第04讲 实数的运算（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第04讲 实数的运算 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数的混合运算（重点） 题型2 实数运算的实际应用 题型3 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型5 将用科学记数法表示的数变回原数 题型6 还原用科学记数法表示的小数 题型7 程序设计与实数运算（重点） 题型8 新定义下的实数运算（难点） 题型9 实数的运算规律题（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实数四则运算、 实数乘方与开方、 实数简便运算与混合运算、 科学记数法 实数运算实际应用 1. 掌握实数加、减、乘、除、乘方、开方的运算法则，明确实数范围内可进行的运算类型. 2. 熟记实数运算律，能运用运算律简化实数运算. 3. 熟练掌握实数混合运算顺序，能正确完成实数混合计算、根式化简与近似求值. 4. 理解科学记数法的定义，会表示绝对值大于和绝对值小于1的数,能将科学记数法表示的数还原为原数（整数、小数），并统计数位、零的个数. 5. 学会结合几何、生活、物理等实际场景，列实数算式解决应用问题，提升运算与建模能力. 学习重点： 1. 实数的运算法则、运算律与实数混合运算. 2. 用科学记数法表示绝对值大于 1的大数、绝对值小于 1的小数. 3. 科学记数法与原数之间的相互转化. 4. 实数运算在实际问题中的基础应用. 学习难点： 1. 含无理数、二次根式的实数混合运算，以及按要求取近似值. 2. 区分两类科学记数法中整数 n 的取值规则（正整数、负整数）. 3. 科学记数法还原后数位、零的个数判断. 4. 结合几何、跨学科场景的实数运算综合应用题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01实数的运算 1．实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 2．在实数范围内，有理数的运算律同样适用.若 a , b , c 为实数，则有： 加法交换律： . 加法结合律： . 乘法交换律： . 乘法结合律：(ab)c＝a(bc). 乘法对加法的分配律： . 3．实数混合运算的顺序：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减.同级按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的. 4．实数运算结果的要求：对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的算式，如 . 5.对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用＂四舍五入法＂，按照所要求的精确度取近似值. 计算： 计算： 知识点02科学记数法 科学记数法：把一个数表示成 ， a 是整数或小数， n 是整数 $)$ 的形式，这种记数方法叫作科学记数法. ： （1） 是整数或小数.当 或 时，＂ 1 ＂常省略不写.如 . （2） 是整数.当一个绝对值大于 10 的数表示成 的形式时， 是正整数，且 等于原数的整数位数减 1；当一个绝对值小于 1 的数表示成 的形式时， n 是负整数，且 n 等于原数中左起第一个非零数字左边 所有 0 的个数（包括小数点左边的那个 0 ）.如 . 用科学记数法表示绝对值较大或较小数的一般步骤 （1）把小数点向左（右）移动得到的整数位数只有一位的数（非零数），就是 a . （2）小数点向左（右）移动的位数，就是 n . 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达马赫，即每小时飞行距离可达，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型1 实数的混合运算 【例1】计算的值________． 【例2】计算∶ 【变式1-1】计算：． 【变式1-2】计算：． 【变式1-3】计算：； 【变式1-4】计算： 题型2 实数运算的实际应用 【例3】1．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【例4】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【技巧归纳】 1.审题列式:结合题意，用实数、根式列出算式. 2.规范运算:遵循先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内. 3.根式化简:运算结果化为最简二次根式. 4.取值取舍:长度、数量等实际问题，舍去负数解. 5.近似计算:题目要求取近似值时，最后一步再估算. 【变式2-1】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【变式2-2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【变式2-3】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 题型3 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例5】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例6】2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1．形式：写成 2．定 a ：将原数首位后加小数点，得到 3．定 ： 等于原数整数位数减 1 4．补位：末尾多余的 0 省去，只保留有效数字 【变式3-1】拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 【变式3-3】据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例7】一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【技巧归纳】 1．形式：写成 2．定 ：首位非零数字前加小数点 3．定 n ： n 等于左起第一个非零数前 0 的个数（含小数点前的 0 ） 【变式4-1】氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-2】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 【变式4-3】某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 题型5 将用科学记数法表示的数变回原数 【例9】用科学记数法表示的数为，原数是（    ） A． B． C． D． 【例10】若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【技巧归纳】 1.指数为正:小数点向右移动对应位数，缺位补0. 2.指数为负:小数点向左移动对应位数，缺位补0. 【变式5-1】以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】用科学记数法表示的数有______个整数位． 【变式5-3】一种电子计算机每秒可做次计算，也就是说它每秒可做 _____万次计算． 题型6 还原用科学记数法表示的小数 【例11】将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【例12】某种病毒的最大直径为，则将还原为原数时，原数中“0”的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【技巧归纳】 1.指数为负，小数点向左移对应位数. 2.位数不足时，前面补0. 【变式6-1】已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【变式6-3】用小数表示下列各数： (1)； (2)． 题型7 程序设计与实数运算 【例13】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【变式7-1】一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式7-2】如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【变式7-3】有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是__________． 【变式7-4】如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 题型8 新定义下的实数运算 【例14】规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【变式8-1】对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 【变式8-2】阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 【变式8-3】对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 题型9 实数的运算规律题 【例15】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【变式9-2】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【变式9-3】【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 1．计算：　 　． 2．若□，则“□”内的运算符号为______ （填“”“ ”“ ”“ ” ． 3．某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为____________ 米． 4．近似数1.50所表示的准确数的取值范围是____________ ． 5．已知，化简：______ ． 6．用科学记数法表示的数有　 　 个整数位． 7．2025年前三季度上海市实现地区生产总值40721亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入5万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据40721亿元人民币用科学记数法表示为____________ 元． 8．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______ ．（直接写出计算结果） 9．计算：． 10．计算：． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $加、减、乘、除、乘方：全体实数均可运算 运算范围 开平方和开立方 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 实数运算律 乘法交换律：ab=ba 实数的运算 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b十c)=ab十ac 第一步：乘方、开平方、开立方 第二步：乘除运算 实数的运算 实数混合运算顺序 第三步：加减运算 同级运算：从左到右依次计算 有括号：先计算括号内的式子 形式：把一个数表示成aX10m 科学记数法 定义 限定条件：1≤a<10,m为整数 第04讲 实数的运算 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 实数的混合运算（重点） 题型2 实数运算的实际应用 题型3 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型5 将用科学记数法表示的数变回原数 题型6 还原用科学记数法表示的小数 题型7 程序设计与实数运算（重点） 题型8 新定义下的实数运算（难点） 题型9 实数的运算规律题（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实数四则运算、 实数乘方与开方、 实数简便运算与混合运算、 科学记数法 实数运算实际应用 1. 掌握实数加、减、乘、除、乘方、开方的运算法则，明确实数范围内可进行的运算类型. 2. 熟记实数运算律，能运用运算律简化实数运算. 3. 熟练掌握实数混合运算顺序，能正确完成实数混合计算、根式化简与近似求值. 4. 理解科学记数法的定义，会表示绝对值大于和绝对值小于1的数,能将科学记数法表示的数还原为原数（整数、小数），并统计数位、零的个数. 5. 学会结合几何、生活、物理等实际场景，列实数算式解决应用问题，提升运算与建模能力. 学习重点： 1. 实数的运算法则、运算律与实数混合运算. 2. 用科学记数法表示绝对值大于 1的大数、绝对值小于 1的小数. 3. 科学记数法与原数之间的相互转化. 4. 实数运算在实际问题中的基础应用. 学习难点： 1. 含无理数、二次根式的实数混合运算，以及按要求取近似值. 2. 区分两类科学记数法中整数 n 的取值规则（正整数、负整数）. 3. 科学记数法还原后数位、零的个数判断. 4. 结合几何、跨学科场景的实数运算综合应用题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01实数的运算 1．实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 2．在实数范围内，有理数的运算律同样适用.若 a , b , c 为实数，则有： 加法交换律： . 加法结合律： . 乘法交换律： . 乘法结合律：(ab)c＝a(bc). 乘法对加法的分配律： . 3．实数混合运算的顺序：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减.同级按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的. 4．实数运算结果的要求：对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的算式，如 . 5.对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值.这时，可以先对算式进行适当化简，然后一般用＂四舍五入法＂，按照所要求的精确度取近似值. 计算： 【答案】 【分析】本题为与实数有关的运算，考查了乘方运算，无理数的绝对值，求一个数的算术平方根等知识．先根据乘方、绝对值、算术平方根等知识化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根求值，绝对值化简，平方根求解等．先将每项化简，再从左到右计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 知识点02科学记数法 科学记数法：把一个数表示成 ， a 是整数或小数， n 是整数 $)$ 的形式，这种记数方法叫作科学记数法. ： （1） 是整数或小数.当 或 时，＂ 1 ＂常省略不写.如 . （2） 是整数.当一个绝对值大于 10 的数表示成 的形式时， 是正整数，且 等于原数的整数位数减 1；当一个绝对值小于 1 的数表示成 的形式时， n 是负整数，且 n 等于原数中左起第一个非零数字左边 所有 0 的个数（包括小数点左边的那个 0 ）.如 . 用科学记数法表示绝对值较大或较小数的一般步骤 （1）把小数点向左（右）移动得到的整数位数只有一位的数（非零数），就是 a . （2）小数点向左（右）移动的位数，就是 n . 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达马赫，即每小时飞行距离可达，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是解题的关键．科学记数法表示形式为，为整数，对于大于的数，等于整数位数减. 【详解】解：， 故选：C ． 铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 题型1 实数的混合运算 【例1】计算的值________． 【答案】 / 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 【例2】计算∶ 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式1-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 【变式1-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方，再算绝对值，然后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-3】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-4】计算： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． 先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 题型2 实数运算的实际应用 【例3】1．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 【例4】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【难度】0.85 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【技巧归纳】 1.审题列式:结合题意，用实数、根式列出算式. 2.规范运算:遵循先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内. 3.根式化简:运算结果化为最简二次根式. 4.取值取舍:长度、数量等实际问题，舍去负数解. 5.近似计算:题目要求取近似值时，最后一步再估算. 【变式2-1】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【变式2-2】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【变式2-3】如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【难度】0.85 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积. 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 题型3 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例5】是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【详解】解：． 【例6】2026年央视春晚全媒体直播累计触达观众677000000人次，将数据677000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 科学记数法中，的值等于原数的整数位数减1， ∴原数是9位整数，可得，， ∴ 【技巧归纳】 1．形式：写成 2．定 a ：将原数首位后加小数点，得到 3．定 ： 等于原数整数位数减 1 4．补位：末尾多余的 0 省去，只保留有效数字 【变式3-1】拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 【变式3-2】2025年前三季度上海市实现地区生产总值亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据亿元人民币用科学记数法表示为______________元． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故答案为： 【变式3-3】据统计：2025年南汇新城镇发放临港惠民消费券，带动消费约11亿元，“11亿”用科学记数法表示为______．（1亿） 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查的知识点是科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义． 将“11亿”转换为数值1100000000，再写成科学记数法形式，其中，n为整数． 【详解】解：11亿， 故答案为：． 题型4 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例7】一个细胞约有克． 数字 用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当原数的绝对值大于0而小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数前面所有零的个数． 【详解】解：， 故选：B． 【例8】已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【技巧归纳】 1．形式：写成 2．定 ：首位非零数字前加小数点 3．定 n ： n 等于左起第一个非零数前 0 的个数（含小数点前的 0 ） 【变式4-1】氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.85 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：米米． 故选：C． 【变式4-2】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查单位换算和科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键． 先将米转换为厘米，再用科学记数法表示绝对值小于1的数． 【详解】解：，． 故答案为：． 【变式4-3】某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【难度】0.85 【分析】计算一周总消耗墨量，需将每页消耗墨量乘以周打印页数，再将结果用科学记数法表示． 本题考查了科学记数法，熟练掌握乘法，科学记数法是解题的关键． 【详解】解：每页消耗墨量为升，即升；周打印页数为500页，即页． 总消耗墨量为升． 故答案为：． 题型5 将用科学记数法表示的数变回原数 【例9】用科学记数法表示的数为，原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数． 把的小数点向右移动位，即可得出答案． 【详解】解：，原数是． 故选：B． 【例10】若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【难度】0.85 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【技巧归纳】 1.指数为正:小数点向右移动对应位数，缺位补0. 2.指数为负:小数点向左移动对应位数，缺位补0. 【变式5-1】以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查科学记数法，将每个选项的科学记数法转化为小数形式，检查小数点与左起第一个非零数字之间零的个数，恰有三个0的选项符合要求． 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 【变式5-2】用科学记数法表示的数有______个整数位． 【答案】7 【难度】0.85 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 【变式5-3】一种电子计算机每秒可做次计算，也就是说它每秒可做 _____万次计算． 【答案】4000 【难度】0.85 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原成原数和单位换算． 先将化为原数40000000，再根据1万进行单位换算即可． 【详解】解：万， 故答案为：4000． 题型6 还原用科学记数法表示的小数 【例11】将化为小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查将用科学记数法表示的数化为原数；对于，当是负整数时，把的小数点向左移动位，位数不够时，用0补足即可． 【详解】解：． 故选：B． 【例12】某种病毒的最大直径为，则将还原为原数时，原数中“0”的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法是指一个数可以写成的形式，其中，n为正整数，根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴原数中“0”的个数是8． 故选：D． 【技巧归纳】 1.指数为负，小数点向左移对应位数. 2.位数不足时，前面补0. 【变式6-1】已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式6-2】的小数点与左起第一个非零数字之间有______个0． 【答案】5 【难度】0.85 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式6-3】用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型7 程序设计与实数运算 【例13】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 【变式7-1】一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 【变式7-2】如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为____________________． 【答案】或 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 【变式7-3】有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【变式7-4】如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 题型8 新定义下的实数运算 【例14】规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式8-1】对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 【变式8-2】阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a、b实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部． 它有如下特点： （1）它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如：      （2）若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如：的共轭复数为． 若是的共轭复数，则_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，准确理解所给定义式是解题的关键； 根据完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：， ∵是的共轭复数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 题型9 实数的运算规律题 【例15】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式9-1】观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 【变式9-2】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 【变式9-3】【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 1．计算：　 　． 【分析】利用绝对值的性质和立方根的性质进行计算，再算乘法，后算加减即可． 【解答】解：原式， 故答案为：7． 2．若□，则“□”内的运算符号为______ （填“”“ ”“ ”“ ” ． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得解． 【解答】解：根据二次根式的乘法法则计算可知： ， 故“□”内的运算符号为， 故答案为：． 3．某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为____________ 米． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故答案为：． 4．近似数1.50所表示的准确数的取值范围是____________ ． 【分析】利用近似数的精确度求解即可． 【解答】解：根据近似数的精确度要求可知：近似数1.50表示的数的取值范围为： ． 故答案为：． 5．已知，化简：______ ． 【分析】根据运算法则逐一化简再运算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 6．用科学记数法表示的数有　 　 个整数位． 【分析】将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 科学记数法表示的数的整数位数比多1，是位． 【解答】解：的原数的整数位数是． 故答案为：7． 7．2025年前三季度上海市实现地区生产总值40721亿元人民币，根据最新经济预测，上海市城市经济规模将进入5万亿元以上的新阶段，是中国第一个实现此目标的城市．数据40721亿元人民币用科学记数法表示为____________ 元． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：40721亿． 故答案为：． 8．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______ ．（直接写出计算结果） 【分析】观察已知等式的规律，发现对于形如的式子，其计算结果为，将，代入公式计算即可． 【解答】解：根据题意可知，规律为：， ． 故答案为：． 9．计算：． 【分析】先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算加减． 【解答】解：原式． 10．计算：． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：原式 ． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $