专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式核心考点，以三个“二次”关系为统领，系统整合一元二次不等式（含参数）解法、分式/高次/绝对值不等式解法、根分布及恒成立问题，通过考点梳理、方法总结、真题精讲、分层练习四环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用问题链驱动与模型建构策略，如用表格对比三个“二次”关系培养数学思维，通过“穿针引线法”解高次不等式渗透数形结合思想，设置7类题型变式训练提升应用意识。分层练习覆盖基础到综合，配合高考真题统计分析，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 (2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式 (3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二次函数与一元二次方程、不等式 上海卷（秋考）：第3题，4分 全国二卷：第4题，5分 天津卷：第15题，5分 上海卷（秋考）：第2题，4分 上海卷（春考）：第2题，4分 命题规律分析 1、二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式是每年高考数学的重要内容，从近三年高考情况来看，解不等式是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，一般最多考查1题，分值为4分或5分，主要考查解一元二次不等式、分式不等式，难度不大，是基础题；复习时要加强解不等式的练习，做到简单题不丢分。 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 知识点2 三个“二次”的关系 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【方法技巧与总结】 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于x的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于x的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于x的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 一元二次不等式的求解】 【例1】（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【解答过程】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-1】（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案． 【解答过程】或，解得或， ，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1-2】（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是__________. 【答案】 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 故答案为：. 【变式1-3】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为__________． 【答案】 【解题思路】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【解答过程】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【题型2 由一元二次不等式的解确定参数】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】由不等式的解集为， 得和是方程的两个根，所以，． 故选：A. 【变式2-1】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式2-2】（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【解答过程】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 【题型3  分式、绝对值不等式的求解】 【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得， 即，即，且，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解分式不等式得到集合A，再结合集合B求并集即可. 【解答过程】分式不等式等价于，解得， 则. 所以，即. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）不等式 的解集为___________. 【答案】 【解题思路】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【解答过程】因为 则，解得， 所以不等式 的解集为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·上海闵行·一模）不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】将分式不等式转化为二次不等式，即可得解. 【解答过程】不等式等价于， 的解集为. 故答案为：. 【题型4 一元二次方程根的分布问题】 【例4】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【变式4-2】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【解答过程】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【解答过程】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B. 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·期末）二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定数表，结合二次函数性质确定其图象对称轴及开口方向，进而求出不等式的解集. 【解答过程】在二次函数中，由，得图象的对称轴为直线， 由，得，而，则的图象开口向下， 所以的解集为. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 【题型6 一元二次不等式恒成立问题】 【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【解答过程】由命题“”为真命题， ， 解得：， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C. 【变式6-3】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【解答过程】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 故选：D. 【题型7 一元二次不等式有解问题】 【例7】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【解答过程】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【解答过程】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，若要使不等式有实数解；则；然后根据一元二次不等式解出答案． 【解答过程】设， 若要使不等式有实数解； 则需要满足即可， 又， 则； 则，解得或； 故选：A． 一、单选题 1．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【解答过程】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 故选：B. 2．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【解答过程】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·海南儋州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算集合，然后根据补集以及交集的概念即可求解. 【解答过程】已知集合，解不等式，得，因此， 所以， 又因为，所以，故B正确. 故选：B. 4．（2026·新疆·二模）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】由题意将原不等式化成不等式组，分别求解再求交集即得. 【解答过程】由可得, 则可得且, 故不等式的解集为或. 故选：C. 5．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2026·河南·模拟预测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】由题意可得，为方程的根， 由韦达定理可得，解得，故 . 故选：A. 7．（2026·浙江·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出，再代入并将不等式转化为不等式组求解. 【解答过程】由不等式的解集为，得是方程的二根， 则，不等式化为， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：D. 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【解答过程】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（2026高一上·江苏·专题练习）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】对不等式中的参数讨论分析即可． 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，，其解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，，其解集为，故B可能. 故选：ABD. 10．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解题思路】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【解答过程】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 故选：AD. 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【解题思路】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【解答过程】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 三、填空题 12．（2026·广东·三模）不等式的解集是___________． 【答案】 【解题思路】利用分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【解答过程】 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 13．（2026·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为___________． 【答案】 【解题思路】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【解答过程】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为：. 14．（2026·陕西商洛·模拟预测）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】由题意得，进一步由基本不等式即可求解. 【解答过程】若关于的不等式的解集为，其中， 则，解得， 所以， 等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将其整理成一元二次不等式再求解； （2）利用比值小于等价转化成整式不等式再求解. 【解答过程】（1）不等式整理得， 解得或， 则不等式的解集为. （2），即，即， 等价于，解得， 因此不等式的解集为. 16．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．（2026·四川·模拟预测）关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解二次不等式即可得到集合； （2）根据题意求出集合，再由“”是 “”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可． 【解答过程】（1）不等式， 即，解得， ； （2）不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是． 18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【解答过程】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 19．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. （2）因为. 所以①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3）由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 (2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式 (3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二次函数与一元二次方程、不等式 上海卷（秋考）：第3题，4分 全国二卷：第4题，5分 天津卷：第15题，5分 上海卷（秋考）：第2题，4分 上海卷（春考）：第2题，4分 命题规律分析 1、二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式是每年高考数学的重要内容，从近三年高考情况来看，解不等式是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，一般最多考查1题，分值为4分或5分，主要考查解一元二次不等式、分式不等式，难度不大，是基础题；复习时要加强解不等式的练习，做到简单题不丢分。 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 知识点2 三个“二次”的关系 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【方法技巧与总结】 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 2．已知关于x的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足； 3．已知关于x的一元二次不等式的解集为R，则一定满足； 4．已知关于x的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足． 【题型1 一元二次不等式的求解】 【例1】（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是__________. 【变式1-3】（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为__________． 【题型2 由一元二次不等式的解确定参数】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 【变式2-1】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型3  分式、绝对值不等式的求解】 【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）不等式 的解集为___________. 【变式3-3】（2026·上海闵行·一模）不等式的解集为__________. 【题型4 一元二次方程根的分布问题】 【例4】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式5-1】（25-26高一上·全国·期末）二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【题型6 一元二次不等式恒成立问题】 【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次不等式有解问题】 【例7】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式7-2】（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·海南儋州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆·二模）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·模拟预测）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高一上·江苏·专题练习）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 三、填空题 12．（2026·广东·三模）不等式的解集是___________． 13．（2026·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为___________． 14．（2026·陕西商洛·模拟预测）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为___________. 四、解答题 15．（25-26高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式. (1)； (2). 16．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 17．（2026·四川·模拟预测）关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $