第23章 一次函数 —— 一次函数中的面积问题讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

本讲义聚焦一次函数中的面积问题核心知识点，系统梳理基础必备（一次函数解析式、交点坐标、坐标轴距离）、核心面积公式（常规、铅锤法、坐标割补法）及常见题型（直线与坐标轴、两直线相交、动点面积问题），构建递进式学习支架，帮助学生掌握知识脉络。 该资料以“坐标代数运算”转化几何面积，通过“求全点坐标—选方法—列表达式—解方程”思路培养几何直观与运算能力，速记口诀强化记忆，例题变式覆盖多地期中真题体现模型意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

一次函数中的面积问题讲义 一次函数中的面积问题讲义 知识点解析 一、知识点 1. 基础必备 · 一次函数解析式：，会求交点、与坐标轴交点坐标 · 两点间水平/竖直距离、横纵坐标差值 · 坐标轴围成三角形：横纵截距直接算底和高 1. 核心面积公式 · 常规： · 铅锤法（万能）： · 坐标割补法：分割、补全、作坐标轴平行线求面积 1. 常见题型 · 直线与坐标轴围成面积 · 两直线相交形成三角形面积 · 动点在直线上，求面积定值、最值、面积相等问题 二、解题原理 把几何图形面积，转化为坐标代数运算；用横纵坐标表示底与高，代入公式列式计算；动点面积则建立面积函数，求解范围与取值。 三、解题思路 1. 求全点坐标：交点、与 / 轴交点、定点动点坐标 1. 选简便方法： · 直角放坐标轴上：直接用截距算面积 · 斜三角形：优先铅锤法 · 不规则图形：分割或补成规则图形 1. 代入公式列出面积表达式 1. 动点问题：设动点坐标，写出含参面积式子 1. 根据题意解方程、求最值、求参数取值 四、速记口诀 交点坐标先求全，直角直接截距算； 斜三角用铅锤法，动点列式解方程。 例题分析 例1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 例3．（2026·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． (1)当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． (2)设直线、交于点，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先将点代入的解析式求出的值，再将代入的解析式即可； ②先求出与直线、交点、的横坐标，再根据点在点的左侧和列方程求解； （2）先求出、、、、的坐标，再分别计算和的面积，最后求比值． 【详解】（1）解：①将代入： ，解得， 则的解析式； ②由第①问得，， 直线与交点，则， 解得： 直线与交点，则， 解得：， 又在左侧且， 即，且， 代入得， 解得． （2）解：与轴交点，与轴交点， ， 直线与交点：， ， 直线与交点：， ， ， 由直线、交于点联立得：，解得， 代入：， ， 点到轴（即）的水平距离为 ， 点到直线（即）的水平距离为， ，， ． 例4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将代入得的值，再利用待定系数法即可求解直线的函数解析式； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 由图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 【答案】(1)，． (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标先后代入两条直线的解析式，求出和的值； （2）求出、两点坐标得到的长度，以为底、点纵坐标为高，计算的面积； （3）过点作轴，交于点，先求得点的坐标，得出，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入可得， 点的坐标为， 将点代入可得，解得． 综上，，． （2）解：根据（1）可知，， 分别令，， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 由可得． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 当时，，解得：，则 将代入，则 ∴，则 设， ∵ ∴，即 解得：或 ∴或 变式3．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为10得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图像经过点和点， ∴，解得：， ∴． （2）解：点C的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 变式4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 实战演练 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；直线的函数表达式为 (2) (3)存在，或 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数中的面积问题讲义 一次函数中的面积问题讲义 知识点解析 一、知识点 1. 基础必备 · 一次函数解析式：，会求交点、与坐标轴交点坐标 · 两点间水平/竖直距离、横纵坐标差值 · 坐标轴围成三角形：横纵截距直接算底和高 1. 核心面积公式 · 常规： · 铅锤法（万能）： · 坐标割补法：分割、补全、作坐标轴平行线求面积 1. 常见题型 · 直线与坐标轴围成面积 · 两直线相交形成三角形面积 · 动点在直线上，求面积定值、最值、面积相等问题 二、解题原理 把几何图形面积，转化为坐标代数运算；用横纵坐标表示底与高，代入公式列式计算；动点面积则建立面积函数，求解范围与取值。 三、解题思路 1. 求全点坐标：交点、与 / 轴交点、定点动点坐标 1. 选简便方法： · 直角放坐标轴上：直接用截距算面积 · 斜三角形：优先铅锤法 · 不规则图形：分割或补成规则图形 1. 代入公式列出面积表达式 1. 动点问题：设动点坐标，写出含参面积式子 1. 根据题意解方程、求最值、求参数取值 四、速记口诀 交点坐标先求全，直角直接截距算； 斜三角用铅锤法，动点列式解方程。 例题分析 例1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 例2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 例3．（2026·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，、与直线分别交于，两点，其中． (1)当直线经过点时： ①求直线的解析式； ②平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，且点在点的左侧．当时，求的值． (2)设直线、交于点，直接写出的值． 例4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 变式训练 变式1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 变式3．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 变式4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 实战演练 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $