第22章 函数（大单元教学设计）数学新教材人教版八年级下册

第二十二章 函数 大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 《函数》是2024年人教版八年级下册全新的代数转型核心单元，是初中数学从“静态常量运算”迈向“动态变化规律研究”的标志性转折点，在初中数学知识体系中具有里程碑式的地位。本章承接七年级整式、方程、不等式等静态代数知识，开启初中变量数学、数形结合、模型思想的核心学习阶段，同时为下一章一次函数、九年级反比例函数、二次函数及高中函数体系奠定概念基础与思维范式，是初高中数学衔接的关键桥梁。 从单元内容结构来看，本章是函数的启蒙奠基章节，核心内容包含常量与变量、函数的基本概念、自变量取值范围、函数的三种表示方法（列表法、解析法、图象法）、函数图象的识别与简单应用，构建了“变量认知—函数定义—表示方法—图象解读—规律应用”的完整启蒙知识链。区别于以往具象的几何图形、固定数值计算内容，本章首次引导学生用变化、对应、动态的眼光看待数学问题，彻底改变学生固有数学思维模式。 从中考与育人价值来看，函数是初中数学三大核心板块（数与代数、图形与几何、统计与概率）中代数板块的核心主干，本章的概念理解、图象认知、对应思想是后续所有函数综合题、数形结合题、实际应用题的底层基础，也是培养学生动态思维、建模思维、数据分析能力的核心载体，对学生后续数学学习乃至理科学科学习具有深远影响。 新课标衔接与核心素养 1.数学抽象：从生活变化情境（路程时间、物价数量、温度变化等）中抽象出常量、变量、对应关系，提炼函数的本质定义，帮助学生完成从“具体数值”到“变量关系”的抽象跨越，培养数学抽象思维。 2.模型观念：引导学生理解函数是刻画现实世界变化规律的核心数学模型，能够将生活中的动态变化问题转化为函数模型，借助解析式、表格、图象解读变化规律，建立“现实情境—数学模型—规律分析”的思维路径。 3.几何直观：通过绘制、观察、分析函数图象，将抽象的变量对应关系转化为直观的图形变化，借助图象走势、关键点坐标判断变量变化趋势，落实数形结合核心思想，培养图形解读与直观分析能力。 4.数据分析观念：通过列表法整理变量数据，分析数据变化规律，依托数据预判变化趋势，培养学生数据整理、数据分析、规律归纳的核心能力。 同时，新课标明确要求初中函数教学需弱化机械公式记忆，强化变化与对应思想的渗透，本单元作为函数启蒙，重点帮助学生建立动态数学思维，为后续函数性质探究、综合应用筑牢素养根基。 学情分析 1.已有基础：八年级学生已熟练掌握有理数运算、整式列式、方程求解、平面直角坐标系等前置知识，具备基本的代数运算、表格数据整理、坐标找点、简单图形识别能力，能够解决固定数值的计算问题，为函数解析式书写、图象绘制、数据分析奠定了知识基础。同时学生具备一定的生活感知，能够发现生活中事物的变化规律。 2.认知短板：一是思维范式固化，学生长期接触静态常量数学，难以理解“变量、变化、唯一对应”的函数核心本质，无法快速适应动态数学思维；二是概念辨析薄弱，极易混淆常量与变量、自变量与函数，对“x每一个确定值，y有唯一确定值对应”的核心条件理解不透彻；三是数形转化脱节，能够计算代数解析式，却无法解读函数图象的实际意义，看不懂图象关键点、走势对应的变化规律；四是取值范围考虑不全，求解自变量取值范围时，容易忽略代数式本身意义与实际情境的双重限制。 3.心理特点：八年级学生思维正从具象思维向抽象思维过渡，对生活中的动态变化现象兴趣浓厚，但对抽象的数学定义、对应关系、图象解读存在畏难情绪。本章作为全新思维模式的启蒙内容，知识无旧题可套、无固定套路，学生容易出现“听得懂、做不对、想不通”的问题，是初中代数学习的重要分化点。 单元教学目标 知识与技能 1.准确理解常量、变量、自变量、函数的基本概念，掌握函数的核心本质“唯一对应关系”，能够精准辨析各类变化情境中的变量与常量、自变量与函数。 2.掌握函数的三种表示方法（列表法、解析法、图象法），了解三种方法的优缺点，能够根据情境灵活选择表示方法，并实现三种表示方式的相互转化。 3.熟练掌握自变量取值范围的求解方法，兼顾代数式有意义（整式、分式、二次根式）与实际问题情境限制，能准确求出各类函数的自变量取值范围。 4.学会绘制简单函数图象，能准确解读函数图象的走势、关键点、变化趋势，结合图象分析变量变化规律，解决简单的函数识图、读图、用图问题。 数学思考 1.经历从现实变化情境中抽象函数模型的全过程，体会变化与对应、数形结合、数学建模、特殊到一般的核心数学思想，建立动态变量思维，突破静态数学思维局限。 2.通过对比函数三种表示方法的差异与关联，培养多角度分析问题、辩证思考问题的思维，建立“数、式、图”三位一体的函数认知体系。 3.在图象解读、取值范围探究、规律归纳中，培养抽象概括、逻辑分析、归纳推理的能力，形成严谨的变量思维与数学分析思维。 问题解决 1.能够从生活中的运动变化、数量增减、情境变化等实际问题中提炼变量关系，抽象为函数模型，运用函数知识分析、解释现实变化规律，提升知识迁移与实际应用能力。 2.能够独立完成函数解析式书写、自变量取值求解、图象绘制与解读，解决基础函数题型与简单综合情境题，掌握函数基础题型的解题思路与方法。 3.能够自主发现函数学习中的易错点，归纳识图、求取值范围、辨析对应关系的解题规律，具备自主纠错、自主复盘、举一反三的问题解决能力。 情感态度 1.通过生活情境导入、动态规律探究、图象直观分析，感受数学与现实生活的紧密联系，体会变量数学的趣味性与逻辑性，消除函数学习畏难情绪，激发数学探究兴趣。 2.在概念辨析、图象绘制、规律归纳的过程中，培养严谨求实、善于观察、勤于思考的科学学习品质。 3.感受数学模型刻画现实世界的简洁之美，体会数学的工具性价值，树立用数学眼光观察变化、用数学思维分析规律的学科意识。 学习活动设计 函数的概念活动一 函数的表示活动二 学习评价设计 过程性评价 1.课堂探究评价（20%）：聚焦课堂全程表现，评价维度包含生活情境观察、变量辨析发言、概念理解表达、图象绘制实操、小组合作探究贡献率。重点关注学生是否真正理解“唯一对应”的函数核心，能否用动态思维分析变化问题，鼓励学生主动质疑、自主归纳规律。 2.作业与纠错评价（25%）：实施分层作业评价，基础作业核查概念辨析、取值范围求解、简单解析式书写的准确性；变式作业考查三种函数表示方法的转化能力；拓展作业侧重图象解读与实际情境应用。重点评价学生错题复盘质量、易错点归纳能力，要求学生整理函数概念、识图易错点清单。 3.随堂任务评价（15%）：针对每节课核心重难点，开展随堂辨析小练、识图小测、取值范围专项训练，实时检测当堂知识掌握情况，记录学生思维短板，实现当堂问题当堂清零，夯实函数启蒙基础。 终结性评价 单元终结综合测试，贴合新课标学业质量分层要求，命题分层设计，兼顾全员达标与素养提升，适配不同层次学生学情。 基础层70%：常量变量辨析、函数概念判断、简单解析式书写、基础自变量取值范围求解、简单图象识别，保障全体学生掌握核心基础知识。 提升层20%：多情境函数对应关系辨析、复合型自变量取值范围求解、三种函数表示方法互化、图象趋势与关键点分析，考查知识灵活运用能力。 素养层10%：生活动态情境建模、复杂图象信息提取、变化规律预判问题，重点考查学生数学抽象、模型观念、几何直观核心素养。 反思性教学改进 （一）传统教学现存核心问题 1.重形式记忆，轻本质理解：传统函数启蒙教学多直接灌输函数定义、公式和解题步骤，过度侧重机械刷题，忽视“变化与唯一对应”核心思想的渗透。学生只会套用公式做题，不理解函数本质，面对新颖情境、变式辨析题极易出错，动态数学思维未能真正建立。 2.数形教学割裂，转化能力薄弱：教学中常将解析式计算与图象解读分开教学，未能打通“数—形—情境”的关联，导致学生只会代数计算，看不懂函数图象的实际意义，无法通过图象分析变量变化规律，数形结合素养落地不足。 3.脱离生活情境，建模能力不足：课堂多以纯数学例题训练为主，缺少真实生活动态情境导入，学生无法感知函数的实用价值，难以将现实变化问题抽象为函数模型，新课标要求的模型观念培育流于形式。 4.易错点突破不系统：学生普遍存在三大高频易错：无法判断非唯一对应关系、自变量取值忽略实际情境、看不懂动态图象。传统教学碎片化纠错，无专项突破训练，同类错误反复出现，知识漏洞持续积累。 5.忽视思维转型辅导，两极分化加剧：教师默认学生能够快速适应动态思维，未针对静态思维固化的学困生开展专项引导，导致部分学生始终无法理解函数逻辑，从本章开始出现明显的数学学习分化。 （二）针对性新课标教学改进策略 1.聚焦核心本质，重构概念探究课堂：摒弃概念直接灌输模式，以大量生活动态情境（行车路程、水温变化、购物总价、气温变化）为载体，让学生自主观察、对比、归纳，提炼“两个变量、一个随一个变、唯一对应”的函数核心特征，让学生亲历概念生成过程，从根源上理解函数本质，实现从“记概念”到“懂本质”的转变。 2.打通数形壁垒，强化数形转化训练：落实新课标数形结合要求，坚持“式、表、图、境”四位一体教学，每一道例题、每一个知识点都同步完成解析式书写、表格整理、图象绘制、情境解读，专项训练“由数识图、由图释境、由境建模”的转化能力，彻底解决数形脱节问题。 3.深耕真实情境，落实模型观念培育：全程以生活真实变化情境为课堂载体，让学生感知“生活处处有函数”。增设生活化探究任务，引导学生自主发现生活中的变量关系、建立函数模型、分析变化规律，让学生体会函数的工具价值，真正落实建模素养。 4.梳理高频易错点，开展专项突破训练：系统梳理本章三大易错专题：函数对应关系辨析专题、自变量取值范围双重限制专题、动态函数图象解读专题，集中纠错、集中训练、集中复盘，帮助学生扫清知识漏洞，形成规范解题思维。 5.分层引导思维转型，缩小两极分化：针对不同层次学生开展差异化思维引导，对学困生多借助具象实例、直观图象降低抽象难度，逐步引导其摆脱静态思维；对中等学生强化概念辨析与规范训练；对优等生开展规律探究、多情境建模拓展，适配全员学情，平稳度过思维转型分化期。 （三）后续长效教学优化方向 1.持续强化大单元整体思维，将本章函数启蒙思想贯穿后续一次函数、反比例函数教学，构建统一的函数学习思维范式，形成系统化函数知识体系。 2.常态化开展数形转化、情境建模专项训练，固化学生动态变量思维与模型观念，全面提升函数核心素养。 3.加强前后知识融合，联动平面直角坐标系、代数式、方程知识开展综合训练，为后续函数综合应用、数形结合压轴题学习筑牢基础，精准落实2022版新课标素养育人目标。 单元教学结构图 教学设计 函数的概念活动一 · 情境引入 万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 我们以和尚挑水为例. . 师生活动：在教师的引导下，学生理解问题情境问题，合作探究函数的概念形成，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 　　一辆汽车以90km/h的速度行驶在高速公路上，用 t 表示它行驶的时间（h），用 S 表示它行驶的路程（km），填下面的表： 试用含的 t 式子表示 S： 　　在上述式子中，90是固定不变的，而S和t是按照某种规律变化的． 一个滑动变阻器串联在电路中，已知电源电压V=12伏，电流表测量串联电路的电流I. 当电流表的读数为1安时，滑动变阻器接入电路的电阻R为12欧姆； 当电流表的读数为2安时，滑动变阻器接入电路的电阻R为6欧姆； 当电流表的读数为3安时，滑动变阻器接入电路的电阻R为4欧姆； 当电流表的读数为6安时，滑动变阻器接入电路的电阻R为2欧姆； 　　在上述式子中，12是固定不变的，而电阻R和电流I是按照某种规律变化的． 小亮在智力竞赛中答对了x个问题，得分是100+10x,如果用y(分）代表小亮的得分. ①计算当x取下列数值时y的值，并填写下表: ②在这个问题中，哪些量保持不变？哪些量可以取不同的数值？ 小明设计了一个计算机程序，输入和输出的数据如下表： 当输入的数据是8和10时，输出的数据分别是多少？ 当输入的数据用x来表示时，输出的数据y怎样用关于x的代数式表示？ 思考：上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？ 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变. 哪些量保持不变？哪些量可以取不同的数值？分别把它们指出来. 思考：同学们,你们能从刚才的几个变化过程中找到它们的共同之处吗？ 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应． 一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系． 探究： 姨父说最近村子里有黄鼠狼，果果准备帮助姨父用一段20m长的栅栏围一个长方形鸡舍…… （1）当长方形的宽为2m时，长为 ____ m； （2）当长方形的宽为4m时，长为 ____ m； （3）当长方形的宽为b m时，长为 ______ m. （4）长方形的长是宽的函数吗？为什么？ （5）长方形的宽是长的函数吗？为什么？ （6）长方形的面积是宽的函数吗？为什么？ 探究：果果的小姨邻居小明的爸爸是某市水库管理员，他将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表： 你能从他制作的表格中获得哪些信息？水位高低与水库容量有什么关系？ 探究： 果果想着寒假也来小姨这里玩，也是上网查阅了杭州冬季一天的气温变化曲线. 填空： 随着 的变化而变化. 对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应. 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. · 溯源 设计意图：通过溯源，让学生了解我国数学文化，增强文化自信。 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． 问题（1）中，t 取－2 有实际意义吗？ 问题（2）中，n 取2 有意义吗？ 思考：根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 归纳总结： 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 师生活动：教师引导学生思考函数的概念和在实际生活中的举例，从变化的角度理解常量和变量，以及自变量的取值范围，教师纠正学生的误解． 设计意图：把函数的概念交给学生，让他们在合作学习的过程中，理解新的知识．同时展现函数的文化内涵，让学生知道知识的来龙去脉，厘清函数概念的中外发展史，增强文化自信. · 应用新知 例1.写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量： (1)圆的周长c与半径r的关系式； (2) n（n＞2）边形的内角和的度数s与边数n的函数关系式； (3)等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式； (4)一个周长为 60的长方形，一边长为x ，其面积为S； (5)假设圆柱的底面半径R不变，圆柱的高为h，圆柱的体积为 V． 例2.瓶子或罐头盒等物体常如下图所示堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式. 完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式. 例3.已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 例4.下列函数中自变量x的取值范围是什么？ 归纳总结： 函数中自变量的取值范围 ① 函数表达式有意义 1.表达式是整式时，自变量取全体实数； 2.表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； 3.表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； 4.表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. ②要符合实际 例5.等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握函数的概念和表示方式以及自变量的取值范围，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 函数的表示活动二 · 情境引入 一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水温高度. 思考：在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？ 师生活动：在教师的引导下，学生从具体情境中抽象出数学弄醒，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 思考：不难看出，y=3+0.3t(t≥0)，自变量t的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值y,是否确定了一个点(t,y)呢？ 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象，右图的直线，即为函数y=3+0.3t(t≥0)的图象. 思考：观察函数y=3+0.3t(t≥0)的图象，你能说出y是如何随t的变化而变化的吗？ 从函数y=3+0.3t(t≥0)的图象可以看出，直线从左向右上升，即当t由小变大时，y随之增大. 探究：画出函数y= 的图象. 注意：表示x与y的对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.用平滑曲线连接画出的点. 探究：画出函数的图象. 思考：观察函数的图象，你能说出y是如何随x的变化而变化的吗？ 从函数的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小. 归纳总结： 画函数图象的步骤 列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 ； 描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 思考：下图是北京与上海在某一天的气温随时间变化的图象: (1)这一天内上海与北京何时温度相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间内比北京的温度高？在哪段时间内比北京的温度低？ 解：（1）7时，12时温度相同. （2）0～7时，12～24时上海温度高.7 ～12时上海比北京温度低. 思考：表示函数有哪三种方法？这三种表示的方法各有什么优点？ 从所填表中可以清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时，就要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用. 思考：如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为2cm2，容积为20cm2的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位h（单位：cm）与时间t（单位：min）之间的数据如下： (1)请写出水位h与时间t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当h=5时，求对应的时间t，并说明它表示的实际意义． 解：(1)水位h与时间t之间的函数关系式为h=1/4t+1，最大水位为20/2=10, ∴h=1/4t+1=10,解得t=36,∴自变量的取值范围为0≤t≤36． (2)当h=1/4t+1=5时,解得t=16, 实际意义：当计时时长为16min时，漏刻的水位高度为5cm． · 溯源 设计意图：通过溯源，让学生了解我国数学文化，增强文化自信。 师生活动：教师引导学生理解函数的三种表示方式，待学生充分交流后，教师选代表总结三种表示方式的异同点和转化方法，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝－x＋1；②y＝ 1/2 x. 例2.已知函数y＝2x－1. (1)试判断点A(－1，3)和点B是否在此函数的图象上； (2)已知点C(a，a＋1)在此函数的图象上，求a的值． 例3.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况． 分析：OA段表示随着时间的增加，小明离家的距离不断增加，因此OA表示散步了3分钟，到达离家250米的位置. AB段表示随着时间的增加，小明离家的距离保持不变，因此AB表示3-8分钟时，小明在公共阅报栏看报，且阅报栏距家250米. BC段表示随着时间的增加，小明离家的距离再次增加，因此BC表示8-10分钟，小明继续散步至距家450米的位置. CD段表示随着时间的增加，小明离家的距离不断减少，因此CD表示小明从10-16分钟时回家. 解：小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家． 归纳总结：函数图象中的信息 解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息. 主要步骤如下: (1)了解横、纵轴的意义； (2)从图象形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点、拐点等特殊点的实际意义. 例4.一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： (1)解释点C的实际意义； (2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； (3)在(2)的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． (1)解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米. (2)解：爬升速度100−50/9−7=25（米/分钟） ∴m=50/25=2， ∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍， ∴无人机匀速下降的速度是50米/分钟， ∴n=12+100/50=14； (3)解：由函数图象可知，悬停的总时长12−9+7−2=8（分钟）． 例5.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表. 归纳总结：这样的函数称为分段函数.分段函数不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同. 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. · 课堂小结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1. 本节课你学到了什么？ 2. 举例说明什么是常量和变量． 3. 举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数． 4. 函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明． 5. 举例说明如何利用函数解决实际问题. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固函数的表示方法.由教师引导，学生进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化、条理化. · 当堂练习 1.作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 解：∵燃料的体积随飞船飞行高度的变化而变化，飞行高度是主动变化的量，燃料体积是随之变化的量，根据自变量的定义，可得自变量是飞船的飞行高度. 2.填空： (1)某学校乒乓球协会计划购买100元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为_______． (2)某教科书的单价是30元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是_________． (3)正方体的棱长为a与其表面积S之间的关系是________，与其体积V之间的关系是__________． 3.下列各关系式中，y不是x的函数的是( ) A.y=x2 B. y=±x C. y=x+1 D.y=|x| 解：A.y=x2 ，y是x的函数； B. y=±x 中，一个x对应多个y，y不是x的函数； C. y=x+1 ， y是x的函数； D.y=|x|，y是x的函数； 故选B. 4.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( ) 解：A选项中一个x对应多个y，y不是x的函数； 其余选项，均可表示 y是x的函数；故选A. 5.以下四个点中，在函数y=−3x+2图象上的点是( ) A. (−1,1) B. (−1,5) C. (2,0) D.(0,−2) 解：以下四个点中，在函数y=−3x+2图象上的点是( ) 把A. (−1,1)代入函数得，左边=y=−3×(−1)+2=−1≠右边，因此该点不在函数图象上；同理 C. (2,0)，D.(0,−2)两点均不在函数图象上； 把B. (−1,5)代入函数得，左边=y=−3×(−1)+2=5=右边，因此该点在函数图象上. 6.画出函数y=x+1的图象． 7.周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵小明同学骑车去东营市图书馆借书， 之后骑车回家，由图可知，小明家离图书馆2400米， ∴小明共骑行了4800米，故①是错误的，不符合题意； ②由图可知，小明在图书馆停留了8-6=2（分钟）， 故②是正确的，符合题意； ③小明从家到图书馆路上的平均速度为2400÷6=400（米/分钟）， 故③是正确的，符合题意； ④小明从图书馆回家路上的平均速度为2400÷(12-8)=600（米/分钟）， 故④是错误的，不符合题意； 综上所述，正确的说法是②③，共有2个，选B． 8.某种型号的纸杯如图1所示，若将n个这种型号的杯子按图2中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为H．则H与n满足的函数关系可能是（    ） A. H=0.3n B.H=10/0.3n C. H=10−0.3n D.H=10+0.3n 解：根据题意，1个杯子的高h=10，1个杯子沿高为0.3， ∴n个杯子叠在一起的总高度为H=10+0.3n， 故选：D ． 师生活动：学生做练习，教师订正答案. 设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点. 单元作业设计 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据以下特征进行判断即可：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①是的函数； ②，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ③是的函数； ④是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：C． 2．变量与之间满足关系式，当自变量时，因变量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入函数关系式即可求出答案． 【详解】解：当时，， 故选：． 【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入求出因变量的值即可，准确计算是解答本题的关键． 3．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0． 【详解】解：根据题意得x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握函数解析式的特点是关键． 4．一棵树现在的高度为，且未来10年内会每年长高，设年后树的高度为，则与的函数关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把22cm换算成0.22m，再根据树高=原树高+每年增长的高度，列出函数关系式即可． 【详解】解：22cm=0.22m， 由题意得，y=2.5+0.22x． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系列出关系式． 5．在某次试验中，测得两个变量x和y之间的四组对应数据如下表 x 1 2 3 4 y 0.01 2.9 8.03 15.1 则y与x之间的关系最接近于（    ） A． B．y＝x＋1 C． D．y＝2x－2 【答案】A 【分析】当时，依次代入各个选项中，通过计算，比较即可得． 【详解】解：当时， A、，； B、，； C、，； D、，； ∵， ∴符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了函数解析式的定义，解题的关键是掌握函数解析式的定义． 6．如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据容器的形状可知当液面高度越高时，体积的变化越小，即随着的增大，增大的速度变缓，结合选项即可求解 【详解】解：容器的形状可知，底部最大，刚开始当增大时，体积增大较快，但随着的增大，增大的速度变缓，表现出的函数图象即为：函数图象先陡，后缓，结合选项只有B选项符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据容器的形状以及题意判断函数图象先陡，后缓是解题的关键． 7．小苏和小林在一条米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离（米）与跑步时间（秒）的对应关系如图所示，下列命题：①小苏和小林在第19秒时相遇；②小苏和小林之间的最大距离为30米；③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；④先到终点的同学用时50秒跑完了全程．其中正确的是（    ） A．仅①② B．①②③ C．①②④ D．仅②④ 【答案】C 【分析】依据函数图象中小苏和小林之间的距离（单位：米）与跑步时间（单位：秒）的对应关系，即可得到正确结论． 【详解】解：由图象可知，①小苏和小林在第秒时相遇，故①说法正确； ②小苏和小林之间的最大距离为米，故②说法正确； ③先到终点的同学用时秒跑完了全程，故③说法错误，④说法正确． 所以正确的个数是①②④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 8．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，若，y与x的函数图像如图2，则的长为（    ）． A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形的性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解∶由图象得∶当点P运动到点C时，、两点重合， ∵，，， ． 当时，，，点P在上，此时， ， 如图 在矩形中， 设，则，． 在中， ， 即∶， 解得∶． ， 故选∶A． 9．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD=6-1=5，当直线经过D点，设直线交BC于N，则DN=2，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD=6-1=5， 设直线经过点D时，交BC于N，则DN=2，作DM⊥BC于点M，如图所示： ∵移动直线为y=x， ∴∠NDM=45°， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的面积为：AD×DM=5×=5，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD的长，是解答本题的关键． 10．已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（   ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出，即可得到长，求出P在上运动的时间，从而求出a的值，求出P在上运动的时间是，即可求出b的值，，当时，由，得到，因此是等腰三角形，当时，求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当P在上时，的面积， ∴， ∴， ∴P在上运动的时间是， ∴，故①符合题意； ∵P在上运动的时间是， ∴，故②符合题意； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③符合题意； 当时，P运动的路程是， ∴， ∴，故④不符合题意． ∴正确的是①②③． 故选：C． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据分式有意义，分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．拖拉机耕地，油箱内装有油45升，如果每小时耗油5升，写出所剩油量y（升）与时间x（小时）之间的函数关系式__________ 【答案】 【分析】利用拖拉机耗油量进而得出所剩油量与时间t的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得出： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数关系式，得出w与t的函数关系是解题关键． 13．如果 ，那么的值为___________． 【答案】7 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得：， 则， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出，的值是解题关键． 14．晋祠是中国最美宗祠之一．周末两名老师带领x名学生到晋祠博物馆参观研学，已知成人票每张80元，学生票每张40元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为_______． 【答案】 【分析】根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式． 【详解】解：依等量关系式“总费用老师费用学生费用”可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式．解题的关键是明确学生的票价加老师的票价等于总票价． 15．一辆货车早晨出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程与行驶时间的完整的函数图像（其中点B、C、D在同一条直线上），小红研究图像得到了以下结论： ①甲乙两地之间的路程是； ②前半个小时，货车的平均速度是； ③时，货车已行驶的路程是； ④最后货车行驶的平均速度是； ⑤货车到达乙地的时间是． 其中，正确的结论是__________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查从函数图象获取信息，把图象分成三段，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，甲乙两地之间的路程是，故①正确； 前半个小时，货车的平均速度是，故②错误； 时，货车行驶了1个小时，对应行驶的路程是，故③正确； 最后货车行驶的平均速度是，故④正确； 货车到达B点的时间为：，从B到D用时为：， 所以货车到达乙地的时间是，故⑤正确； 综上可知，正确的结论有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为． (1)写出与的函数关系式； (2)求自变量的取值范围． 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)自变量的取值范围为． 【分析】（1）根据“底边长周长腰长”即可得出与的函数关系式； （2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答． 【详解】（1）解：依题意有：， 故与的函数关系式为：；（3分） （2）解：依题意有：，即， 解得：． 故自变量的取值范围为．（3分） 【点睛】本题考查了等腰三角形的周长，三角形的三边关系，难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围． 17．在长方形ABCD中，，，动点P从点A开始按的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y．（当点P与点A或D重合时，） (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． （1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当点P在AB上运动时，即时，； 当点P在BC上运动时，即时，； 当点P在CD上运动时，即时，， 综上所述，；（3分） （2）解：根据（1）的结论，得函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴的面积的最大值是6．（3分） 18．小亮上山游玩．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系． (1)小亮行走的总路程是_______米，他途中休息了_______分； (2)分别求出小亮休息前和休息后的步行速度； (3)小亮如果不休息，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】(1)3600；20 (2)小亮休息前的步行速度为65米/分；小亮休息后的步行速度为55米/分 (3) 【分析】此题考查函数图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． （1）由图象求解即可； （2）根据速度等于路程除以时间求解即可； （3）首先求出小亮行走的时间为（分钟），然后根据路程等于速度乘以时间求解即可． 【详解】（1）由函数图象得，小亮行走的总路程是3600米，途中休息了（分钟）．（2分） （2）小亮休息前的速度为（米/分钟）， 小亮休息后的速度为（米/分钟），（2分） （3）小亮行走的时间为（分钟）， ∴小亮如果不休息，行走的速度为（米/分钟） ∴y与x之间的函数关系式为．（2分） 19．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表： 所挂物体的质量/ 弹簧的长度/ (1)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是_______________________； (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表直接写出与的关系式_____________； (3)当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度； (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由关系表得，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是； （2）由关系表得，弹簧原长为：，所挂物件每增加，弹簧伸长，即可得到与的关系式； （3）由（2）得与的关系式，当时，求出，即可； （4）由（2）得与的关系式，当，求出，即可． 【详解】（1）由关系表得，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是， 故答案为：．（2分） （2）由关系表得，弹簧原长为：，所挂物件每增加，弹簧伸长， ∴弹簧总长与所挂物体的质量为之间的函数关系式为：， 故答案为：．（2分） （3）∵， ∴当时，， ∴弹簧的长度为：．（2分） （4）∵， ∴当时，， 解得：， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体．（2分） 【点睛】本题考查用关系式表示的变量之间的关系，解题的关键是列出相应的函数关系式． 20．周末，爸爸带小明到游乐场坐过山车．某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的关系如图所示．请结合图像回答： (1)当秒时，过山车的高度是多少？ (2)过山车所达到的最大高度是多少？ (3)图中A点表示的意义是什么？ (4)请描述16秒后，高度h（米）随时间t（秒）的变化情况． 【答案】(1)10米； (2)78米； (3)当t=22秒时，过山车所达到的高度h为65米； (4)16秒至35秒，过山车的高度由78米逐渐降低到10米；第35秒至55秒，过山车的高度由10米逐渐升高到43米；55秒至60秒，过山车的高度由43米逐渐降低到38米． 【分析】（1）找出横坐标为35的点的纵坐标即可； （2）结合图象解答即可； （3）根据点A的坐标解答即可； （4）结合图象解答即可． 【详解】（1）由图象可知，当t=35秒时，h的值是10米；（2分） （2）过山车所达到的最大高度是78米；（2分） （3）图中A点表示的意义是当t=22秒时，过山车所达到的高度h为65米；（2分） （4）16秒至35秒，过山车的高度由78米逐渐降低到10米；第35秒至55秒，过山车的高度由10米逐渐升高到43米；55秒至60秒，过山车的高度由43米逐渐降低到38米．（2分） 【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，理清横轴和纵轴所表示的量的意义，利用数形结合的思想解答． 21．甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、农药、油漆等，各行业都有应用．已知甲苯的沸点在标准大气压下高于，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计了以下实验，在实验室安全通风环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用酒精灯均匀加热，甲苯的初温为，每隔分钟记录一次温度，得到了如表所示的数据． 时间 温度 (1)因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改； 请在直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并将这些点连起来； 在甲苯达到沸点前，甲苯温度（单位：）与加热的时间（单位：）符合我们学习过的某种函数关系，填空：可能是______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求关于的函数解析式； (3)当加热分钟时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少． 【答案】(1)时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是；见解析；一次 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可；描出点并连接即可；由图象可知与可能是一次函数关系； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）解：时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是；（1分） 如图所示； （2分） 一次；（1分） （2）解：该一次函数经过点和， 设其解析式为，则， 解得：， 该一次函数的解析式为；（2分） （3）解：当时，， 所以甲苯的沸点为．（2分） 22．如图所示，是等腰直角三角形，是斜边的中线，分别是边上的动点，且， (1)求证： (2)若．求线段的长． (3)若的面积为，写出与的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由是等腰直角三角形，是斜边的中点，可得：即，又，可得：，故，从而可证：；根据全等三角形的性质得到，进而得出； （2）在中，运用勾股定理可将的值求出； （3）根据（2）的结论，求得，根据是等腰直角三角形，求得边长，从而求得函数关系即可求解． 【详解】（1）证明∵是等腰直角三角形，是斜边的中点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；（3分） （2）在中，， ∵， ∴， ∴；（2分） （3）解：∵的面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又,， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即．（3分） 【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键． 23．根据学习函数图象的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)自变量x的取值范围是　　　． (2)列表如下：直接写出　　　． … … … … (3)在给定的平面直角坐标系中，描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象． (4)结合函数图象，我们发现： ①函数的最大值是　　　． ②当时，的取值范围是　　　． ③结合随的变化趋势，写出你的发现：　　　．（一条即可） 【答案】(1)任意实数 (2) (3)见解析 (4)①；②；③当时，随的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查了求函数值，画函数的图象，掌握描点法画出函数图象是解题关键． （1）根据函数解析式即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）根据描点法画出函数图象，即可求解； （4）①根据函数图象，即可求解； ②观察函数图象，即可求解； ③根据函数图象的对称轴，增减性写出一条性质即可求解． 【详解】（1）解：在函数中，自变量x可以是任意实数， 故答案为：任意实数；（1分） （2）当时，， 故答案为：；（1分） （3）如图所示， （2分） （4）根据函数图象可得，函数的最大值为2， 故答案为：；（2分） 根据函数，可得时，或， 根据函数图象，当时，x的取值范围是， 故答案为： ；（2分） 函数的图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．（2分） 24．如图，中，，D为边中点，， (1)如图1，当E，F分别在的边和上时， ①求证： ②在绕点D旋转的过程中，四边形的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形的面积；若有变化，请说明理由． (2)如图2，当E，F分别在的边、的延长线上时， ①探索和之间的数量关系； ②设长为x，四边形的面积为S，请探究S与x的关系式． 【答案】(1)①见解析；②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100 (2)①；② 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质可得，，再由，可得到，从而可证得，即可；②根据，可得，从而得到，再求出，即可求解； （2）①由（1）得，可得到，再由，可得到，即可；②过点D作于点H，根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D为中点， ∴是的平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；（3分） ②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为25， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，（3分） 在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100； （2）解：①由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（3分） ②如图，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（3分） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $