第4章 高考热点5 三角形中的“爪型”模型（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦三角形“爪型”模型，通过角平分线、中线、高线三类特殊线段构建问题体系，以题载法整合正余弦定理、面积公式及向量运算，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线模型|7题（含2023全国甲理真题）|结合面积关系、角平分线定理求比值或最值|以角平分线分线段成比例为核心，关联正余弦定理与基本不等式| |中线模型|3题|利用向量分解或余弦定理求中线长度|通过向量加法推导中线公式，衔接三角形边角关系| |高线模型|3题|涉及高线与边长、面积的综合计算|以勾股定理为基础，融合三角函数与方程思想解决几何问题|

高考热点5　三角形中的“爪型”模型 类型1　“爪型”三角形——角平分线模型 1.★★(2025届湖南长沙周南中学二模,5)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,∠B的平分线交边AC于点D,则的值为 (　　) A. 答案　A　 2.★★(2026届广东八校联盟质量检测,6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2,则b= (　　) A.　　　D.4 答案　B　 3.★★★(多选)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,10)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,B=C+,AB=2,AC=3,D在线段BC上,且满足AD平分∠BAC.则 (　　) A.sin B= C.BC= 答案　ABD　 4.★★★(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=　　　　.  答案　2 5.★★★★(2026届湖北襄阳四中综合测试,14)如图,在△ABC中,∠BAC=,点E,F分别在边AB,AC上,线段AE和AF的长均不超过9,点P在线段EF上,且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是　　　　.  答案　 6.★★★★(2026届福建模拟检测(三),14)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=4,A=,D为边BC上的一点,且AD是∠BAC的平分线,则的最小值为　　　　.  答案　 7.★★★(2026届陕西榆林一模,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求角B的值; (2)若△ABC的面积为,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD长度的最大值. 解析　(1)由正弦定理,及, 得,即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理的推论得cos B=, 又0<B<π,所以B=. (2)因为S△ABC=ac·sin∠ABC=,所以ac=4, 因为BD为∠ABC的平分线,S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以4=(a+c)·BD, 则BD=≤,当且仅当a=c=2时,等号成立, 所以线段BD长度的最大值为. 类型2　“爪型”三角形——中线模型 1.★★★(2025届河北定州中学一模,7)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,ccos(A-B)+2asin Bcos C=-ccos C,则AB边上的中线CD长度的最小值为 (　　) A. 答案　C　 2.★★★(2025届江苏前黄高级中学第一次月考,13)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,若D是BC边的中点,且AD=b,则=　　　　.  答案　 3.★★★(2025届河北沧州二模,15)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+a. (1)求角C的大小; (2)若AB=2,且sin Asin B=,求AB边上中线CT的长. 解析　(1)在△ABC中,由bsin C+a及正弦定理得 sin Bsin C+sin(B+C)=cos B·sin C, 即sin Bsin C=sin Bcos C, 因为B∈(0,π),则sin B>0,故sin C=cos C,可得tan C=,故C=. (2)由正弦定理可得, 所以ab=sin Asin B·=4, 在△ABC中,由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab=a2+b2-4, 所以a2+b2=12, 因为CT为AB边上的中线,所以(),所以()2 =() =(a2+b2+2abcos C) =(a2+b2+ab)=×(12+4)=4,故||=2, 因此,AB边上的中线CT的长为2. 类型3　“爪型”三角形——高线模型 1.★★(2025届浙江湖州县域联盟月考,7)在锐角△ABC中,AB=AC,M是AB的中点,CM=,过点C作AB的垂线,垂足是H,CH=,则AB= (　　) A.　　　D.1 答案　B　 2.★★(2025届山东平度二模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2-ac,且AB边上的高等于AB,则sin C= (　　) A. 答案　D　 3.★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,16)在△ABC中,角A,B,C满足sin C=sin B+sin(A-B),且△ABC的外接圆的周长为4π. (1)求角A; (2)若AD为BC边上的高,且,求△ABC的面积. 解析　(1)在△ABC中,A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 因此由sin C=sin B+sin(A-B)可得sin(A+B)=sin B+sin(A-B), 整理可得2cos Asin B=sin B, 又B∈(0,π),可知sin B≠0, 所以cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)由AD为BC边上的高可知D,B,C三点共线,设, 因此可得+λ()=(1+λ),所以λ=,即. 记∠CAB,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c, 又△ABC的外接圆的周长为4π,所以外接圆的半径为R==2, 则a=2Rsin∠CAB=2, 因此|a=1,CD=3,如图所示. 设AD=h(h>0),由勾股定理计算可知AB=c=,AC=b=, 在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos∠CAB=4, 整理可得h4-6h2+9=0,即(h2-3)2=0,解得h=, 所以S△ABC=. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $