第4章 4.4 解三角形（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦正弦余弦定理应用，覆盖基础计算与综合问题，通过高考真题与模拟题构建知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点1|8道高考真题+15道模拟题|已知三边/边角求角、面积计算、边角互化|以正弦余弦定理为核心，构建“已知量→定理选择→方程求解”的推理链条| |考点2|8道高考真题+10道模拟题|实际测量、几何综合（中点/中线）、三角恒等变换结合|从定理直接应用拓展到与几何性质、实际情境的综合，培养数学应用意识与逻辑推理能力|

4.4　解三角形 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形 高考真题 1.★(2025全国二卷,5,5分)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) A.45°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.135° 答案　A　 2.★★(2023全国乙文,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcosA=c,且C=,则B= (　　) A. 答案　C　 3.★★(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　) A.1　　　B.　　　D.3 答案　D　 4. ★★★(多选)(2025全国一卷,11,6分)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2, cos Acos Bsin C=,则 (　　) A.sin C=sin2A+sin2B　　　B.AB= C.sin A+sin B=　　　D.AC2+BC2=3 答案　ABC　 5.★★(2021全国乙文,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.  答案　2 6.★★★(2024新课标Ⅱ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解析　(1)由已知得=1,因为0<A<π,所以,所以A+,即A=. (2)由,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=×,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=××,所以c=×,即a+b+c=2+3,所以△ABC的周长为2+3. 7.★★★(2024新课标Ⅰ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解析　(1)由余弦定理的推论得cos C=,又0<C<π,∴C=,∴cos B=,由0<B<π得B=. (2)由(1)得B=,C=. ∵,∴. 令=t,t>0,则b=t,c=t, ∵A=π-B-C=, ∴sin A=sin, ∵S△ABC=×t×t×,∴t=2,因此c=2. 8.★★★(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 解析　(1)证明:由题设得BD=, 在△ABC中,由正弦定理知,即, 代入BD=中,得BD=, 又b2=ac,∴BD=b. (4分) (2)由AD=2DC得AD=b,DC=, 在△ABD中,cos A=, 在△ABC中,cos A=,化简得3c2-11b2+6a2=0, 又b2=ac, (7分) 所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0, 所以c=3a或c=a. (8分) 当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=a,此时a+b<c,故a,b,c构不成三角形; (10分) 当c=a时,b2=ac=a2,所以b=a, 此时a,b,c可以构成三角形, (11分) 故c=a,b=a,所以在△ABC中,cos∠ABC=. (12分) 高考模拟 1.★(2025届安徽合肥八中三模,3)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=7,则cos(A+B)= (　　) A.- 答案　C　 2.★(2026届河北保定质量检测,3)在△ABC中,若AC=,C=,AB=2,则△ABC解的个数为 (　　) A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.不确定 答案　C　 3.★★(2026届辽宁省实验中学二模,5)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且该三角形的面积为15,则△ABC的最小边长等于 (　　) A.3　　　B.6　　　C.9　　　D.12 答案　B　 4.★★(2026届安徽合肥一中月考,4)连接圆形花圃圆周上的三点A,B,C,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=10,4S=b2+c2-100,则该花圃的面积为 (　　) A.10π　　　B.50π　　　C.125π　　　D.200π 答案　B　 5.★★(2026届河北定州中学开学考,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则b= (　　) A.　　　C.1　　　D.2 答案　A　 6.★★★(2025届广东佛山顺德二模,6)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin A+acos B=0,b2=ac,则 (　　) A.c=3a　　　B.c=2a　　　C.a=2c　　　D.a=c 答案　D　 7.★★★(2026届河北沧州四校期中联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(B-A)=,=b2-a2,则sin C的值为 (　　) A. 答案　C　 8.★★★(2026届山西太原十二中月考,3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-ccos B=b-ccos A,且c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状为 (　　) A.钝角三角形　　　B.等腰直角三角形 C.直角三角形　　　D.等边三角形 答案　D　 9.★★★★(2026届广东深圳罗湖翠园中学开学考,8)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0,a=2,△ABC的面积为,则 (　　) A.b=1　　　B.b=2　　　C.b=3　　　D.b=2 答案　D　 10.★★★★(多选)(2026届安徽蚌埠开学考,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c+2bcos(B+C),则下列结论正确的是 (　　) A.若B=,则△ABC为直角三角形 B.若a=b,则△ABC为直角三角形 C.若b=3,c=1,则BC边上的中线长为2 D.若△ABC为锐角三角形,则 答案　ABD　 11.★★(2026届浙江金华十校一模,13)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足C=,且a2+b2-c2=4,则△ABC的面积为　　　　.  答案　1 12.★★(2026届山东泰安新泰中学月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=(b2-a2-c2),则角B=　　　　.  答案　 13.★★★(2026届重庆入学考,15)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且tan=3. (1)求tan A; (2)若2csin A=asin B,证明:△ABC为直角三角形. 解析　(1)tan A=tan. (2)证明:因为2csin A=asin B, 所以2ac=ab,所以c=b. 由(1)知tan A=,所以cos A=, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得a2=b2+b2-2b×b×b2, 所以a2+b2=b2=c2, 所以C为直角,故△ABC为直角三角形. 14.★★★(2026届湖南长沙长郡中学期中,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2b=2ccos A. (1)求角C; (2)若△ABC的面积S=,a+b=5,求边c的大小. 解析　(1)由正弦定理得,sin A+2sin B=2sin Ccos A, 则sin A+2sin(A+C)=sin A+2sin Acos C+2cos Asin C=2sin Ccos A, ∴sin A+2sin Acos C=sin A(1+2cos C)=0, 在△ABC中,0<A<π,得sin A>0, ∴1+2cos C=0,∴cos C=-, ∵0<C<π,∴C=. (2)S△ABC=, ∵cos C=-,0<C<π,∴sin C=, 则S△ABC=,得ab=4, 又a+b=5, 则由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=25-4=21,∴c=. 15.★★★(2026届山东青岛二中期中,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bcos C=ac-2ccos B. (1)求c; (2)若D为AB的中点,CD=,∠ACB=60°,求△ABC的面积. 解析　(1)由2bcos C=ac-2ccos B及余弦定理的推论得2b·, 化简得a2c=2a2,因为a≠0,所以c=2. (2)因为D为AB的中点, 所以(), 则(), 即()2=(b2+a2+2abcos∠ACB), 则8=a2+b2+ab①,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB,即4=a2+b2-ab②, ①-②得2ab=4,则ab=2,所以S△ABC=·absin∠ACB=×2×. 考点2　解三角形及其综合应用 高考真题 1.★★★(2021全国甲理,8,5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732) (　　) A.346　　　B.373　　　C.446　　　D.473 答案　B　 2.★★★★(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.  答案　-1 3.★★★(2023新课标Ⅰ,17,10分)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 解析　(1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=,B=-A,又∵2sin(A-C)=sin B, ∴2sin, 即2sin A,整理得sin A=3cos A, 又∵sin2A+cos2A=1,A∈,∴sin A=. (5分) (2)由(1)知C=,sin A=,cos A=, 则sin B=sin. (6分) 在△ABC中,由正弦定理得,∴, ∴AC=2,BC=3, (8分) ∴S△ABC=×2×3×=15. (9分) 设AB边上的高为h,则×5h=15, ∴h=6. (10分) 4.★★★(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. 解析　(1)由题意得 S1=a2,S2=b2,S3=c2, ∴S1-S2+S3=(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2, 由cos B=得a2+c2-b2=2accos B, 故2accos B=2,∴accos B=1, (3分) 又∵sin B=,∴cos B=(舍),∴ac=, ∴S△ABC=××. (6分) (2)由正弦定理, 又知ac=,sin Asin C=, (9分) ∴,∴, ∴b=×. (12分) 5.★★★(2024北京,16,13分)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B=; 条件③:csin A=. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 解析　(1)∵sin 2B=bcos B, ∴2sin Bcos B=bcos B, ∵∠A为钝角,∴B≠,∴cos B≠0, ∴2sin B=b. 又∵a=7,∴2sin B=, ∴sin A=,又∵∠A为钝角,∴A=. (2)若选①,b=7,则a=b=7,又A=,∴B=,∴A+B>π,此时三角形不存在,∴不能选①. 若选②,cos B=,则sin B=, 由,A=,a=7,得 b=×=3, 易得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=××. ∴S△ABC=×7×3×. 若选③,csin A=,∴c==5. 解法一　由,A=,a=7,得sin C=,又∵0<C<π-A=,∴cos C=,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=××, ∴S△ABC=×7×5×. 解法二　由A=,a=7,c=5及a2=c2+b2-2bccos A得25+b2+5b=49,得b2+5b-24=0, ∴(b+8)(b-3)=0,∴b=3(负值舍去), ∴S△ABC=×3×5×. 6.★★★(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由. 解析　(1)2sin C=3sin A⇒2c=3a, 又∵c=a+2, ∴2(a+2)=3a,∴a=4, ∴b=a+1=5,c=a+2=6, ∴cos A=,∴sin A=, ∴S△ABC=×5×6×. (6分) (2)由已知得c>b>a, 若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角, ∴cos C=<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3). (9分) 同时还应考虑构成△ABC的条件, 即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1. 综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形. ∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形. (12分) 7.★★★★(2023新课标Ⅱ,17,10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 解析　由题意知S△ABC=,BD=DC, ∴S△ADC=. (1)∵S△ADC=DA·DC·sin∠ADC=,DA=1,∠ADC=, ∴,∴DC=2,∴BD=2, 易知∠ADB=, (2分) 在△ADB中,由余弦定理得AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×=7, ∴AB=, (3分) ∴cos B=, ∴sin B=, (4分) ∴tan B=. (5分) (2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE, 易得四边形ABEC为平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2)【注意cos∠BAC+cos∠ACE=0】,即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,又AE=2AD=2,∴BC2=12, ∴BC=2, (7分) ∵S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=,AD=1,DC=, ∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, (9分) 又b2+c2=8,∴b=c=2. (10分) 8.★★★★(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 解析　(1)∵【采分点:出现二倍角公式给1分】, (1分) 即, ∴cos Acos B-sin Asin B=sin B, 即cos(A+B)=sin B,又C=, (3分) ∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos, ∵0<B<,∴B=. (4分) (2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C, ∵sin B>0恒成立,∴C∈, ∵-cos C=sin, ∴C-=π(不合题意,舍去), (5分) ∴A=-2B,∵A>0,∴B∈, (6分) ∴ =, (8分) 令cos2B=t,t∈, ∴-5≥4-5,当且仅当4t=,即t=时,取“=”【扣分点:不写扣1分】. (11分) ∴-5. (12分) 高考模拟 1.★★(2026届山西大学附中模块检测,5)在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形的最大内角为 (　　) A.30°　　　B.90°　　　C.120°　　　D.60° 答案　C　 2.★★(2026届江西九江质量监测,7)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船,在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 (　　) A.20海里 C.40海里　　　D.30海里 答案　B　 3.★★★(2026届江苏常州一中质检,6)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,2cos A-acos B=a,则下列判断正确的是 (　　) A. C. 答案　A　 4.★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,8)在△ABC中,BC=4,4=2sin(B+C)+3cos Bcos C,则△ABC的面积为 (　　) A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4 答案　C　 5.★★★★(知识交汇)(2026届重庆联考,8)若点O为△ABC的外心,且满足2=0,则tan C的最大值为 (　　) A. 答案　C　 6.★★(2026届陕西师大附中开学考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　.  答案　 7.★★★(2026届吉林一中第一次质检,13)在△ABC中,若cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则sin C的取值范围为　　　　.  答案　 8.★★★(2026届江苏盐城七校联盟学情检测,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下面四个条件中的三个:①cos A=,②cos B=-,③a=,④b=1. (1)△ABC满足的是哪三个条件?请列举出来,并说明理由; (2)求△ABC的面积. 解析　(1)△ABC满足的条件是①③④, 若cos A=,因为A∈(0,π),则A=, 若cos B=-,因为B∈(0,π),则B=, 而A+B=π,则条件①和②不可能同时满足,故③和④都满足, 由a>b⇒A>B,∴B为锐角,应有cos B>0,从而条件②不能满足, 故△ABC满足的条件是①③④. (2)由(1)可得cos A=,a=,b=1,A=. 解法一　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, ∴1+c2-c=3,即c2-c-2=0, 解得c=2或c=-1(舍去), ∴△ABC的面积为S=×1×2×. 解法二　由,得,∴sin B=, 由(1)知B为锐角,∴B=,故C=. ∴△ABC的面积为S=×1×. 9.★★★(2026届浙江杭州四中月考,16)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=. (1)证明:c=2b; (2)当角B最大时,求角A的大小. 解析　(1)证明:已知c=, 则c-ccos A=b+acos C, 由正弦定理得sin C-sin Ccos A=sin B+sin Acos C, sin C=sin B+sin Acos C+sin Ccos A=sin B+sin(A+C)=2sin B, 由,可得c=2b. (2)由余弦定理的推论得cos B=≥2, 当且仅当,即c=a=2b时等号成立,此时B取到最大值,为, 此时c>a>b,所以A∈, 由,所以A=. 10.★★★★(2026届安徽江淮十校第二次联考,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A=a+c-bcos A. (1)求角B的大小; (2)若b=4,求此时△ABC的内切圆半径的最大值; (3)求的取值范围. 解析　(1)由正弦定理得sin Bsin A=sin A+sin C-sin Bcos A =sin A+sin(A+B)-sin Bcos A =sin A+sin Acos B+cos Asin B-sin Bcos A =sin A+sin Acos B, 因为A∈(0,π),所以sin A>0. 两边同除以sin A,整理得sin B-cos B=1, 即=1, 所以sin, 又B∈(0,π),则B-∈, 所以B-,即B=,于是角B的大小为. (2)由(1)知a2+c2=b2=16, 根据重要不等式≥可知a+c≤4,当且仅当a=c时取“=”. 又根据直角三角形内切圆半径公式知内切圆半径为, 所以≤-2. 于是△ABC的内切圆半径的最大值为2-2,此时△ABC是等腰直角三角形. (3)在Rt△ABC中,, 因为A∈,所以A+∈. 于是sin∈, 设t=,所以t∈(1,], 又b2=a2+c2=(a+c)2-2ac, 所以(t2-1), 因此(t2-1)-t=(t-1)2-1∈. 所以. 第 14 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $