第01讲 直线的斜率与倾斜角（六大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

第01讲 直线的斜率与倾斜角（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 直线的斜率与倾斜角 我们知道，过一点可以画出无数条直线.如图1-1-1，过点P的两条直线PA，PB的区别在于它们的倾斜程度不同. ●如何刻画直线的倾斜程度呢? 【知识点1 直线的斜率】 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【知识点2 直线的倾斜角】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校校园内有两栋教学楼，坐标分别为和，则连接两楼的直线斜率为（    ） A． B．2 C． D．-2 【变式1-2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【变式2-3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-3】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为__________. 13．（25-26高二上·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 14．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 16．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 17．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 18．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 19．（2026高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的斜率与倾斜角（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 直线的斜率与倾斜角 我们知道，过一点可以画出无数条直线.如图1-1-1，过点P的两条直线PA，PB的区别在于它们的倾斜程度不同. ●如何刻画直线的倾斜程度呢? 【知识点1 直线的斜率】 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】：(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【知识点2 直线的倾斜角】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【解答过程】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校校园内有两栋教学楼，坐标分别为和，则连接两楼的直线斜率为（    ） A． B．2 C． D．-2 【答案】A 【解题思路】根据直线的斜率计算公式计算即可. 【解答过程】由直线的斜率计算公式可得. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两点间的斜率公式计算即可 【解答过程】由 所以直线的斜率为： 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据条件可求出点、的坐标，然后可算出答案. 【解答过程】因为，的中点，所以点的坐标为 因为重心，所以点的坐标为 所以. 故选：B. 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可. 【解答过程】因为直线经过点，，所以的斜率为， 又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【解答过程】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解题思路】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【解答过程】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【解答过程】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【解答过程】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【解答过程】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【解答过程】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【解答过程】依题意，得，解得， 故选：C． 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【解答过程】显然，则，即，解得. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【解题思路】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【解答过程】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B. 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【解答过程】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【解题思路】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【解答过程】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解题思路】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【解答过程】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【解答过程】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B. 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【解答过程】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【解答过程】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【解答过程】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【解答过程】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 模块三 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【解答过程】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【解答过程】由题意可得，即，解得. 故选：C. 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 5．（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【解答过程】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系，逐一判断各方程倾斜角的范围，判断结果即可. 【解答过程】选项A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角； 选项B，由，可知斜率，则倾斜角为钝角，且； 选项C，由，可知倾斜角； 选项D，由，可知倾斜角； 所以倾斜角最大的是. 故选：A. 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据斜率公式得出的关系，再利用基本不等式求的最大值. 【解答过程】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【解答过程】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【解答过程】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD. 11．（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【解题思路】分别求得的斜率，然后结合图形及斜率变化关系求解斜率范围，结合选项即可判断. 【解答过程】如图    当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解题思路】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【解答过程】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·天津西青·期中）已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为__________. 【答案】2 【解题思路】根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】因为直线过两点且斜率为1， 则，解得， 所以实数的值为2. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【解答过程】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】根据经过两点的直线斜率计算公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故； （2）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故. 16．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 17．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 18．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 19．（2026高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【解答过程】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $