专题01 求函数的值域或最值方法总结（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦求函数值域或最值专题，涵盖利用函数性质、分式型函数、换元法、数形结合等核心方法，通过知识脑图搭建体系，考点分层（基础梳理与高阶思维）及题型深研构建完整复习框架。 清单采用分层突破设计，基础层自主夯基（如函数单调性应用步骤），高阶层探究拓展（如数形结合几何意义转化），结合对勾函数、三角换元等题型提炼解题范式，培养数学思维与几何直观素养。配套新题对点练与优题精练，标注重难点及答题技法，助力学生高效自主复习，教师可精准把握备考方向。

专题01 求函数的值域或最值方法总结 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01利用函数的性质求函数的值域（最值） 考点02分式型函数的最值问题 考点03换元法求最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 数形结合求函数的值域 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 利用函数性质求函数最值 题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值 题型03 三角换元求函数的最值 题型04 利用韦达定理求函数的值域 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 数形结合求函数最值 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值） 1、函数的单调性直接决定了函数在区间上的增减趋势，从而可以快速找到最大值和最小值；奇偶性则可以将定义域对称区间的值域问题转化为半区间问题，简化计算。两者结合使用，尤其适用于复合函数或非基本初等函数。 2、基本步骤 （1）确定函数的定义域，判断其是否具有奇偶性或者对称性 （2）分析函数在定义域或者子区间的单调性（利用基本函数的单调性或者导数来判断） （3）分别求出各单调区间的值域，合并后得到函数在整个定义域上的值域。 【新题对点练】（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 考点02分式型函数的最值问题 分式函数常见的形式有： 一次分式： 二次分式： 或或 分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。 1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式，即可以通过分离常数法来处理。 2、配凑成对勾函数 对于二次比一次型，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。 而对于一次比二次型，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。 对于二次比二次型，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。 3、判别式法求解 对于形如 （分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于的二次方程 关于方程有实数解，则它的判别式且满足分母不为零的条件，从而得到关于的不等式，解出的范围即为值域。 判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）． 【新题对点练】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点03 换元法求最值 1、观察已知函数，若变量中有互相关联的部分，可化为一致形式，则可引入新元整体代换，等到新的函数。如二次/一次或一次/二次的函数中，可以将一次化成新元，有利于化简。又或者带根式的，可将根式化成新元t。在换元的问题中，一定不要忘了新元的范围。 2、三角换元：函数中若含有,这样的结构，可转化为三角函数的形式。 【新题对点练】（25-26高三上�湖北省直辖县级单位�期中）函数的最大值是_______. 难点解读01 数形结合求函数的值域 当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单． 许多函数并非直接给出图像，但可以通过恒等变形转化为具有明确几何意义的表达式 （1）或，可以转成两点间的距离 （2），其中满足某种曲线方程（如圆、椭圆、直线） （3）表示数轴上点到和的距离之和 （4）把二次函数与抛物线结合起来 难点破解（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域． 素养进阶·答题技法突破 题型01 利用函数性质求函数最值 利用函数性质求最值，核心就是单调性定端点（单调则最值在边界），奇偶性减半域（对称区间只需看一半），有界性直接得（如三角函数、指数函数的值域）。结合定义域，灵活套用即可。 【典例1】（2026�河北保定�一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【典例2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____． 题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值 利用对勾函数求分式最值，关键是将分式通过分离常数或换元，化为的形式（），然后根据的范围，直接写出最值。 【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【典例2】（2026高三�全国�专题练习）函数的值域是______． 【变式1】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域. 【变式2】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域. 题型03 三角换元求函数的最值 三角换元求最值，适用于含、​等结构：设 或，将原函数化为三角函数，利用其有界性求得最值。 【典例1】（25-26高三上�重庆�阶段检测）函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上�江苏镇江�阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三�全国�一轮复习）函数的值域为________． 【变式2】（25-26高三下�重庆渝中�阶段检测）函数的值域是_______． 题型04 利用韦达定理求函数的值域 利用韦达定理求值域，通常是将函数转化为关于的二次方程，通过判别式得到的不等式，解出值域。韦达定理可用于检验根的存在性（如和积关系），但核心仍是二次方程有实根的条件。注意定义域限制（如分母不为零）需单独验证。 【典例1】（25-26高三�全国�一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【典例2】（25-26高三�全国�一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则______，______． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 重难点01 数形结合求函数最值 数形结合求最值，核心是赋予函数几何意义（如斜率、距离、截距），画出图形后利用几何直观找最值点（如切线、端点、对称点）。关键在于准确转化并注意定义域对应的图形范围。 【典例1】（2025高三�全国�竞赛）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上�广西崇左�期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 【变式2】（2025高三�全国�竞赛）函数的最小值为_____. 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三上�河北�期末）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三�全国�专题练习）函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 3．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026�山东枣庄�一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 5．（2026高三�全国�专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 6．（25-26高三上�江苏镇江�开学考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为______. 8．（2026�山西忻州�模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 9．（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域. 10．（2025高三�全国�专题练习）求函数的最大值和最小值. $专题01 求函数的值域或最值方法总结 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01利用函数的性质求函数的值域（最值） 考点02分式型函数的最值问题 考点03换元法求最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 数形结合求函数的值域 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 利用函数性质求函数最值 题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值 题型03 三角换元求函数的最值 题型04 利用韦达定理求函数的值域 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 数形结合求函数最值 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值） 1、函数的单调性直接决定了函数在区间上的增减趋势，从而可以快速找到最大值和最小值；奇偶性则可以将定义域对称区间的值域问题转化为半区间问题，简化计算。两者结合使用，尤其适用于复合函数或非基本初等函数。 2、基本步骤 （1）确定函数的定义域，判断其是否具有奇偶性或者对称性 （2）分析函数在定义域或者子区间的单调性（利用基本函数的单调性或者导数来判断） （3）分别求出各单调区间的值域，合并后得到函数在整个定义域上的值域。 【新题对点练】（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 考点02分式型函数的最值问题 分式函数常见的形式有： 一次分式： 二次分式： 或或 分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。 1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式，即可以通过分离常数法来处理。 2、配凑成对勾函数 对于二次比一次型，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。 而对于一次比二次型，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。 对于二次比二次型，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。 3、判别式法求解 对于形如 （分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于的二次方程 关于方程有实数解，则它的判别式且满足分母不为零的条件，从而得到关于的不等式，解出的范围即为值域。 判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）． 【新题对点练】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 考点03 换元法求最值 1、观察已知函数，若变量中有互相关联的部分，可化为一致形式，则可引入新元整体代换，等到新的函数。如二次/一次或一次/二次的函数中，可以将一次化成新元，有利于化简。又或者带根式的，可将根式化成新元t。在换元的问题中，一定不要忘了新元的范围。 2、三角换元：函数中若含有,这样的结构，可转化为三角函数的形式。 【新题对点练】（25-26高三上�湖北省直辖县级单位�期中）函数的最大值是_______. 【答案】 【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故答案为：. 难点解读01 数形结合求函数的值域 当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单． 许多函数并非直接给出图像，但可以通过恒等变形转化为具有明确几何意义的表达式 （1）或，可以转成两点间的距离 （2），其中满足某种曲线方程（如圆、椭圆、直线） （3）表示数轴上点到和的距离之和 （4）把二次函数与抛物线结合起来 难点破解（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域． 【答案】 【详解】将原函数视为定点到动点的斜率， 又知动点,满足单位圆的方程， 从而问题就转化为求点到单位圆连线的斜率问题，由相切时取得最值， 解得． 素养进阶·答题技法突破 题型01 利用函数性质求函数最值 利用函数性质求最值，核心就是单调性定端点（单调则最值在边界），奇偶性减半域（对称区间只需看一半），有界性直接得（如三角函数、指数函数的值域）。结合定义域，灵活套用即可。 【典例1】（2026�河北保定�一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意，，, 令函数， 则， 所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称， 因函数在对称区间上的值域为，故． 【典例2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____． 【答案】 【分析】结合函数是奇函数，得到满足关系式，可知图象关于点中心对称，由对称性知，故只需求的值即可. 【详解】由题意，函数的图象在连续不断， 由区间关于原点对称，且对任意， 都有 ， 故， 所以函数的图象关于点中心对称， 由对称性可知，函数的图象在内的最大值点与最小值点关于中心对称， 故，所以 故答案为：. 题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值 利用对勾函数求分式最值，关键是将分式通过分离常数或换元，化为的形式（），然后根据的范围，直接写出最值。 【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【典例2】（2026高三�全国�专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【变式1】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，利用函数的单调性求解． 【详解】令， ， 因为，由对勾函数的单调性知，所以， 则， 故函数的值域为： 【变式2】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】令，，令，，得，利用函数的单调性求解. 【详解】令， 令，， 得 故函数的值域为： 题型03 三角换元求函数的最值 三角换元求最值，适用于含、​等结构：设 或，将原函数化为三角函数，利用其有界性求得最值。 【典例1】（25-26高三上�重庆�阶段检测）函数 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案. 【详解】， 设， , ， 即函数的值域为， 故选：C 【典例2】（25-26高三上�江苏镇江�阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，令， 因为，所以， 所以 则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 【变式1】（25-26高三�全国�一轮复习）函数的值域为________． 【答案】 【分析】法一：利用三角换元法求解，设，则转化为，设，则转化为，利用二次函数的图像求值域；法二：设，，则转化为，利用二次函数的图形求解. 【详解】法一：因为，， 则， 由得到， 由， 则，则， 设，， 则转化为，对称轴为， 由，，， 故值域为． 法二：注意到，设，， 先分析t的范围，，时的极限， 则转化为， 由，，，故值域为． 故答案为：. 【变式2】（25-26高三下�重庆渝中�阶段检测）函数的值域是_______． 【答案】 【分析】换元令，，可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解. 【详解】因为，且，， 令，，则， 可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆， 注意到，，三点共线，此时斜率， 若直线与圆相切，显然此时斜率存在，且小于0， 设直线，即， 则，解得或（舍去）， 可得，所以函数的值域是. 题型04 利用韦达定理求函数的值域 利用韦达定理求值域，通常是将函数转化为关于的二次方程，通过判别式得到的不等式，解出值域。韦达定理可用于检验根的存在性（如和积关系），但核心仍是二次方程有实根的条件。注意定义域限制（如分母不为零）需单独验证。 【典例1】（25-26高三�全国�一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【典例2】（25-26高三�全国�一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 【答案】 【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果. 【详解】将式子变形为； 当时，；即； 所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得； 将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意. 综上，． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则______，______． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【详解】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 重难点01 数形结合求函数最值 数形结合求最值，核心是赋予函数几何意义（如斜率、距离、截距），画出图形后利用几何直观找最值点（如切线、端点、对称点）。关键在于准确转化并注意定义域对应的图形范围。 【典例1】（2025高三�全国�竞赛）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解. 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故， 所以， 故选：B. 【典例2】（25-26高三上�广西崇左�期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 【变式1】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解. 【详解】构造函数， 因为恒成立，所以， 则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍. 构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图， 此时直线的方程为：，即， 联立方程得，易得交点分别为， 于是当点重合于交点或时，取得最小值. 从而的最小值为4． 【变式2】（2025高三�全国�竞赛）函数的最小值为_____. 【答案】3 【分析】过对函数解析式配方，将问题转换成抛物线上的点到直线的距离与点的距离之和，即可求解. 【详解】 其几何意义为抛物线上的点到直线的距离与点的距离之和. 过点向作垂线，垂足为， 如图，，等号成立时三点共线. 所以当时，函数的最小值为3. 故答案为：3 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三上�河北�期末）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断A选项；分离常数后根据反比例函数的单调性判断B选项；配方后根据对数函数的单调性判断C选项；利用余弦的倍角公式展开后将式子配方，然后结合二次函数性质判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即的值域为；故A错误； 对于B，，因为，所以，所以，所以，即的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以，即的值域为，故C错误； 对于D，，因为，所以，即的值域为，故D错误. 故选：B. 2．（2025高三�全国�专题练习）函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，令进行三角换元化简，根据正弦型函数的值域求解即可. 【详解】原函数可得. 由， 令，， 可得. 因为，所以， 即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 3．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 4．（多选）（2026�山东枣庄�一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义判断A；先化简，进而结合指数函数的性质求解判断B；先判断函数的单调性，即可判断C；若在上的值域为，可得与在上有两个交点，进而结合图象判断D. 【详解】对于A，由，， 则， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，由， 而，则，即， 则，即， 所以的值域是，故B正确； 对于C，由B知，， 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 则在上单调递增，无极值，故C错误； 对于D，由C知，函数在上单调递增， 若在上的值域为， 则， 所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在上有两个交点， 结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是， 且，， 可作出函数与的大致图象如下：    由图可知与在上有两个交点， 因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确. 故选：ABD 5．（2026高三�全国�专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 6．（25-26高三上�江苏镇江�开学考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案. 【详解】因为，所以的定义域为. ， 令，即，得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以时取得最大值，即， 又，即最小值为. 所以的值域为. 故选：C 7．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为______. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为：,得,再由在上是单增函数进行求解即可. 【详解】依题意，因为，得， 所以函数的定义域为：， 得， 得 而 因为在上都是单增函数， 所以在上是单增函数， 故在上是单调递增函数， 得， 综上知，函数的值域为. 故答案为: 8．（2026�山西忻州�模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 【答案】4 【分析】根据多个绝对值和的最小值在绝对值零点的中位数位置取得的性质，按、、三种情况分类讨论，分别求出函数最小值并令其等于4，解出符合条件的后计算所有的取值之和. 【详解】表示数轴上动点到定点、、的距离之和， 对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得， 分情况讨论： 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 当时，三个点排序为，最小距离和，不合题意，舍去； 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 的所有取值为和，取值之和为. 9．（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域. 【答案】 【分析】表示过点的直线与单位圆有交点时直线的斜率，利用直线与圆的位置关系列式即可求出答案. 【详解】可联想直线中已知两点求直线的斜率的公式， 如下图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时直线的斜率， 令直线方程为，原点到直线的距离为， 故， 所以函数的值域为. 10．（2025高三�全国�专题练习）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值，最小值为. 【分析】利用，换元，结合切化弦以及倍角公式化简得出即可求出最值. 【详解】， 令，， 则 ，， 则当或，即或时，取得最大值， 当或，即或时，取得最小值为. $