 且 B. C. D. 且 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 8. 如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ） A 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，应该采用的调查方式是_______（选填“普查”或“抽样调查”）． 10. 若分式有意义，则的取值范围是________． 11. 已知，则代数式的值为________． 12. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为________． 13. 元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为___________． 14. 菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为_____． 15. 关于的分式方程有增根，则的值是________． 16. 如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长度为______． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 18. 如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为_________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选一个恰当的数代入求值． 21. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 22. 推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数． 23. 如图，在中，． （1）求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求（1）中的菱形的周长． 24. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买 A，B两种型号的“文房四宝”共40 套，共花费 4300 元，其中 B型号的“文房四宝”花费3000 元．已知每套A 型号的“文房四宝”的价格比 B 型号的“文房四宝”的价格高．求 A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 26. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 27. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，求的值． 28. 如图，矩形中，．一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级期中数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的特征，将图形旋转仍与原图形重合即可得到答案． 【详解】解：不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是中心对称图形，故选项B不符合题意； 是中心对称图形，故选项C符合题意； 不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选C． 2. 某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由第组的频数除以总人数即得出第组的频率，再用减去其它组的频率，即可求出第组的频率，最后用总人数乘第组的频率即可求出第组的频数． 【详解】解：根据题意可知第组的频率为， 第组的频率， 第组的频数是， 故选：B． 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（  ） A. 扬州东站对旅客上高铁进行安检，采用抽样调查方式 B. 为了了解全国八年级学生的近视情况，采用全面调查方式 C. 为了了解江苏省居民的日平均用电量，采用抽样调查方式 D. 为了解同学们对《新闻联播》的收看情况，李明在学校随机采访了10名初二学生 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断调查方式问题．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：扬州东站对旅客上高铁进行安检，采用全面调查方式，即A选项不符合题意， 为了了解全国八年级学生的近视情况，采用抽样调查方式，即B选项不符合题意， 为了了解江苏省居民的日平均用电量，采用抽样调查方式，即C选项符合题意， 为了解同学们对《新闻联播》的收看情况，李明在学校随机采访了10名初二学生，不具有代表性，可以每个年级抽取多少位等方式，即D选项不符合题意， 故选：C． 4. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A． 5. 若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 用和代替式子中的和，化简即可得出结论． 【详解】解：由题意得， 分式的值扩大为原来的倍， 故选：A． 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（  ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，一元一次不等式的解集，表示出分式方程的解，由解为正数确定出的范围即可．解题关键是始终注意分母不为这个条件． 【详解】解：在分式方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， 解得：且． 故选：A． 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解． 【详解】连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB＝BD，∠ABD＝60° ∵DC∥AB ∴∠CDB＝∠ABD＝60° ∴∠A＝∠CDB ∵∠EBF＝60° ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF ∴∠ABE＝∠DBF ∵ ∴△ABE≌△DBF（AAS） ∴AE＝DF ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解． 8. 如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．过点作直线，过点作轴，证明，当最小时，对角线取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作直线，过点作轴，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点， 平行四边形， ， 直线和均垂直于轴， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由于的长不变，故当最小时，即点在轴上时，对角线取得最小值， 最小值为， 故选D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，应该采用的调查方式是_______（选填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查“为了一定目的而对调查对象进行的全面调查，称为全面调查”、抽样调查“抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查”，选择全面调查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可得． 【详解】解：检查“神舟十九号”载人飞船的零件质量情况，对精确度要求高，所以应该采用的调查方式是全面调查，即普查， 故答案为：普查． 10. 若分式有意义，则取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为，本题中根据分式有意义可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 11. 已知，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和．先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故答案为：10． 13. 元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元能够买珠椽，则列出分式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故答案为：． 14. 菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键． 作于，由直角三角形的性质求出菱形的高，再运用菱形面积公式底高计算即可． 【详解】解：作于，如图所示： ∵四边形是菱形，周长为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于的分式方程有增根，则的值是________． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、分式方程的增根，首先解分式方程可得：，根据分式方程有增根，可得：或，继续解关于的分式方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为得：， 分式方程有增根， 或， 当时，， 经检验是分式方程的解， 当时，， 经检验是分式方程的解． 综上所述，的值是或 ． 故答案为：或 ． 16. 如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点G，连接，，根据三角形中位线性质得出，，根据三角形三边关系可知：，从而得出答案即可． 【详解】解：取的中点G，连接，，如图所示： ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， 根据三角形三边关系可知：， ∴当、G、F三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：5． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选一个恰当的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件得到，取即可得到答案． 【详解】解：， ， ，取， 当时， 原式． 21. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了图形的变换—中心对称： （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）用所在的长方形面积减去其周围的三个三角形的面积，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：． 22. 推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，E组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时初中学生人数． 【答案】（1）500； （2）见解析 （3）19000人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提． （1）由B组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以E组人数所占比例即可； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是， 所以A组所在扇形的圆心角的大小是； 【小问2详解】 解：D组人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（名）. 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有19000名． 23. 如图，在中，． （1）求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求（1）中的菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质． （1）先作线段的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点E，连接，，即可； （2）由菱形的性质可得，设，则，中，由勾股定理得，，代入求出x的值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴，设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为． 24. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买 A，B两种型号的“文房四宝”共40 套，共花费 4300 元，其中 B型号的“文房四宝”花费3000 元．已知每套A 型号的“文房四宝”的价格比 B 型号的“文房四宝”的价格高．求 A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 【答案】每套A型号的“文房四宝”的价格为130元，每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，准确理解等量关系是解题的关键．设B种型号“文房四宝”的单价是元/套，则A种型号“文房四宝”的单价是元/套，根据题意列出方程进行计算即可． 【详解】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元/套，则A种型号“文房四宝”的单价是元/套. 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每套A型号的“文房四宝”的价格为130元，每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 26. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 【答案】（1）正方形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形矩形， 又， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于H， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 27. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【小问1详解】 解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 28. 如图，矩形中，．一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E，连接． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）能， （3）2.5或4，见解析 【解析】 【分析】（1）根据得到，由，得到，由即可得到结论； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，得到，则，即可得到答案； （3）分和两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：能．理由： ∵， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，满足条件，此时四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 当时，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，舍去 综上所述，满足条件的t的值为2.5或4． 【点睛】本考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、含的直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$