2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（九）（范围：人教B版必修第四册）

**基本信息** 聚焦必修四核心模块，以解三角形、复数、立体几何、向量与逻辑为载体，通过多样化题型考查数学眼光、思维与语言，强化知识内在逻辑与综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|2（单选1、解答9）|利用正余弦定理解三角形|体现边角关系转化，培养运算能力与模型意识| |复数|2（单选2、填空7）|复数运算及几何意义|连接代数运算与几何表示，发展数学语言表达| |立体几何|4（单选3、4，填空8，解答10）|直观图还原、线面关系判断、距离及线面角|构建空间想象与逻辑推理，提升空间观念| |向量与逻辑|2（多选5、6）|向量性质及充要条件判断|融合概念辨析与推理应用，强化推理意识|

11 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 1、 选择题：第1-4小题单选，每小题5分，共20分。第5-6小题多选，每小题6分，共12分。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。 7._______________ 8. ___________ 三、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 9.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 10．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 1、 选择题：第1-4小题单选，每小题5分，共20分。第5-6小题多选，每小题6分，共12分。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。 7._______________ 8. ___________ 三、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 9.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 9.（15分） 10．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） 参考答案 第一部分（选择题 共32分） 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 A B C B 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 5 6 BC BD 第二部分（非选择题 共40分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7．  8．  四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.本小题分 解：解：   ，  根据正弦定理可知：    ，..................2分 ， ，   ，                 ，..................5分  ．..................7分 (2) 由得，又， ，..................9分 又 ，由 可得 ，    ，..................11分 又， ， 又， ，..................13分 在中，，，， ，    ．..................15分 10.本小题分 证明：四棱锥的底面为菱形，，， 所以为等边三角形， 解得，..........................2分 ， 所以：，，...........................5分 所以：，，，、平面， 即：平面．...........................8分 解：连接，交与点，过点作于，在平面中作于，连接， ...........................9分 所以即为二面角的平面角． 由题知：：．...........................10分 解得：...........................11分 同理解得：，...........................12分 则：在直角三角形中，，...........................13分 所以：， 即：， 所以此二面角的正弦值为． ...........................15分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的内角，，的所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 或 2.设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为(    ) A. B. C. D. 4.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是(    ) A. B. 且，则 C. ，那么 D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的有(    ) A. 函数的对称中心是， B. 在中， C. ，，则在上的投影向量等于 D. 两个非零向量，的夹角是锐角 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设复数满足，则          ． 8.在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1) 求角；    若点满足，求的长． 10.本小题分 如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第四册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的内角，，的所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 或 2.设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为(    ) A. B. C. D. 4.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是(    ) A. B. 且，则 C. ，那么 D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的有(    ) A. 函数的对称中心是， B. 在中， C. ，，则在上的投影向量等于 D. 两个非零向量，的夹角是锐角 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设复数满足，则          ． 8.在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1) 求角；    若点满足，求的长． 10.本小题分 如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（九） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的内角，，的所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 或 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题． 直接根据余弦定理即可求出． 【解答】 解：根据余弦定理得， 即，解得舍去或， 故选：． 2.设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案． 【解答】 解：由， 得， ， 则， 在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选：． 3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了斜二测画法，直观图，属于基础题． 根据题意，由斜二测画法还原该平面图形的原图，计算可得． 【解答】 解：在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ， 所以该平面图形的高为． 故选：． 4.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是(    ) A. B. 且，则 C. ，那么 D. 【答案】B  【解析】解：对于选项，直线可能在平面内，故A选项错误； 对于选项，由于且，所以正确，故B选项正确； 对于选项，可能平行，故C选项错误； 对于选项，可能相交，故D选项错误． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的有(    ) A. 函数的对称中心是， B. 在中， C. ，，则在上的投影向量等于 D. 两个非零向量，的夹角是锐角 【答案】BC  【解析】解：的对称中心应为，故A错误 若，则，由正弦定理得，故B正确 向量在向量上的投影向量为，故C正确； 当与同向时，，故D错误． 故选：． 6.有以下四种说法，其中正确的有(    ) A. “且”是“”的充要条件 B. 直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查充要条件的判定，考查空间直线与平面的垂直，一元二次方程的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 利用充分、必要、充要条件的定义逐个判断即可． 【解答】 解：对于：由且可得，但由，不能推得且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故A错误， 对于：若，，则，反之，若，，则不一定成立，是的充分不必要条件，故B正确， 对于：或，则是的充分不必要条件，故C错误， 对于：若，，则，反之，若，则或，是的既不充分也不必要条件，故D正确， 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设复数满足，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模，属于基础题． 将已知等式变形，然后利用复数除法运算求出，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】 解：由， 得， 则． 故答案为． 8.在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查点到面的距离和棱锥的体积公式，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用等体积法即可求解． 【解答】 解：由题意，得， 则， 所以为直角三角形， 设点到平面的距离是， 因为 ， 所以点到平面的距离是， 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题5分 的内角，，的对边分别为，，，已知，，． 求角；    若点满足，求的长． 【答案】解：   ，  根据正弦定理可知：    ， ， ，   ，                 ， ． 由得，又，， 又 ，由 可得 ，   ， 又，，又，， 在中，，，， ，   ． 【解析】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题， 利用正弦定理得到角的正弦值，再根据角的取值区间确定角； 由向量关系得到长度，再在里根据余弦定理解出的长即可． 10. 本小题分 如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】Ⅰ证明：，分别为棱，的中点， ， 平面，平面， 平面． Ⅱ证明：，，且，、平面， 平面． Ⅲ解：连接，由Ⅱ知平面， 为直线与平面所成角， ，且四边形为正方形， ， ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为．  【解析】本题考查空间中线与面的位置关系，线面角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于基础题． Ⅰ由中位线的性质知，，再由线面平行的判定定理，得证； Ⅱ由，，结合线面垂直的判定定理，得证； Ⅲ连接，易知即为所求，再由，即可得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $