精品解析：江苏盐城市亭湖区2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试题

盐城市亭湖区2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 考试时间：100分钟 卷面总分：120分 一、精心选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 目前新能源汽车逐步成为汽车产业升级的重要力量．以下新能源汽车图标既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 2. 下列古诗描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 鱼戏莲叶东 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 手可摘星辰 【答案】D 【解析】 【分析】不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：“鱼戏莲叶东”是随机事件，不符合要求； B选项：“黄河入海流”是必然事件，不符合要求； C选项：“大漠孤烟直”是随机事件，不符合要求； D选项：“手可摘星辰”不可能实现，是一定不发生的不可能事件，符合要求． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 4. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（ ） A. 白球 B. 红球 C. 黄球 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项． 【详解】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球， ∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率， 由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率， 5. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质与判定．菱形的对角线互相垂直，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，矩形的对角线相等，这些均正确．但有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，据此选出不正确的选项． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，∴A正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴B正确； ∵矩形的对角线相等，∴C正确； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴D不正确， 故选：D． 6. 某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 720名学生是总体 B. 720是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．总体是720名八年级学生的睡眠时间，不是720名学生，故A选项错误； B．样本容量是样本中包含的个体数目，为100，不是720，故B选项错误； C．样本是抽取的100名学生的睡眠时间，不是16个班级，故C选项错误； D．每名八年级学生的睡眠时间是个体，符合定义，故D选项正确． 7. 如图，在等腰梯形中，，梯形的周长是，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，为等边三角形，根据周长公式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴， ∴梯形的周长为， ∴． 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵E是的中点，， ∴ . 二、细心填一填：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 小明在水果店购买草莓，为了解草莓的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于___（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】普查是对所有调查对象进行调查，抽样调查是从全部调查对象中抽取部分对象进行调查，根据定义即可做出判断 【详解】解：本题中，为了解草莓的口味，仅从全部草莓中抽取一颗进行品尝，属于抽取部分对象进行调查，因此这种了解方式属于抽样调查． 10. 把多项式分解因式，应提取的公因式是___． 【答案】 【解析】 【分析】公因式确定规则为：先确定各项系数的最大公因数，再确定各项共有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，三者乘积即为公因式． 【详解】解：多项式中，系数和的最大公因数为，两项都含有的相同字母为，的最低次幂为， 因此公因式为． 11. 在中，与的度数之比为，则的度数是___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行线的性质及求出与的度数，再根据平行四边形对角相等可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ，， ． 故答案为：． 12. 在一个样本中，将100个数据分成4组，其中第一组的频数是20，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___． 【答案】10 【解析】 【分析】根据已知条件先求出第一组的频率，再计算得到第二组的频率，最后根据频数等于数据总数乘频率求出第二组的频数即可． 【详解】解：各组频率之和为，数据总数为，第一组的频数为， 第一组的频率为 ， 第三组与第四组的频率之和是， 第二组的频率为 ， 第二组的频数为． 13. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 14. 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，，，根据勾股定理得到，最后根据等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一个正整数x能写成（a，b均为正整数），则称x为“启智数”，a，b为x的一个启智分解，并规定： ．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是2376的一个启智分解，则的值为___． 【答案】18或36 【解析】 【分析】设两位正整数的十位数字为，个位数字为，满足，写出原数与交换后新数的表达式，根据启智数的定义列出等式，利用平方差公式化简，结合的取值范围筛选出符合条件的解，再根据的定义计算结果即可． 【详解】解：设这个两位正整数的十位数字为，个位数字为，满足，且，，为正整数， 则原数为，交换个位与十位后的新数为， 由题意得， 利用平方差公式展开得：， 整理得 ， 即 ， 由为正整数，可得与同为正整数，且同奇偶，， 当 时，解得，不是整数，不符合题意； 当 时，解得，符合题意， 此时，， ； 当 时，解得，不是整数，不符合题意； 当 时，解得，符合题意， 此时，， ， 综上， 的值为18或36． 三、耐心解一解：（本大题共10小题，共72分） 17. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 【答案】；36 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 19. 在菱形中，两条对角线相交于点O，F是边的中点，连接并延长到E，使，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知，得到四边形是平行四边形，由菱形的性质得到，即可证得四边形是矩形. 【详解】证明：∵F是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解决问题的关键． 20. 中华文明，源远流长，文学领域更是璀璨生辉，诞生了家喻户晓的四大名著．某中学为了了解学生对四大名著的喜欢情况，随机抽取了全校若干名学生，调查他们最喜欢哪一部名著，并将调查结果整理成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查抽取了______名学生；红楼梦所在的扇形的圆心角度数为______． （2）将条形统计图补画完整． （3）若该校共有1600名学生，试估计该校最喜欢西游记的人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）最喜欢西游记的人数约有名． 【解析】 【分析】（1）利用最喜欢“三国演义”的人数及百分比即可求出调查总人数，用最喜欢“红楼梦”的百分比乘以即可得到扇形统计图中“红楼梦”所在扇形的圆心角； （2）根据（1）中求出的1部的人数补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取了名学生， 扇形统计图中“红楼梦”所在扇形的圆心角为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得，最喜欢“水浒传”的人数为（名）， 将条形统计图补充如下： 【小问3详解】 解：（名）， ∴最喜欢西游记的人数约有名． 21. 实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 （1）数据整理：表中 ， ； （2）统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1） （3）实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 【答案】（1）0.604；484 （2）0.6 （3）30 【解析】 【分析】（1）根据频率进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可. 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：由表格可知，若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为； 【小问3详解】 解：（个）； 答：估算盒子内白球的数量有30个. 22. 如图，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若， ，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，点G、F分别为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形为平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出 ，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，平行四边形的性质，结合勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴ ，， ∵， ∴， ∴ . 23. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】（1）（a+2b）（2a+b）；（2）15平方厘米 【解析】 【分析】（1）根据图形观察可得因式分解结果． （2）整个图形面积减阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）观察图形，可得：2a2+5ab+2b2 =（a+2b）（2a+b）． 故答案为：（a+2b）（2a+b）． （2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米． ∴2a2+2b2=20，2（a+2b+2a+b）=24． ∴a2+b2=10，a+b=4． ∵（a+b）2=a2+b2+2ab． ∴16=10+2ab． ∴ab=3． 2a2+5ab+2b2=2×10+5×3=35（平方厘米）． 空白部分面积为：35-20=15（平方厘米）． 【点睛】本题考查因式分解的应用，仔细观察图形，找到面积关系是求解本题的关键． 24. 如图，在四边形中，，．在边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．做法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接．则四边形即为菱形． （1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）如图所示，菱形即为所求作； （2）cm 【解析】 【分析】（1）按照题干给定的作法和尺规作中垂线的方法作图即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解，再根据菱形的周长为边长的4倍，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴四边形的周长. 25. 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）请类比例1的方法补全下列因式分解过程： （2）上述材料中例2括号中应填入_______________________； （3）请类比例2的方法分解因式： 【答案】（1）；；；；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照例1方法进行作答即可； （2）利用提公因式法进行因式分解后，作答即可； （3）仿照例2的方法进行因式分解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式. 26. 【实践探究】下面是小明同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点， ，且，则点P就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例题：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点， ，则点P是一个“准等距点”．下面是我的证明过程： 证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 因为点P在上，所以 又因为 ，所以点P是一个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… （1）任务1．如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）任务2．已知一个四边形，对角线于点E，且，，四边形的面积为36．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． （3）任务3．如图4，在四边形中，P是上的点， ，延长交于点E，延长交于点F，且 ．试说明点P是四边形的准等距点． （4）任务4．试研究以下四边形的“准等距点”个数的情况． ①若对角线垂直但互相不平分，则“准等距点”的个数为 个； ②若对角线互相平分但不垂直，则“准等距点”的个数为 个； ③若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则“准等距点”的个数为 个； ④若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个； ⑤若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个． 【答案】（1）解：如图，所作点即为四边形的一个“准等距点”； （2）4 （3）证明：连接， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵ ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴点P是四边形的准等距点． （4）①0；②0；③无数；④1；⑤2 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，所作点即为四边形的一个“准等距点”； （2）根据四边形对角线互相垂直推出，再结合“准等距点”定义推出垂直平分，进而即可求出的长度． （3）先证明，得到，进而得到，再证明，得到即可； （4）根据新定义，逐一进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对角线于点E，且 ，四边形的面积为36， ∴ ， 即 ， ， 四边形存在“准等距点”， 垂直平分， ． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由新定义可知，点为四边形其中一条对角线的垂直平分线与另一条对角线的交点，且该交点不是另一条对角线的中点； ①若对角线垂直但互相不平分，则其中一条对角线的中垂线与另一条对角线平行，不存在交点，即不存在准等距点”，故“准等距点”的个数为0个； ②若对角线互相平分但不垂直，则其中一条对角线的中垂线与另一条对角线的交点即为两条对角线的交点，此时，该点到两条对角线的两个端点的距离均相等，故不存在准等距点”，“准等距点”的个数为0个； ③若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则其中一条对角线是另一条对角线的中垂线，则该对角线上的点到另一条对角线的两个端点的距离相等，且存在无数个点到这条对角线上的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为无数个； ④若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则这个中点到两条对角线的两个端点的距离均相等，故该条对角线上不存在“准等距点”，另一条对角线上存在1个点，到另一条对角线的两个端点的距离相等，且到该对角线的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为1个； ⑤若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则每条对角线上都存在1个点，到另一条对角线的两个端点的距离相等，且到该对角线的两个端点的距离不相等，故“准等距点”的个数为2个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市亭湖区2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 考试时间：100分钟 卷面总分：120分 一、精心选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 目前新能源汽车逐步成为汽车产业升级的重要力量．以下新能源汽车图标既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列古诗描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 鱼戏莲叶东 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 手可摘星辰 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（ ） A. 白球 B. 红球 C. 黄球 D. 不确定 5. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 6. 某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 720名学生是总体 B. 720是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 7. 如图，在等腰梯形中，，梯形的周长是，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 二、细心填一填：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 小明在水果店购买草莓，为了解草莓的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于___（填“普查”或“抽样调查”）． 10. 把多项式分解因式，应提取的公因式是___． 11. 在中，与的度数之比为，则的度数是___________． 12. 在一个样本中，将100个数据分成4组，其中第一组的频数是20，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___． 13. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 14. 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 16. 一个正整数x能写成（a，b均为正整数），则称x为“启智数”，a，b为x的一个启智分解，并规定： ．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是2376的一个启智分解，则的值为___． 三、耐心解一解：（本大题共10小题，共72分） 17. 分解因式： （1）； （2） 18. 先分解因式，再计算求值．已知，求的值． 19. 在菱形中，两条对角线相交于点O，F是边的中点，连接并延长到E，使，连接，求证：四边形是矩形． 20. 中华文明，源远流长，文学领域更是璀璨生辉，诞生了家喻户晓的四大名著．某中学为了了解学生对四大名著的喜欢情况，随机抽取了全校若干名学生，调查他们最喜欢哪一部名著，并将调查结果整理成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查抽取了______名学生；红楼梦所在的扇形的圆心角度数为______． （2）将条形统计图补画完整． （3）若该校共有1600名学生，试估计该校最喜欢西游记的人数． 21. 实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 （1）数据整理：表中 ， ； （2）统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1） （3）实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 22. 如图，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若， ，求线段的长度． 23. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积． 24. 如图，在四边形中，，．在边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．做法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接．则四边形即为菱形． （1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求四边形的周长． 25. 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）请类比例1的方法补全下列因式分解过程： （2）上述材料中例2括号中应填入_______________________； （3）请类比例2的方法分解因式： 26. 【实践探究】下面是小明同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点， ，且，则点P就是一个“准等距点”． 根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例题：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点， ，则点P是一个“准等距点”．下面是我的证明过程： 证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 因为点P在上，所以 又因为 ，所以点P是一个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… （1）任务1．如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）任务2．已知一个四边形，对角线于点E，且，，四边形的面积为36．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． （3）任务3．如图4，在四边形中，P是上的点， ，延长交于点E，延长交于点F，且 ．试说明点P是四边形的准等距点． （4）任务4．试研究以下四边形的“准等距点”个数的情况． ①若对角线垂直但互相不平分，则“准等距点”的个数为 个； ②若对角线互相平分但不垂直，则“准等距点”的个数为 个； ③若对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，则“准等距点”的个数为 个； ④若对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个； ⑤若对角线既不垂直，又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点，则“准等距点”的个数为 个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $