第3章 高考热点1 三次函数的性质综合（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦三次函数核心性质，以导数应用为主线，系统整合图象性质、极值、零点、切线四大模块，通过高考真题与模拟题构建逻辑递进的训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象与性质|3题（含2022新高考Ⅰ卷）|单调性判断、极值点个数、对称中心|从导数符号分析单调性，结合二阶导数或表格判断极值，推导三次函数对称中心性质| |极（最）值问题|3题（含2024新课标Ⅰ卷）|极值点判断、最值范围、参数讨论|通过导数求极值点，分类讨论参数对单调区间影响，确定最值取值范围| |零点问题|5题（含2018江苏卷）|零点个数、零点关系、参数范围|利用极值符号判断零点个数，结合韦达定理分析零点关系，转化为函数图象交点问题| |切线问题|3题（含2021全国乙卷）|切线方程、切线与曲线交点|应用导数几何意义求切线方程，联立方程讨论切线与曲线公共点个数|

高考热点1　三次函数的性质综合 类型1　三次函数的图象与性质 1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为 (　　) A. C. 答案　D　 2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 (　　) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 答案　AC　 3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x. (1)当a=1时,求函数的极值; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围. 解析　(1)当a=1时, f(x)=x3-2x2+x,故f'(x)=3x2-4x+1. 令f'(x)=0,解得x=1或x=. f'(x), f(x)随x的变化情况如表: x -∞, ,1 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)极大值=f, f(x)极小值=f(1)=0. (2)f'(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a)=[3x+(a-2)](x-a), 令f'(x)=0,解得x1=a,x2=. 当x1=x2时,a=,解得a=,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠,且-1<a<1或-1<<1, 解得-1<a<1或-1<a<5且a≠. 故a的取值范围为∪. 类型2　三次函数的极(最)值问题 1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则 (　　) A.f(x)有两个极值点 B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0 D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线 答案　ABC　 2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时, f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时, f(2-x)>f(x) 答案　ACD　 3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围. 解析　(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0,得x=0或x=. 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时, f'(x)>0; 当x∈时, f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减; 若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时, f'(x)>0;当x∈时, f'(x)<0. 故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减. (2)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在单调递减,在单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a. 于是m=-+2,M= 所以M-m= 当0<a<2时,可知2-a+单调递减, 所以M-m的取值范围是. 当2≤a<3时,单调递增,所以M-m的取值范围是. 综上,M-m的取值范围是. 类型3　三次函数的零点问题 1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则 (　　) A.f(x)有极大值点 B.f(x)仅有2个零点 C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0 D.f(x)图象的对称中心是(1,-10) 答案　ACD　 2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,则 (　　) A.当a=8时, f(x)在R上单调递增 B.当a≤6时, f(x)有两个极值 C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3= D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-5<m<-3 答案　ACD　 3.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则 (　　) A.-27<a<5 B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11) C.过(x1, f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条 D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11 答案　ABD　 4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　.  答案　-3 5.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值. (1)求实数c的值; (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析　(1)∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x, ∴f'(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),由已知得f'(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,∴c=1或c=3, 当c=1时, f'(x)=(x-1)(3x-1), ∴当x<时, f'(x)>0,当<x<1时, f'(x)<0,当x>1时, f'(x)>0,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1时有极小值,符合题意. 当c=3时, f'(x)=3(x-3)(x-1), ∴当x<1时, f'(x)>0,当1<x<3时, f'(x)<0,当x>3时, f'(x)>0, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, ∴x=1时有极大值,不符合题意,舍去. ∴c=1. (2)g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=-a有三个不同的交点, 由(1)知f(x)在x=处取极大值, f(x)极大值=f×, 又f(x)极小值=f(1)=0, ∴0<-a<,∴-<a<0. 类型4　三次函数的切线问题 1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线,如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有 (　　) A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条 答案　B　 2.★★(2026届福建部分学校联考,13)若曲线y=tan x在坐标原点处的切线与曲线y=x3-2x+m(x>0)相切,则m=　　　　.  答案　2 3.★★★★(2021全国乙,21(2))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标. 解析　设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0), 则切线的斜率为f'(x0)=3-2x0+a, 故以点P为切点的切线方程为y=(3-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=+ax0+1,且切线过原点,得2-1=0,即(x0-1)·(2+x0+1)=0,解得x0=1,从而得P(1,1+a). 所以切线方程为y=(1+a)x,联立 消去y得x3-x2-x+1=0, 即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1, ∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a). 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $