第7章 高考热点7 球的接、切问题（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦球的接切问题，分外接球与内切、棱切、叠切两类，精选不同几何体与球的位置关系题，以题载法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体的外接球|9题|涉及正三棱柱、台、锥，四棱台，含折叠、线面垂直的三棱锥及羡除，求表面积或体积|依据几何体结构特征（对称性、棱长、二面角）确定球心与半径，体现空间形式观察与逻辑推理| |几何体的内切球、棱切球和叠切球|5题|多球相切、圆柱内球、正方体棱切球、圆台内双球，求距离、半径或体积|通过空间距离与相切条件建立方程，培养空间观念与运算能力|

高考热点7　球的接、切问题 类型1　几何体的外接球 1.★★(2026届河北地区期中,5)已知一正三棱柱的底面边长为3,其内部有一球与其各面都相切,则该正三棱柱的外接球的表面积为 (　　) A.15π　　　B.45π　　　C.30π　　　D.60π 答案　A　 2.★★★(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　) A.100π　　　B.128π　　　C.144π　　　D.192π 答案　A　 3.★★★(2025届河北承德一中月考,7)已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,则球心到平面ABC的距离为 (　　) A. 答案　C　 4.★★★(2026届黑龙江大庆教学质量监测,8)已知正三棱锥A-BCD的底面边长为6,二面角A-BC-D的余弦值为,则正三棱锥A-BCD外接球的表面积为 (　　) A.π C.π 答案　C　 5.★★(2026届浙江名校协作体联考,13)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为,则该正四棱台外接球的表面积为　　　　.  答案　35π 6.★★★(2026届广东清远一中期中,14)在三棱锥A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为　　　　.  答案　20π 7.★★★(2023全国乙文,16,5分)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=　　　　.  答案　2 8.★★★(2026届湖南永州宁远三中开学考,13)已知△ABC是边长为8的正三角形,D是AC的中点,沿BD将△BCD折起使得二面角A-BD-C为,则三棱锥C-ABD的外接球的表面积为　　　　.  答案　π 9.★★★(2026届河北石家庄一中摸底,13)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,△ADE和△BCF均为等边三角形,且EF=2AB=6,则这个几何体的外接球的体积为　　　　.  答案　36π 类型2　几何体的内切球、棱切球和叠切球 1.★★★(2026届河南安阳调研,7)在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为1 cm的球,4个球两两相切,且其中3个球均与同一块木板相切,则两木板之间的最小距离为 (　　) A. cm C.cm 答案　C　 2.★★★★(2026届江苏连云港期中,8)已知一个红球和三个半径为3的白球,这四个球两两外切,且它们都内切于一个半径为7的黑球,则红球的表面积为 (　　) A.π　　　C.49π　　　D.98π 答案　C　 3.★★★(2025全国二卷,14,5分)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　cm.  答案　2.5 4.★★★(2023全国甲文,16,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是　　　　.  答案　[2,2] 5.★★★★(2026届浙江富阳中学等三校第七次联考,14)如图,装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球,小球与容器底和容器壁均相切,大球与小球、容器壁、水面均相切,此时容器中水的体积为　　　　.  答案　243π 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $