江苏宿迁市崇文初级中学2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

**基本信息** 崇文初级中学八年级期中数学试卷以新能源汽车、航天科技等时代情境为载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查几何图形性质、因式分解、统计概率等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|调查方式、频率计算、中点四边形、因式分解等|结合神舟二十一号零部件质量调查等真实情境，考查概念辨析与几何直观| |填空题|10题30分|因式分解应用、事件分类、正方形性质、平行四边形计算等|注重知识迁移，如菱形面积与动点结合，考查空间观念| |解答题|10题96分|统计图表分析、平行四边形证明、新定义探究等|设置“邻等对补四边形”新定义题，结合几何推理与创新思维，体现数学语言表达能力|

崇文初级中学八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1．（3分）下列调查方式，你认为最合适的是（　　） A．企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B．调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D．调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 2．（3分）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 3．（3分）顺次连结菱形各边中点所得四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．（3分）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 5．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD＝8，OE＝3，则线段OD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 7．（3分）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 8．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列4个结论： ①EH＝AB； ②∠ABG＝∠HEC； ③△ABG≌△HEC； ④CF＝AC． 正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2b+ab2的值为　 　 ． 10．（3分）下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． 属于不确定事件的　 　 （填序号）． 11．（3分）若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　 ． 12．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C与正方形DNGH的边NG均在直线l上，BM⊥l于点M，若CM＝2，则正方形DNGH的周长为　 　 ． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2），若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为　 　 ． 14．（3分）在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是　 　 ． 15．（3分）如图，点E在▱ABCD的边BC上，BE＝CD．若∠EAC＝20°，∠B+∠D＝140°，则∠ACB的度数为　 　 ． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　 　 ． 17．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，点P是EF的中点，连接OP，若BC＝4，CD＝2，则OP的长为　 　 ． 三、解答题（共10小题，满分96分.将解题过程写在答题纸相应的位置上） 19．（8分）分解因式： （1）3x2﹣27； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2025年中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了　 　 人；表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有2000人，请你估计喜欢混动汽车的有多少人？ 21．（8分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.59 0.591 0.594 0.592 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　 　 （精确到0.01）； （2）盒子里约有白球　 　 个； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你求出x可能是多少？ 22．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上如图所示． （1）若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点B的对应点B'坐标为　 　 ． （2）若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 23．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD边于点E，AF是BC边上的高，垂足为F，交BE于点G．已知∠ABE＝30°． （1）求∠AGE的度数． （2）若BF＝3，FC＝5，求DE的长度． 24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若BC＝4，菱形ADCE的面积为6，求AC的长． 25．（10分）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点D； （2）在图2中边AC上找一点P，使∠ABP＝45°． 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G． （1）当CF长最小时，求DE的长． （2）若点G是BC中点，求DE的长． 27．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动． （1）点P、Q在运动过程中，四边形ABPQ　 　 成矩形（填能或不能）． （2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值？ （3）当△DPQ是直角三角形时，求出t的值？直接写出答案． 28．（12分）新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　 （填序号）； 【问题探究】 （2）如图2，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，连结AC，求证：AC平分∠BCD； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，求∠AMN的度数． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1．（3分）下列调查方式，你认为最合适的是（　　） A．企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B．调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D．调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【解答】解：A、企业招聘，对应聘人员进行面试，采用全面调查，故本选项调查方式不合适，不符合题意； B、调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用抽样调查，故本选项调查方式不合适，不符合题意； C、调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用全面调查，故本选项调查方式不合适，不符合题意； D、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，调查方式合适，符合题意； 故选：D． 2．（3分）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【分析】根据总人数为50人，求出样本中70.5～80.5这一分数段的频数，根据频率＝频数除以总数即可求解． 【解答】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20， 则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：0.4． 故选：D． 3．（3分）顺次连结菱形各边中点所得四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【分析】根据三角形中位线定理得到EH∥BD，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，进而证明四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明结论． 【解答】解：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴EH∥BD， 同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD， ∴EH∥FG，EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵EH∥BD， ∴AC⊥EH， ∵EF∥AC， ∴EF⊥EH， ∴平行四边形EFGH是矩形， 故选：B． 4．（3分）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A．2x2﹣4＝2（x2﹣2） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2 C．x2﹣3x+4＝x（x﹣3）+4 D．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） 【分析】根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A：右边为2（x2﹣2），未分解彻底，不符合题意； B：右边为x2+2xy+y2，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； C：右边为x（x﹣3）+4，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D：右边为xy（x﹣y），是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； 故选：D． 5．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），k从2，﹣3中随机取一个值，b从1，﹣2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该一次函数的图象经过第一、三、四象限的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该一次函数的图象经过第一、三、四象限的结果有1种，即k＝2，b＝﹣2， ∴该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为， 故选：C． 6．（3分）点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD＝8，OE＝3，则线段OD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到AB的长，然后根据勾股定理可以得到AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到OD的长，本题得以解决． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝8，OE＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点， ∴BC＝AD＝8，AB＝2OE＝6，∠B＝90°， ∴AC10， ∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°， ∴ODAC＝5， 故选：A． 7．（3分）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2， 由图可知，大长方形的长为（a+2b），宽为（a+b）， ∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b）， ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确． 故选：B． 8．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列4个结论： ①EH＝AB； ②∠ABG＝∠HEC； ③△ABG≌△HEC； ④CF＝AC． 正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出∠ECH＝∠BAO，结合三角形外角的性质，得出∠F＝∠HAC，再结合等角对等边，可判断④结论． 【解答】解：∵H为BC中点， ∴EHBC＝BH＝CH， ∵BC＝2AB， ∴EH＝AB，①结论正确； ∵EH＝BH， ∴∠EBH＝∠BEH， ∵∠BEC＝∠HEC+∠BEH＝90°，∠ABC＝∠ABG+∠EBH＝90°， ∴∠ABG＝∠HEC，②结论正确； 连接DH， ∵∠ABH＝90°，ABBC＝BH， ∴∠BAH＝∠AHB＝45°， 同理可得，∠DHC＝45°， ∴∠EHC＞∠DHC，即∠EHC＞45°， ∴∠EHC＞∠BAG， ∴△ABG≌△HEC不能得出，③结论错误； ∵CH＝EH， ∴∠HEC＝∠HCE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，AC＝BD，AB∥CD， ∴∠ABG＝∠CDE，∠BAO＝∠ABG， 由②可知，∠ABG＝∠HEC， ∴∠ECH＝∠HEC＝∠ABG＝∠CDE＝∠BAO， ∵∠CHF＝∠AHB＝45°， ∴∠ECH＝∠CHF+∠F＝45°+∠F， ∵∠BAO＝∠BAH+∠HAC＝45°+∠HAC， ∴∠F＝∠HAC， ∴AC＝CF，④结论正确， 综上，正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则a2b+ab2的值为　15　 ． 【分析】先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 【解答】解：原式＝ab（a+b）＝3×5＝15． 故答案为：15． 10．（3分）下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． 属于不确定事件的　②③④　 （填序号）． 【分析】不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【解答】解：①太阳从西边升起，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； ②任意摸一张体育彩票会中奖，③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下，④小明长大后成为一名宇航员，可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意． 故答案为：②③④． 11．（3分）若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　6或﹣6　 ． 【分析】根据完全平方公式可得关于k的等式，求解即可得到k的值． 【解答】解：由题意得，x2+kx+9是完全平方式， ∵（a±b）2＝a2±2ab+b2是完全平方式， ∴a＝x，b2＝9，即b＝±3， ∴kx＝±2•x•3＝±6x， 解得k＝6或k＝﹣6． 故答案为：6或﹣6． 12．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C与正方形DNGH的边NG均在直线l上，BM⊥l于点M，若CM＝2，则正方形DNGH的周长为　8　 ． 【分析】根据正方形性质得CD＝BC，∠BCD＝90°，正方形DNGH的周长为4×DN，∠DNG＝90°，由此得∠CND＝90°，再根据BM⊥l于点M得∠BMC＝90°，进而得∠CND＝∠BMC＝90°，证明∠NDC＝∠MCB，则可依据“AAS”判定△NDC和△MCB全等得DN＝CM＝2，据此即可得出正方形DNGH的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC，∠BCD＝90°， ∵四边形DNGH是正方形， ∴正方形DNGH的周长为：4×DN，∠DNG＝90°， ∵点C与NG均在直线l上， ∴∠CND＝180°﹣∠DNG＝90°， ∴△NCG是直角三角形， ∵BM⊥l于点M， ∴∠BMC＝90°， ∴∠CND＝∠BMC＝90°， 在Rt△NCG中，∠NCD+∠NDC＝90°， 又∵∠NCD+∠MCB＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠NDC＝∠MCB， 在△NDC和△MCB中， ∠CND＝∠BMC＝90°，∠NDC＝∠MCB，CD＝BC， ∴△NDC≌△MCB（AAS）， ∴DN＝CM， ∵CM＝2， ∴DN＝CM＝2， ∴正方形DNGH的周长为：4×DN＝8． 故答案为：8． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2），若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为　（﹣3，5）　 ． 【分析】依题意得AB＝BC＝CD＝AD＝5，根据点B（0，﹣2）得OA＝3，由旋转的性质得OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5，由此即可得出点D'的坐标． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为5， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵点B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∴OA＝AB﹣OB＝3， 由旋转的性质得：OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5， ∴点D'的坐标为（﹣3，5）． 故答案为：（﹣3，5）． 14．（3分）在△ABC中，它的三边长分别为a、b、c，若a、b、c满足等式：ac+2ab﹣bc＝a2+b2，则△ABC的形状一定是　等腰三角形　 ． 【分析】先把等式两边的项移到一起，整理成一边为零的形式；对整理后的式子进行因式分解，得到两个因式相乘等于零的形式；根据三角形边长的性质（两边之和大于第三边），排除其中一个因式为零的可能；得出剩下的因式为零，即两条边相等，判断三角形形状． 【解答】解：因为ac+2ab﹣bc＝a2+b2， 所以ac﹣bc＝a2+b2﹣2ab， 即c（a﹣b）＝（a﹣b）2， 即c（a﹣b）﹣（a﹣b）2，＝0， 所以（a﹣b）（c﹣a+b）＝0， 因为△ABC的三边长分别为a、b、c， 所以c﹣a+b＞0， 所以a﹣b＝0， 即a＝b， 所以△ABC的形状一定是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 15．（3分）如图，点E在▱ABCD的边BC上，BE＝CD．若∠EAC＝20°，∠B+∠D＝140°，则∠ACB的度数为　35°　 ． 【分析】先由平行四边形性质得∠B＝∠D，求出∠B，再由BE＝CD与AB＝CD得AB＝BE，推出△ABE等腰，求∠BAE，计算∠BAC，最后由AB∥CD得∠ACD＝∠BAC，进而解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D＝140°， ∴∠B＝∠D＝70°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵BE＝CD， ∴AB＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵∠BAE+∠BEA+∠B＝180°，2∠BAE+70°＝180°，2∠BAE＝110°， ∴∠BAE＝55°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝55°+20°＝75°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝75°， ∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝180°﹣∠B﹣∠ACD＝180°﹣70°﹣75°＝35°， 故答案为：35°． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　5　 ． 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE+CF﹣EF＝5，即可得解． 【解答】解：▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3， ∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA， ∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC， ∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF， ∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB， ∴AD＝DE，BC＝FC， ∴DE＝CF＝AD＝3， ∴CD＝DE+CF﹣EF＝3+3﹣1＝5， ∴AB＝5． 故答案为：5． 17．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　10　 ． 【分析】连接BD，因为E是AB的中点，所以S△AEDS△ABDS菱形ABCD＝6，S△BEC＝S△AED＝6，根据S△BEF＝4，可得FCBC，故S△DFCS△BCD＝4，故S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 【解答】解：连接BD， ∵E是AB的中点， ∴S△AEDS△ABDS菱形ABCD＝6， 连接EC， 同理可得S△BEC＝S△AED＝6， ∵S△BEF＝4， ∴S△BEFS△BEC， ∴FCBC， ∴S△DFCS△BCDS菱形ABCD＝4， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 故答案为：10． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，点P是EF的中点，连接OP，若BC＝4，CD＝2，则OP的长为　　 ． 【分析】连接BE，取BE的中点G，连接OG、OE，由CE平分∠BCD结合矩形的性质可得DE＝AE＝2，根据三角形的中位线定理可得OEAB＝1，OE∥AB，同理可得：OGDE＝1，OG∥DE，易得OG＝OE，∠OGB＝∠OEP＝135°，BG＝PE，于是可证得△OBG≌△OPE（SAS），则OP＝OB，进而即可求解． 【解答】解：连接BE，取BE的中点G，连接OG、OE， 由条件可知∠BCD＝90°＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，BD， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°＝∠DEC， ∴DE＝DC＝2， ∴AE＝AD﹣DE＝2＝DE， 由条件可知OEAB＝1，OE∥AB， 同理可得：OGDE＝1，OG∥DE， ∴OG＝OE，OE⊥OG， ∴∠OGE＝∠OEG＝45°， ∴∠OGB＝∠OEP＝135°， 同理可得：∠AEB＝∠ABE＝45°，而∠AEF＝∠DEC＝45°， ∴∠FEB＝90°，∠BFE＝45°＝∠ABE， ∴EF＝EB，而P为EF中点，G为BE中点， ∴BG＝PE， ∴△OBG≌△OPE（SAS）， ∴OP＝OB， ∴OP， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，满分96分.将解题过程写在答题纸相应的位置上） 19．（8分）分解因式： （1）3x2﹣27； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）3x2﹣27 ＝3（x2﹣9） ＝3（x+3）（x﹣3）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． 20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2025年中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了　50　 人；表中a＝　30　 ，b＝　6　 ； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有2000人，请你估计喜欢混动汽车的有多少人？ 【分析】（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用总人数乘以样本中喜欢混动汽车所占的百分比即可求解． 【解答】解：（1）本次调查活动随机抽取人数为5÷10%＝50（人）， b%＝3÷50×100%＝6%，则b＝6， a%＝1﹣54%﹣6%﹣10%＝30%，则a＝30， 故答案为：50；30，6； （2）∵n＝50×30%＝15， ∴补全条形统计图如图所示： （3）估计喜欢混动汽车的有：2000×30%＝600（人）． 答：估计喜欢混动汽车的有600人． 21．（8分）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.59 0.591 0.594 0.592 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　0.60　 （精确到0.01）； （2）盒子里约有白球　24　 个； （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你求出x可能是多少？ 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得． （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 【解答】解：（1）由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， ∴摸到白球的概率约为0.60． 故答案为：0.60； （2）∵盒子中共有40个球，摸到白球的概率约为0.6， ∴盒子里约有白球40×0.6＝24（个）． 故答案为：24； （3）∵加入x个球后，总球数变为40+x，白球个数变为24+2＝26，且摸到白球的概率为50%， 故可列方程得26＝50%（40+x）， 整理得40+x＝52， 解得x＝12， 答：推测x可能是12． 22．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上如图所示． （1）若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点B的对应点B'坐标为　（﹣1，4）　 ． （2）若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标，进而求出即可； （2）利用平行四边形的性质得出D点坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求， ∴B'（﹣1，4）， 故答案为：（﹣1，4）； （2）如图所示： ∴符合题意的点D的坐标有（﹣1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5）． 23．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD边于点E，AF是BC边上的高，垂足为F，交BE于点G．已知∠ABE＝30°． （1）求∠AGE的度数． （2）若BF＝3，FC＝5，求DE的长度． 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得AB＝2BF＝6，再利用平行四边形的性质推出∠AEB＝∠CBE＝30°＝∠ABE，求得AE＝AB＝6，AD＝BC＝8，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC， ∴∠FBG＝∠ABE＝30°， ∵AF是BC边上的高， ∴∠BGF＝90°﹣∠FBG＝60°， ∴∠AGE＝∠BGF＝60°； （2）∵∠FBG＝∠ABE＝30°， ∴∠ABF＝60°， ∵AF是BC边上的高， ∴∠BAF＝30°， ∵BF＝3， ∴AB＝2BF＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝BF+CF＝3+5＝8，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝30°＝∠ABE， ∴AE＝AB＝6， ∴DE＝AD﹣AE＝2． 24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若BC＝4，菱形ADCE的面积为6，求AC的长． 【分析】（1）由F是CD的中点，得CF＝DF，由CE∥AB，得∠CEF＝∠DBF，而∠CFE＝∠DFB，即可根据“AAS”证明△CEF≌△DBF；由全等三角形的性质得CE＝DB，由∠ACB＝90°，D是AB的中点，得CD＝DB＝ADAB，则CE＝AD，可证明四边形ADCE是平行四边形，而CD＝AD，则四边形ADCE是菱形； （2）连接DE，则DE⊥AC，因为BC⊥AC，所以DE∥BC，因为CE∥DB，所以四边形BCED是平行四边形，则DE＝BC＝4，由S菱形ADCE4AC＝6，求得AC＝3， 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E． ∴∠CEF＝∠DBF，∠ECF＝∠BDF． ∵点F是CD的中点， ∴CF＝DF， 在△CEF和△DBF中， ， ∴△CEF≌△DBF（AAS）， ∴CE＝BD． 在Rt△ABC中，点D是AB的中点， ∴CDAB＝AD＝BD， ∴CE＝BD＝AD． ∵CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵CD＝AD， ∴四边形ADCE是菱形； （2）解：连接DE， ∵四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE． ∵AC⊥BC， ∴BC∥DE． ∵CE∥BD， ∴四边形BDEC是平行四边形， ∴DE＝BC＝2． ∵菱形ADCE的面积为6， ∴S菱形ADCE4AC＝6， ∴AC＝3． 25．（10分）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点D； （2）在图2中边AC上找一点P，使∠ABP＝45°． 【分析】（1）取格点J，K，连接JK交BC于点D，点D即为所求； （2）构造等腰直角三角形BAT（AB＝AT，∠BAT＝90°），BT交AC于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求； （2）如图2中，点P即为所求． 26．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G． （1）当CF长最小时，求DE的长． （2）若点G是BC中点，求DE的长． 【分析】（1）连接AC交EG于点H，连接CF，先由勾股定理求出AC，由对折性质得FE＝DE，AF＝AD＝4，∠AFE＝∠D＝90°，由“两点之间线段最短”得CF≥AC﹣AF，由此得点F与点H重合时，CF为最小，此时CH＝CF，HE＝DE，∠AHE＝∠AFE＝90°，证明△CHE是等腰直角三角形得HE＝CH，据此可得DE的长； （2）当点G是BC中点时，连接AG，依题意得BG＝CG＝2，设DE＝a，则CE＝4﹣a，由对折性质得FE＝DE＝a，AF＝AD＝4，∠AFE＝∠D＝90°，证明Rt△ABG和Rt△AFG全等得BG＝FG＝2，则EG＝a+2，然后在Rt△CEG中，由勾股定理得a，据此可得DE的长． 【解答】解：（1）连接AC交EG于点H，连接CF，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠D＝∠B＝∠C＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACD是直角三角形， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC， ∵将△ADE沿AE对折至△AEF， ∴FE＝DE，AF＝AD＝4，∠AFE＝∠D＝90°， 根据“两点之间线段最短”得：CF+AF≥AC， ∴CF≥AC﹣AF， ∴当点F在AC上时，CF为最小，最小值为， 即点F与点H重合时，CF为最小， 此时CH＝CF，HE＝DE，∠AHE＝∠AFE＝90°， 即AC⊥EG， ∴∠CHE＝90°， 在△ECH中，∠CHE＝90°，∠ACE＝45°， ∴△CHE是等腰直角三角形， ∴HE＝CH， ∴HE＝DE， 即DE的长为； （2）当点G是BC中点时，连接AG，如图2所示： ∴BG＝CGBC＝2， 设DE＝a，则CE＝CD﹣DE＝4﹣a， ∵将△ADE沿AE对折至△AEF， ∴FE＝DE＝a，AF＝AD＝4，∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝90°，AB＝AF＝4， ∴∠B＝∠AFG＝90°， ∴△ABG和△AFG都是直角三角形， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝FG＝2， ∴EG＝FE+FG＝a+2， 在△CEG中，∠C＝90°， 由勾股定理得：EG2＝CG2+CE2， ∴（a+2）2＝22+（4﹣a）2， 解得：a， ∴DE＝a， 即DE的长为． 27．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动． （1）点P、Q在运动过程中，四边形ABPQ　能　 成矩形（填能或不能）． （2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值？ （3）当△DPQ是直角三角形时，求出t的值？直接写出答案． 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论； （2）分点P未到达点C时，点P到达点C返回时两种情况，用t表示出DQ、PC，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （3）分①当P从B向C运动，∠QDP＝90° 时，②当P从B向C运动，∠PDQ＝90° 时，③当P从C向B运动，∠QDP＝90° 时，④当P从C向B运动，∠PQD＝90° 时，四种情况讨论即可． 【解答】解：（1）能， 当点P到达点C后，从点C向B运动时，四边形ABPQ能成矩形， 设运动时间为ts， ∵四边形ABPQ是矩形， ∴AQ＝BP， ∴t＝10﹣（2t﹣10）， ∴t， 故点P、Q运动s时，四边形ABPQ能成矩形； 故答案为：能； （2）∵点Q的速度为1cm/s，到达点D时，两点同时停止运动． ∴0＜t＜8， 当点P未到达点C时，则0＜t＜5， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有DQ＝PC，则8﹣t＝10﹣2t， 解得t＝2s，满足0＜t＜5； 当点P到达点C返回时，则5＜t＜8， ∴DQ＝8﹣t，PC＝2t﹣10， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有DQ＝PC，则8﹣t＝2t﹣10， 解得t＝6s，满足5＜t＜8； 综上，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值为2或6； （3）如图，当∠DPQ＝90°， 过Q作QM⊥BC于M，DN⊥BC于N， ∴QM2+PM2+DN2+PN2＝DQ2， ∴（8﹣2t）2+62+62+t2＝（8﹣t）2， 整理得，4t2﹣16t+72＝0， ∵Δ＜0， ∴方程无实数根， ∴∠QPD≠90°； ∵AD∥BC，∠B＝90°，如图，过D作DE⊥BC于E， ∴∠A＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝8cm， ∴CE＝BC﹣BE＝2cm， ∴CD2（cm）， ①当P从B向C运动，∠DQP＝90° 时， 则四边形ABPQ是矩形， ∴AQ＝BP， ∴t＝2t（不合题意舍去）， ②当P从B向C运动，∠PDQ＝90° 时，此时P和E重合， ∴BP＝BC﹣CP＝8cm， ∴t4（s）； ③当P从C向B运动，∠PDQ＝90° 时，此时P和E重合， ∴t6（s）； ④当P从C向B运动，∠DQP＝90° 时， t＝10﹣（2t﹣10） ∴t； ∴综上所述，当t为6s或4s或时，△QPD是直角三角形． 28．（12分）新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　①②④　 （填序号）； 【问题探究】 （2）如图2，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB＝AD，连结AC，求证：AC平分∠BCD； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，分别在边BC、AC上取点M、N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，求∠AMN的度数． 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）过A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD，交CD于点F，则∠AEB＝∠AFD＝90°，又四边形ABCD是邻等对补四边形，所以∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，则有∠ABE＝∠ADF，证明△ABE≌△ADF（AAS），所以AE＝AF，从而得点A在∠BCD角平分线上，即有AC平分∠DCB； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出∠ANM＝90°，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下∠AMN的度数，综合可得结果． 【解答】（1）解：根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④； 故答案为：①②④； （2）证明：法1：如图，过A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD，交CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABE＝∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴点A在∠BCD角平分线上， ∴AC平分∠DCB； 法2：如图，四边形ABCD是邻等对补四边形，延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴AC平分∠DCB； （3）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ①当AB＝BM，MN⊥AC时，如图3.1， ∴∠BAM＝45°， ∴∠MAN＝60°﹣45°＝15°， ∵MN⊥AC， ∴∠ANM＝90°， ∴∠AMN＝90°﹣15°＝75°； ②当AN＝AB，MN⊥AC时，如图3.2， ∵MN⊥AC，MB⊥AB， ∴△ABM和△ANM是直角三角形， 在Rt△ABM和Rt△ANM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴BM＝MN，∠BAM＝∠NAM＝30°， ∴∠AMN＝90°﹣30°＝60°； ③当BM＝MN时，如图3.2，同②∠AMN＝60°； ④当AN＝MN，MN⊥AC时，如图3.3， ∴∠AMN＝45°； 综上所述，∠AMN的大小为75°或60°或45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $