精品解析：江苏省盐城市亭湖区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试卷

2025年春学期期中学业质量检测八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 瓜熟蒂落 3. 分式，，，中最简分式的个数为(　　)． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 为了了解亭湖区八年级7000名学生的期中数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计，以下说法：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如果把分式中的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　） A. 不变 B. 扩大50倍 C. 扩大10倍 D. 缩小为原来的 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF=65°，则∠DHF的度数为（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 8. 若分式的值为零，那么x的值为 _____． 9. 在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 10. 分式与的最简公分母是_____． 11. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 13. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 14. 如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_____度． 15. 如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______． 三、解答题（本题共10小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 18. 如图，在四边形中，对角线交于点．求证：四边形是平行四边形． 19. 中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企．2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了___________人；表中___________，___________； （2）请补全条形统计图： （3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 20. 某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 （1）表中______，______； （2）随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； （3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 21. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM． 求证： （1）是等腰三角形； （2）． 22. 如图，在四边形中，，．尺规作图： （1）如图1，求作菱形，点M落在直线上，点N落在直线上． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 23. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 24. 【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，，即① ，故的值为． （1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______； 第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示） 【模仿应用】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值； 【举一反三】 （3）已知，，，求的值． 25. 【链接教材】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 则下列结论正确的是________（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_______． ②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期中学业质量检测八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 瓜熟蒂落 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】A、旭日东升，是必然事件，故A不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，故C符合题意； D、瓜熟蒂落，是必然事件，故D不符合题意； 故选：C． 3. 分式，，，中最简分式的个数为(　　)． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； =； =； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式. 故选B. 【点睛】本题考查了最简分式的定义的应用．分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 4. 为了了解亭湖区八年级7000名学生的期中数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计，以下说法：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①这7000名学生的期中数学成绩的全体是总体，故①正确； ②每个考生的期中数学成绩是个体，故②不正确； ③1000名考生的期中数学成绩是总体的一个样本，故③不正确； ④样本容量是1000，故④正确， 所以，上列说法，其中说法正确的有2个． 故选：B． 5. 如果把分式中的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　） A. 不变 B. 扩大50倍 C. 扩大10倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】将x与y都扩大10倍，代入分式，化简即可． 【详解】解：将x与y都扩大10倍，代入分式可得： ，分式的值不变 故选：A 【点睛】此题考查了分式的有关性质，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定方法逐一判断即可得出答案．此题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形正方形的判定和性质是解题的关键。 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，故本选项正确； C、矩形的对角线互相平分且相等，故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误． 故选：D 7. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF=65°，则∠DHF的度数为（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】连结DF，根据点D、E、F分别为各边的中点，可得DE，EF为△ABC的中位线，可确定DE∥AC，EF∥AB，利用平行线性质可得∠DAF=∠EFC=∠DEF=65°，由AH⊥BC，点D为AB中点，点F为AC中点，根据直角三角形斜边中线性质可得DH=AD=BD，FH=AF=CF，可证在△ADF和△HDF中，△ADF≌△HDF（SSS）即可． 【详解】解：连结DF， ∵点D、E、F分别为各边的中点， ∴DE，EF为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，EF∥AB， ∴∠DAF=∠EFC=∠DEF=65°， ∵AH⊥BC，点D为AB中点，点F为AC中点， ∴DH=AD=BD，FH=AF=CF， 在△ADF和△HDF中， ， ∴△ADF≌△HDF（SSS）， ∴∠DAF=∠DHF=65°． 故选择C． 【点睛】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 8. 若分式的值为零，那么x的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴x﹣2＝0且2x﹣3≠0， 解得：x＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题关键． 9. 在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 10. 分式与的最简公分母是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 据此即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 11. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____． 【答案】至少有两个内角是钝角 【解析】 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角， 故答案为至少有两个内角是钝角． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的定义，得出是解题的关键．根据所给旋转方式可得出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：因为将绕点A顺时针旋转得到， 所以． 又因为， 所以． 故答案为：40． 13. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，根据题意可得，，由菱形的性质可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点D在y轴的正半轴上， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°， ∵GD＝GD， ∴△ADG≌△CDG， ∴∠AGD＝∠CGD， ∵∠CGD＝∠EGB， ∴∠AGD＝∠EGB， ∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝60°， ∴BE＝BC，∠EBC＝150°， ∴∠BEC＝∠ECB＝15°， ∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°， ∴∠AGD＝60° 故答案为60． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及正方形的性质的运用． 15. 如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE＝， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算和分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法运算法则计算即可； （2）根据分式的乘法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵a≠0且a≠±2，a≠-1， ∴a=1， 则原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 如图，在四边形中，对角线交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的性质与判定，首先证得，得到，再根据平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】略 19. 中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企．2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了___________人；表中___________，___________； （2）请补全条形统计图： （3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 【答案】（1）50，30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）3600人 【解析】 【分析】本题主要考条形统计图、扇形统计图、用样本估计整体等知识点，理解题意、从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则； ，则． 故答案为：50，30，6． 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 20. 某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 （1）表中______，______； （2）随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； （3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】（1），50 （2） （3）这片鱼塘的价值大约是80000元． 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：，50； 【小问2详解】 解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 21. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM． 求证： （1）是等腰三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：M、F分别是BC、CD的中点， 是的中位线， ， 同理：， ， ， 是等腰三角形． （2） 证明：由（1）知， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质证明即可； （2）由推出，得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，．尺规作图： （1）如图1，求作菱形，点M落在直线上，点N落在直线上． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， （1）连接，再作的垂直平分线，交于点M，交于点N，则四边形是所求作的菱形；先说明，可得是平行四边形，再证明是菱形即可； （2）根据菱形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理得，可求出，最后根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． 根据勾股定理，得． 23. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质，定理是解题的关键： （1）根据菱形的性质，得到，，进而得到，得到四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴． 24. 【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，，即① ，故的值为． （1）第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：_______； 第②步运用了乘法公式：________；（法则，公式都用式子表示） 【模仿应用】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，求的值； 【举一反三】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． （1）根据分式加法的逆运算法则，完全平方公式的变形进行解答； （2）仿照例题计算即可； （3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答． 【详解】（1）解：第①步由得到逆用了同分母分式加法运算的法则：； 第②步运用了乘法公式：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 【链接教材】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 则下列结论正确的是________（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为_______． ②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为________． 【答案】（1）①②③④ （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）①2025；②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）①根据正方形的性质，结合三角形全等的判定与性质，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和． ②仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 连接， ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）略 （3）①解：作于，于，连接，如图所示： ∴四边形为矩形， ∵正方形中心为， ∴平分， ∴， ∴四边形为正方形， ， ， 在△和△中， ， △△， 正方形的边长均为， 四边形的面积四边形的面积， 同理可知，各个重合部分的面积都是1， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 故答案为：2025； ②解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $