第1.3讲 两条直线的平行与垂直（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第1.3讲 两条直线的平行与垂直 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断两直线的位置关系（不含参） 题型2 判断两直线的位置关系（含参） 题型3 已知直线平行求参数 题型4 已知垂直求参数 题型5 由两直线平行求方程 题型6 由两直线垂直求方程 题型7 直线位置关系的几何应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 判断两直线的位置关系（不含参） 将方程化为斜截式，比较斜率和截距；或利用一般式系数比。易错点：忽略斜率不存在的情况（竖直直线），误将平行当作重合或反之。 2. 判断两直线的位置关系（含参） 需分类讨论参数使直线斜率不存在的情形；利用一般式系数比时注意重合与平行的区别（常数项比例是否一致）。易漏掉垂直条件（系数和为零）。 3. 已知直线平行求参数 先讨论斜率不存在情况，再设斜率相等且截距不等；使用一般式时，对应系数成比例但常数项比例不同。易错：未排除重合（参数使两直线相同）。 4. 已知垂直求参数 利用斜率乘积为负一（斜率均存在），或一条斜率不存在另一条斜率为零；一般式直接用系数和为零。易错：忽略斜率不存在的情形。 5. 由两直线平行求方程 设新直线保留原直线的前两项系数（或斜率相同），常数项设为未知，再利用过定点条件求解。易错：忘记排除与原直线重合（常数项相同）。 6. 由两直线垂直求方程 一般式可设为交换系数并变一个符号，再代点求常数；点斜式则利用负倒数斜率。易错：斜率不存在时的特殊处理。 7. 直线位置关系的几何应用 求交点、对称点、角平分线、三角形的高、中点、距离等；判断四边形形状或点线位置。常结合距离公式、中点坐标，考查几何直观与代数转化。 学习重点：掌握判断平行、垂直、相交、重合的代数条件（斜率关系、一般式系数比）；熟练处理含参问题的分类讨论（斜率不存在是易漏点）；能由平行或垂直条件求出直线方程中的参数或新直线方程。 学习难点：含参问题中正确区分平行与重合（常数项比例是否一致）；垂直讨论时斜率不存在与斜率为零的对应关系；由一般式快速判断位置关系时系数比例的运算准确性；几何应用中将几何条件（如对称、角平分）转化为代数方程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的斜率与位置关系 一、 两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2， 则有. 2 当直线不重合且斜率都不存在时， 二、两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，. 即时即练（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【易错提醒】 用斜率讨论直线的位置关系时，需要讨论斜率不存在的情况。 知识点02 直线的一般式方程与位置关系 直线 与 1 两直线平行不重合 且 2 两直线垂直 即时即练（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的有（   ） A．若表示与轴平行或重合的直线，则 B．若表示与轴平行或重合的直线，则 C．若，则 D．若，则 【易错提醒】 注意尽量用乘式而不是除式结构。 题型1 判断两直线的位置关系（不含参） 【例1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【易错警示】 判断两直线位置关系（不含参）时，将方程化为斜截式：若斜率相等且截距不等则平行；斜率相等且截距相等则重合；斜率不等则相交，若斜率乘积为负一则垂直。注意斜率不存在的情况另外讨论。 【变式1-1】（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【变式1-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 题型2 判断两直线的位置关系（含参） 【例1】（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【例2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【易错警示】 判断含参两直线位置关系时，先讨论参数使直线斜率不存在的情形，再讨论一般情况。利用一般式系数比去判断。注意参数可能使分类讨论不唯一。 【变式2-1】（多选）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（  ） A．存在k、使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【变式2-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 题型3 已知直线平行求参数 【例1】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【例2】（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【易错警示】 已知两直线平行求参数时，先考虑斜率不存在的情形（如直线竖直），再设斜率存在，利用斜率相等且截距不等列方程。使用一般式时，对应系数成比例且常数项比例不同（或比值相等但常数项不等），注意排除重合情况。 【变式3-1】（25-26高三上·山东德州·期末）直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 题型4 已知垂直求参数 【例1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错警示】 已知两直线垂直求参数时，若斜率都存在，利用斜率乘积等于负一列方程；若一条斜率不存在（竖直），则另一条必须水平（斜率为零）。使用一般式时，直接利用系数关系，无需单独讨论斜率。 【变式4-1】（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型5 由两直线平行求方程 【例1】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【例2】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 已知一条直线方程，求与之平行的直线时，可设新直线方程为原方程的一般式各项系数对应成比例（常保留前两项系数，常数项设为未知），再利用过定点或截距条件求出常数项。注意排除与原直线重合的情况。若直线斜率存在，也可直接设斜截式，斜率相同，截距不同。 【变式5-1】（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型6 由两直线垂直求方程 【例1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 已知一条直线方程，求与之垂直的直线时，可根据斜率情况设一般式或者斜截式/点斜式方程。注意斜率不存在（竖直线）时，垂线必为水平线。 【变式6-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型7 直线位置关系的几何应用 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【技巧归纳】 利用平行或垂直关系求三角形的中垂线或三角形的高；也可用位置关系判断四边形形状或点线位置，三角形的形状（直角、锐角、钝角）。 【变式7-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 2．（多选）（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 3．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 7．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 8．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 9．（25-26高二上·河南驻马店·期末）数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 10．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.3讲 两条直线的平行与垂直 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断两直线的位置关系（不含参） 题型2 判断两直线的位置关系（含参） 题型3 已知直线平行求参数 题型4 已知垂直求参数 题型5 由两直线平行求方程 题型6 由两直线垂直求方程 题型7 直线位置关系的几何应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 判断两直线的位置关系（不含参） 将方程化为斜截式，比较斜率和截距；或利用一般式系数比。易错点：忽略斜率不存在的情况（竖直直线），误将平行当作重合或反之。 2. 判断两直线的位置关系（含参） 需分类讨论参数使直线斜率不存在的情形；利用一般式系数比时注意重合与平行的区别（常数项比例是否一致）。易漏掉垂直条件（系数和为零）。 3. 已知直线平行求参数 先讨论斜率不存在情况，再设斜率相等且截距不等；使用一般式时，对应系数成比例但常数项比例不同。易错：未排除重合（参数使两直线相同）。 4. 已知垂直求参数 利用斜率乘积为负一（斜率均存在），或一条斜率不存在另一条斜率为零；一般式直接用系数和为零。易错：忽略斜率不存在的情形。 5. 由两直线平行求方程 设新直线保留原直线的前两项系数（或斜率相同），常数项设为未知，再利用过定点条件求解。易错：忘记排除与原直线重合（常数项相同）。 6. 由两直线垂直求方程 一般式可设为交换系数并变一个符号，再代点求常数；点斜式则利用负倒数斜率。易错：斜率不存在时的特殊处理。 7. 直线位置关系的几何应用 求交点、对称点、角平分线、三角形的高、中点、距离等；判断四边形形状或点线位置。常结合距离公式、中点坐标，考查几何直观与代数转化。 学习重点：掌握判断平行、垂直、相交、重合的代数条件（斜率关系、一般式系数比）；熟练处理含参问题的分类讨论（斜率不存在是易漏点）；能由平行或垂直条件求出直线方程中的参数或新直线方程。 学习难点：含参问题中正确区分平行与重合（常数项比例是否一致）；垂直讨论时斜率不存在与斜率为零的对应关系；由一般式快速判断位置关系时系数比例的运算准确性；几何应用中将几何条件（如对称、角平分）转化为代数方程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的斜率与位置关系 一、 两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2， 则有. 2 当直线不重合且斜率都不存在时， 二、两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，. 即时即练（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 【易错提醒】 用斜率讨论直线的位置关系时，需要讨论斜率不存在的情况。 知识点02 直线的一般式方程与位置关系 直线 与 1 两直线平行不重合 且 2 两直线垂直 即时即练（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的有（   ） A．若表示与轴平行或重合的直线，则 B．若表示与轴平行或重合的直线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线的一般式，结合直线与直线位置关系列方程，解方程即可. 【详解】A，B选项：斜率为时，与轴平行或重合，则，故A选项正确，B选项错误； C选项：若，且或时，若且或时，与重合，故C选项错误； D选项：若，则，D选项正确； 故选：AD. 【易错提醒】 注意尽量用乘式而不是除式结构。 题型1 判断两直线的位置关系（不含参） 【例1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 【例2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 【易错警示】 判断两直线位置关系（不含参）时，将方程化为斜截式：若斜率相等且截距不等则平行；斜率相等且截距相等则重合；斜率不等则相交，若斜率乘积为负一则垂直。注意斜率不存在的情况另外讨论。 【变式1-1】（25-26高二上·山西·阶段检测）直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 题型2 判断两直线的位置关系（含参） 【例1】（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 【例2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的结论判断. 【详解】因为为第三象限角， 所以， 故两直线垂直. 故选：A 【易错警示】 判断含参两直线位置关系时，先讨论参数使直线斜率不存在的情形，再讨论一般情况。利用一般式系数比去判断。注意参数可能使分类讨论不唯一。 【变式2-1】（多选）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（  ） A．存在k、使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】对于A，当时，：，符合倾斜角为90°，故A正确； 对于B，：即， 令，解得，故过定点， 而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点，故B正确； 对于C，当时，：，与：重合，故C不正确； 对于D，要使与垂直，则，即，显然这样的k值不存在．故D正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 题型3 已知直线平行求参数 【例1】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质进行求解即可. 【详解】∵直线与平行， 解得或， 经检验均满足直线不重合的条件. 故选：D 【例2】（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 【易错警示】 已知两直线平行求参数时，先考虑斜率不存在的情形（如直线竖直），再设斜率存在，利用斜率相等且截距不等列方程。使用一般式时，对应系数成比例且常数项比例不同（或比值相等但常数项不等），注意排除重合情况。 【变式3-1】（25-26高三上·山东德州·期末）直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线的平行关系求出的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由，得，解得或， 当时，，即，，此时重合； 当时，，，此时. 综上所述，是的充要条件. 故选：A 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BD 【分析】根据两直线平行时，直线方程一般式系数关系联立方程求. 【详解】因为直线平行于直线，所以由题意可得，解得或， 故选：BD. 题型4 已知垂直求参数 【例1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 【例2】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 【易错警示】 已知两直线垂直求参数时，若斜率都存在，利用斜率乘积等于负一列方程；若一条斜率不存在（竖直），则另一条必须水平（斜率为零）。使用一般式时，直接利用系数关系，无需单独讨论斜率。 【变式4-1】（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 题型5 由两直线平行求方程 【例1】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 【例2】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【技巧归纳】 已知一条直线方程，求与之平行的直线时，可设新直线方程为原方程的一般式各项系数对应成比例（常保留前两项系数，常数项设为未知），再利用过定点或截距条件求出常数项。注意排除与原直线重合的情况。若直线斜率存在，也可直接设斜截式，斜率相同，截距不同。 【变式5-1】（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 【变式5-2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 题型6 由两直线垂直求方程 【例1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 【例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 【技巧归纳】 已知一条直线方程，求与之垂直的直线时，可根据斜率情况设一般式或者斜截式/点斜式方程。注意斜率不存在（竖直线）时，垂线必为水平线。 【变式6-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【详解】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 题型7 直线位置关系的几何应用 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 【技巧归纳】 利用平行或垂直关系求三角形的中垂线或三角形的高；也可用位置关系判断四边形形状或点线位置，三角形的形状（直角、锐角、钝角）。 【变式7-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的顶点坐标，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为，所以其重心为， 因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为， 则，即，解得，， ，故该三角形的欧拉线方程为，即. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 2．（多选）（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 3．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误； 当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确； ，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误； 当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确. 故选：BD. 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 6．（多选）（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 7．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 8．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 9．（25-26高二上·河南驻马店·期末）数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________. 【答案】 【分析】求出重心坐标，求出边上的高和边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，，， 所以的重心为，即， 可得直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出重心坐标，求出AB边上的高和AC边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故选：D. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $