第03讲 两条直线的平行与垂直（七大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

第03讲 两条直线的平行与垂直（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 两条直线平行、垂直的判定 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关.那么， ●怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行或垂直的位置关系呢? 【知识点1 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【解题思路】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【解答过程】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行的条件判断即可. 【解答过程】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【解答过程】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【题型2 已知两直线平行求参数】 【例2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【解答过程】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·河北邢台·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行的条件进行求解. 【解答过程】因为直线与互相平行， 所以，解得， 当时，两直线重合， 当时，两直线平行． 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A． B．2或 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据得到关于的等式，计算验证即可. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，直线，即和直线重合，舍去， 当时，直线和直线，此时符合题意. 综上，. 故选：D. 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【解答过程】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【解题思路】根据判断. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解答过程】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 【变式3-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 【题型4 已知两直线垂直求参数】 【例4】（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【答案】B 【解题思路】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【解答过程】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·青海海东·期末）已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由两直线垂直的判定列方程求参数值. 【解答过程】由得，可得. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【解答过程】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【解答过程】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【解答过程】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【解答过程】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【解答过程】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C. 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【解答过程】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则直线的方程为，即. （2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出点坐标，进而得到中线所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，即可得到高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可. 【解答过程】（1）的中点为， 则中线所在直线的斜率为， 所以中线所在直线的方程为，即. （2）由， 则高所在直线的斜率为2， 所以高所在直线的方程为，即. 【题型7 直线平行、垂直在几何中的应用】 【例7】（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【解答过程】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【解答过程】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式7-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解题思路】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【解答过程】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【解答过程】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值. 【解答过程】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线平行的性质判断选项即可. 【解答过程】直线斜率为，两条直线平行则斜率相等， A：化为，直线斜率为，A选项不符合； B：化为 ，斜率为， B选项不符合； C：化为，斜率为，C选项不符合； D：化为，斜率为，D选项符合； 故选：D. 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断直线的斜率，再求的中点坐标，进而求解. 【解答过程】由题可得，直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的斜率为， 且线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程是． 故选：B. 5．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【解题思路】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【解答过程】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可. 【解答过程】由题意可知直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 所以该高线的方程为，整理得. 故选：A. 7．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知直线，直线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据结论求出的充要条件，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】的充要条件为， 即，得或， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【解答过程】因为，且， 所以，即，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【解题思路】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【解答过程】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【解题思路】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【解答过程】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是___________. 【答案】 【解题思路】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【解答过程】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 13．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线.若与平行且不重合，则实数__________. 【答案】 【解题思路】利用两直线平行的条件列出关于的方程，解出后代入检验即可求解. 【解答过程】对于直线，其中. 对于直线，其中. 与平行且不重合，，即， 整理得，解得或. 当时，，，此时与平行且不重合，符合题意. 当时，即，， 此时与重合，不合题意，舍去. 综上，. 故答案为：. 14．（25-26高二上·四川·期中）过点且与直线平行的直线方程是_________． 【答案】 【解题思路】设与直线平行的直线方程为将点代入方程求出即可. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 又所求直线过点，可得， 所以所求直线方程为：， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【解答过程】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 16．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，解得或2. （2）若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 17．（25-26高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【解答过程】（1）由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． （2）当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 18．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线平行得到斜率，点斜式即可得解； （2）根据直线垂直，得到斜率，即可求解. 【解答过程】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 19．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）先求出的中点坐标，进而可得BC边上的中线所在直线的斜率，再由点斜式方程即得； （3）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由题意，边所在的直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由题意，BC的中点坐标为， 则BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即. （3）由（1）（2）得，，BC的中点坐标为， 所以边垂直平分线的斜率为， 则边的垂直平分线方程，即. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 两条直线的平行与垂直（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 两条直线平行、垂直的判定 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关.那么， ●怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行或垂直的位置关系呢? 【知识点1 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【变式1-1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【题型2 已知两直线平行求参数】 【例2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2-1】（25-26高二上·河北邢台·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式2-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-3】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A． B．2或 C． D．2 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【题型4 已知两直线垂直求参数】 【例4】（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【变式4-1】（25-26高二上·青海海东·期末）已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-2】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【题型7 直线平行、垂直在几何中的应用】 【例7】（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式7-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知直线，直线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 三、填空题 12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是___________. 13．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线.若与平行且不重合，则实数__________. 14．（25-26高二上·四川·期中）过点且与直线平行的直线方程是_________． 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直. 16．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 17．（25-26高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 18．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 19．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $