23.1 一次函数的概念 教学评一体化设计 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该教案聚焦一次函数概念这一核心知识点，通过复习正比例函数旧知，结合汽车行驶、手机话费等生活实例引出函数解析式，搭建从特殊到一般的学习支架，梳理正比例函数到一次函数的知识脉络。 这份教学评一体化资料（含教案、学案、测评案及板书思维导图）特色鲜明，以数学抽象引导学生从实例归纳一次函数一般形式，用数学建模落实实际问题列式与自变量范围确定，通过类比探究、反例辨析等方法突破概念混淆难点，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

人教版八年级下册数学《23.1一次函数的概念》教学评一体化设计(教案+学案+测评案,全程渗透学法指导) 第一部分教案 一、基本信息 1.课题:人教版新教材八年级下册数学23.1一次函数的概念 2.课时安排:1课时(45分钟) 3.授课年级:八年级 4.学科:数学 5.学情分析 学生此前已经学习变量与常量、函数的定义、自变量与函数值、正比例函数,能够判断两个变量之间是否存在函数关系,会列简单实际问题中的函数解析式,具备初步的数形结合意识和列式建模能力。但学生存在几点薄弱点:一是对函数解析式的结构特征归纳能力不足,难以从多个关系式中提炼共性;二是容易混淆正比例函数与一次函数的包含关系,概念界定模糊;三是在实际情境中列式时,忽略自变量的取值范围;四是抽象概括、分类辨析的数学思维较弱,不会用数学语言精准描述函数特征。 本节课从实际问题出发引出解析式,归纳一次函数概念,厘清一次函数与正比例函数的联系与区别,结合例题、练习落实概念辨析、解析式判断、根据条件列一次函数关系式,并补充自变量取值范围,完善函数建模。教学重点为一次函数的概念及解析式识别,教学难点是区分一次函数与正比例函数、结合实际问题列一次函数解析式并确定自变量取值范围,全程渗透类比归纳、分类讨论、建模思想。 6.学科核心素养目标 (1)数学抽象:结合实际问题列出函数解析式,从多个式子中抽象出一次函数的一般形式,理解一次函数的概念。 (2)数学运算:能根据定义判断一个函数是否为一次函数、正比例函数,会根据已知条件写出一次函数解析式。 (3)逻辑推理:辨析一次函数与正比例函数的从属关系,通过对比、举例、反例深化概念理解,发展演绎推理能力。 (4)数学建模:能从行程、费用、数量等实际情境中提取变量关系,建立一次函数模型,确定自变量取值范围,解决简单实际问题。 (5)直观想象:结合解析式特征初步感知函数形态,为后续一次函数图象学习铺垫。 7.教学重难点 (1)教学重点 ①理解一次函数的定义、一般解析式(为常数,); ②准确判断给定函数是否为一次函数、正比例函数; ③根据实际问题列出一次函数关系式。 (2)教学难点 ①理清正比例函数是特殊的一次函数这一包含关系; ②实际问题中列一次函数解析式,并结合生活实际确定自变量的取值范围; ③根据概念逆向求解解析式中参数的取值。 8.教学准备 PPT课件、实际问题情境例题、概念辨析题卡、课堂分层练习单、板书思维导图。 9.教学方法 情境导入法、类比探究法、对比辨析法、任务驱动法、讲练结合法、小组合作法。 10.学法指导 类比旧知迁移学习、式子结构对比归纳、概念分层记忆、反例辨析法、实际问题分步建模、分类梳理知识体系。 二、教学过程 (一)复习导入(5分钟) 1.旧知回顾:提问函数、自变量、函数值的定义,回顾正比例函数概念及解析式(为常数,)。 2.情境设问:出示3个生活实例,引导学生列出变量之间的关系式: ①汽车以60km/h匀速行驶,路程(km)与时间(h)的关系; ②某手机月租10元,通话每分钟0.2元,总话费(元)与通话时长(分钟)的关系; ③水池原有水20L,每分钟注水5L,总水量(L)与注水时间(min)的关系。 3.引出课题:观察所列式子的共同特征,导入新课——一次函数的概念。 4.学法渗透:利用旧知类比新知,从具体式子入手,逐步归纳共性,养成从特殊到一般的探究习惯。 (二)概念探究与精讲(10分钟・重点落实) 1.式子汇总:将导入环节的解析式板书:、、。 2.合作探究:小组讨论:以上式子在形式上有什么共同点? 3.归纳概念 一般地,形如(是常数,)的函数,叫做一次函数。 4.概念拆解精讲 结构特征:自变量的次数为1,右边是关于的整式; 限制条件:(核心条件),可以为任意常数; 特殊情况:当时,,此时一次函数变为正比例函数。 总结关系:正比例函数是特殊的一次函数,一次函数不一定是正比例函数。 5.即时辨析:出示简单式子,判断是否为一次函数,强化、次数为1两个关键点。 6.学法小结:记忆概念分两步:先看自变量次数,再看系数限制;用对比法区分一次函数与正比例函数。 (三)典例精讲与题型突破(18分钟・难点突破) 题型1:判断一次函数、正比例函数 例题1:判断下列函数是否为一次函数?是否为正比例函数? (1)(2)(3)(4) 讲解思路:对照定义,依次检查:整式、次数为1、。 题型2:根据概念求参数取值 例题2:已知函数,当取何值时,该函数是一次函数? 变式:当取何值时,该函数为正比例函数? 点拨:紧扣、两个条件,逆向求解参数。 题型3:实际问题列一次函数解析式+确定自变量取值范围 例题3:商店购进一批笔记本,每本进价3元,固定运费50元,设购进数量为本,总费用为元。 (1)写出与的函数关系式; (2)判断该函数是否为一次函数; (3)确定自变量的取值范围。 分步建模指导:①找两个变量;②根据数量关系列式;③结合实际确定取值范围(笔记本数量为正整数)。 课堂互动练习 学生独立完成课堂练习题,同桌互查,教师针对易错点(忽略、自变量取值范围)集中纠错。 学法指导:实际问题建模遵循“找变量 理关系 列式子 定范围”四步法;概念题使用反例排除法快速判断。 (四)课堂小结(3分钟) 1.知识梳理 一次函数定义:(为常数,); 正比例函数:时的特殊一次函数; 两大判定要点:次数为1、整式形式、。 2.方法总结:类比归纳法、对比辨析法、实际问题建模法。 3.思想渗透:体会从具体到抽象、特殊到一般的数学思想。 (五)当堂检测(4分钟) 1.填空题:函数是_函数,其中_,_。 2.判断题:是一次函数();是正比例函数()。 3.简答:简述一次函数和正比例函数的关系。 (六)作业布置(2分钟) 1.基础作业:熟记一次函数、正比例函数概念,完成课后基础习题,判断各类函数类型。 2.提升作业:根据实际情境列出2个一次函数解析式,并写出自变量取值范围。 3.拓展作业:已知函数,求使函数为一次函数。 (七)板书设计 23.1一次函数的概念 1.复习:正比例函数 2.一次函数定义 一般形式:(常数,) 特征:①次数为1②整式③ 3.两者关系 正比例函数一次函数() 4.典型题型 ①函数判断②求参数③实际建模(解析式+取值范围) 三、教后反思 本节课以旧知正比例函数为铺垫,结合生活情境引导学生自主归纳一次函数概念,大部分学生能够掌握基本定义,完成简单的函数判断与列式。课堂存在的问题: 1.部分学生对“”这个限制条件记忆不牢,参数求解类题目频繁出错; 2.区分分式函数、二次函数与一次函数时,判断失误较多; 3.实际应用题中,容易遗漏自变量的取值范围,缺乏结合生活实际分析的意识; 4.少数学生无法清晰表述一次函数与正比例函数的包含关系。 后续改进措施:增设易错点专项辨析练习,多用反例强化概念;增加实际建模题型训练,规范“列式+定范围”答题步骤;利用思维导图梳理知识从属关系,加深理解。 第二部分 学案 23.1一次函数的概念导学案 班级:_姓名:_学号:_得分:_ 一、学习目标 1.理解一次函数的概念,掌握一次函数一般形式。 2.明确一次函数与正比例函数的联系与区别,能准确判断函数类型。 3.会根据条件求解析式中的参数,能结合实际问题列出一次函数解析式并确定自变量取值范围。 4.掌握类比归纳、辨析判断、数学建模的学习方法。 二、预习导学 (一)旧知回顾 1.一般地,形如_(为常数,)的函数,叫做正比例函数。 2.函数是_函数,自变量是_,自变量次数为_。 (二)自主探究(列出下列问题中的函数关系式) 1.已知铅笔单价0.8元,购买支铅笔,总费用元,则_。 2.出租车起步价8元,超过2公里后,每公里收费1.5元,设行驶里程为公里,总费用元,则_。 (三)初步思考 观察上面两个式子,它们的共同形式是什么?自变量的次数是多少? 三、课中探究 (一)概念填空 1.形如(是_,且_)的函数,叫做一次函数。 2.当_时,一次函数就变为正比例函数,因此:_是特殊的一次函数。 (二)函数判断(填“是一次函数”“是正比例函数”“不是”) 1._ 2._ 3._ 4._ (三)参数求解 已知函数: 1.若它是一次函数,则满足_; 2.若它是正比例函数,则_。 (四)实际建模 某工厂每天固定支出水电费100元,生产一个零件成本2元,设每日生产零件个,每日总支出元。 (1)写出与的函数关系式:_ (2)自变量的取值范围:_ 四、课堂达标 1.函数中,_,_,该函数是_函数。 2.下列函数中,既是一次函数又是正比例函数的是() A.B.C.D. 3.已知函数,当_时,该函数不是正比例函数。 导学案参考答案 二、预习导学 (一)1.2.正比例;;1 (二)1.2. 三、课中探究 (一)1.常数;2.;正比例函数 (二)1.正比例函数(也是一次函数)2.一次函数3.不是4.不是 (三)1.2.且,本题无解() (四)(1)(2)为非负整数 四、课堂达标 1.;;一次 2.A 3. 第三部分 测评案 23.1一次函数的概念同步测评 满分:100分时间:40分钟 班级:_姓名:_得分:_ 一、填空题(每空4分,共28分) 1.一次函数的一般形式是,其中条件是_。 2.在函数中,_,_。 3.正比例函数_(填“是”或“不是”)一次函数。 4.若函数是一次函数,则的取值范围是_。 5.函数属于_函数。 6.已知长方形周长为20,长为,宽为,则与的函数关系式为_。 二、选择题(每题5分,共20分) 1.下列函数中,是一次函数的是() A.B.C.D. 2.下列说法正确的是() A.一次函数一定是正比例函数 B.正比例函数一定是一次函数 C.一定是正比例函数 D.一定是一次函数 3.若函数是一次函数,则的值为() A.2B.1C.-2D.0 4.油箱原有油30L,每小时耗油4L,剩余油量(L)与使用时间(h)的函数关系式是() A.B.C.D. 三、判断题(对的打√,错的打 ,每题4分,共16分) 1.是一次函数,不是正比例函数。() 2.当时,也是一次函数。() 3.自变量次数为2的函数一定不是一次函数。() 4.实际问题中,一次函数的自变量取值可以是全体实数。() 四、解答题(共36分) 1.(12分)判断下列函数是否为一次函数?是否为正比例函数? (1) (2) (3) 2.(12分)已知函数。 (1)当取何值时,函数为一次函数? (2)当取何值时,函数为正比例函数? 3.(12分)某书店售卖教辅书,每本售价12元,店内每日固定开销60元。设每日售出本书,每日总收入(扣除开销)为元。 (1)写出与的函数关系式; (2)判断该函数是否为一次函数; (3)写出自变量的取值范围。 测评案参考答案 一、填空题 1.为常数, 2.; 3.是 4. 5.正比例(一次) 6. 二、选择题 1.C2.B3.A4.B 三、判断题 1.√2. 3.√4. 四、解答题 1.(1)是一次函数,也是正比例函数; (2)是一次函数,不是正比例函数; (3)不是一次函数。 2.(1)由,得; (2)需满足,解得。 3.(1) (2)该函数是一次函数; (3)为非负整数。 学科网(北京)股份有限公司 $