第3章 3.1 导数的概念及运算（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

**基本信息** 聚焦导数概念运算与切线应用，通过高考真题与模拟题系统覆盖基础求导、切线方程、创新考法，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的概念及运算|8道模拟题|含基础求导、导数几何意义（如跳水高度）、导数性质（奇偶性推广）、泰勒公式估算|从导数定义到运算法则，结合函数性质与实际应用，构建概念-运算-应用逻辑链| |曲线的切线|9道真题+15道模拟题（含1解答题）|涵盖切线方程、公切线存在性、切线与坐标轴面积、切线斜率与函数关系|以导数几何意义为核心，连接切线方程求解、多曲线公切线及综合应用，形成从基础到复杂的递进关系|

第三章　导数及其应用 3.1　导数的概念及运算 考点1　导数的概念及运算 高考模拟 1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f'(1)= (　　) A.　　　 B. C.　　　D. 答案　B　 2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是 (　　) A.(ln 2)'= B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln 3 C.(ex)'= D. 答案　D　 3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=-f'(-1)x3+2x2-2,则f(2)= (　　) A.20　　　B.18　　　 C.16　　　D.14 答案　D　 4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+sin x,则f'= (　　) A.-　　　 C. 答案　A　 5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不计)在t=1秒时离水面的高度为 (　　) A.9.6米　　　B.9.7米　　　C.9.8米　　　D.9.9米 答案　C　 6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f'(x)为函数f(x)=x2+2cos 2x的导函数,则f'(x)的大致图象是 (　　) 答案　B　 7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f'(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f'(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln的对称性,下列选项正确的是 (　　) A.f(x)的图象有对称中心 B.f(x)的图象有对称中心 C.f(x)的图象有对称轴x=- D.f(x)的图象有对称轴x= 答案　B　 8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)=f(0)+f'(0)x+xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2的值为(精确到小数点后两位) (　　) 注:f″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f'(x)的导数, f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f(n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n. A.0.85　　　B.0.88　　　C.0.91　　　D.0.95 答案　C　 考点2　曲线的切线 高考真题 1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=处的切线方程为 (　　) A.y=x C.y= 答案　C　 2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. 答案　A　 3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　) A.eb<a　　　 B.ea<b　　　 C.0<a<eb　　　D.0<b<ea 答案　D　 4.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　.  答案　y=5x+2 5.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.  答案　4 6.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  答案　ln 2 7.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.  答案　y=x;y=-x(不分先后) 8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-4)∪(0,+∞) 9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是　　　　.  答案　(0,1) 高考模拟 1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 (　　) A.x+y-3=0　　　B.x-y+1=0 C.x+y-2=0　　　D.x-y-1=0 答案　B　 2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则k的取值范围是 (　　) A.(1,2]　　　B.(-∞,2)　　　 C.(-∞,1)　　　D.(1,2) 答案　B　 3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excos x的图象在x=x0处的切线平行于x轴,则该切线的方程为 (　　) A.y=1　　　B.y= C.y= 答案　D　 4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y-20=0平行,则l1与l2之间的距离为 (　　) A.　　　 C.5　　　D.10 答案　A　 5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y=x,则k= (　　) A.0　　　B.1　　　C.-1　　　D.e 答案　B　 6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时, f(x)=ln,则曲线f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是 (　　) A.x+4y-4ln 2-3=0　　　B.x+2y+2ln 2-3=0 C.x-4y+4ln 2-3=0　　　D.x-2y-2ln 2-3=0 答案　A　 7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-ln x上一动点,则AP的最小值为 (　　) A. 答案　D　 8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. 答案　D　 9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为 (　　) A.2x+y-9=0　　　B.2x-y+9=0 C.2x+y-1=0　　　D.2x-y+1=0 答案　A　 10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=ln x+x2-ax与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切,则a= (　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 答案　B　 11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥ln x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A. C.[1,2]　　　D.[1,e] 答案　D　 12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)=若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为 (　　) A.(1,1)　　　B.(1,2)　　　C.(-1,1)　　　D.(2,2) 答案　B　 13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x-a)2+(xln x-a+3)2(a∈R),则y的最小值为 (　　) A.2　　　B.1　　　C. 答案　A　 14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y=在点(1,0)处的切线方程为　　　　.  答案　y=x-1 15.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=　　　　.  答案　3 16.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+在点(1,4)处的切线的倾斜角为　　　　.  答案　135° 17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2在点(1,3)处的切线也是曲线y=ln x+x+2a的切线,则a=　　　　.  答案　1 18.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b(a,b∈R). (1)当b=1时, f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线; (3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式. 解析　(1)当b=1时,由f(x)≥g(x)得aex≥ln x+1,即a≥. 设F(x)=,则F'(x)=, 设p(x)=-ln x-1, 则p'(x)=-<0, ∴p(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴当x∈(0,1)时,p(x)>p(1)=0,此时F'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,p(x)<p(1)=0,此时F'(x)<0, ∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴F(x)max=F(1)=,∴a≥, 即a的取值范围为. (2)证明:设直线l是曲线f(x),g(x)的公切线,分别与曲线f(x),g(x)相切于点(x1,a),(x2,ln x2+b), ∵f'(x)=aex,g'(x)=, 则f'(x1)=a,g'(x2)=, ∴切线方程为y-a(x-x1), y-ln x2-b=(x-x2), 即y=a(1-x1),y=x+ln x2+b-1. ∴a(1-x1)=ln x2+b-1, ∵a=e-1,∴,∴x1-1=-ln x2, ∴ln x2+b-1=a(1-x1)=, ∴b=-ln x2+1, 令h(x)=-ln x+1, 则h'(x)=, 设q(x)=1-ln x-x, 则q'(x)=-<0, ∴q(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴当x∈(0,1)时,q(x)>q(1)=0,此时h'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,q(x)<q(1)=0,此时h'(x)<0, ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=1, 当x→0时,h(x)=ln x+1→-∞,当x→+∞时,h(x)→-∞,又b<1, ∴h(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点, ∴方程b=-ln x2+1总有两个不相等的实数根,即直线l有两条, ∴当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)总存在两条公切线. (3)同(2)得 由①得x2=, 代入②得(1-x1)a=-ln a-x1+b-1, ∴(1-x1)a+ln a+x1-b+1=0, 设两条公切线l1,l2与曲线y=f(x)分别相切于点(s,aes),(t,aet), 则l1,l2的斜率分别为k1=aes,k2=aet, 由k1k2=1得a2es+t=1, 由题意知,a>0, 两边同取自然对数得2ln a+s+t=0, 即s+t=-2ln a, 又 将s=-t-2ln a代入③得 (1+t+2ln a)ae-t-2ln a+ln a-t-2ln a-b+1=0, 即(1+t+2ln a)-t-ln a-b+1=0, ∴1+t+2ln a+(1-t)aet-(ln a+b)aet=0,⑤ ⑤-④得ln a+b-(ln a+b)aet=0, ∴(ln a+b)(1-aet)=0对任意t恒成立, ∴ln a+b=0. 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $