精品解析：广东省云浮市2026年初中学业水平(第二次)模拟检测数学试题

2026年初中学业水平（第二次）模拟测试 数学试题 说明： 1．全卷共6页，五大题共23题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上． 1. 数轴上的点表示，将点向左平移个单位后得到点，那么点表示的数为（ ） A. B. C. D. 2. 我县为践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，要求全县所有学校从2024年秋季学期开始必须保障学生每天两个小时体育活动时间．郁南县实验中学为贯彻落实该项政策组织了九年级学生开展以“坚持运动，践行健康”为主题的体育运动项目图标设计比赛．下列是一些同学设计的关于体育运动项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字大于3的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 9. 为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则________． 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角∠BAD的度数为 ________ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x、y轴于点B、A．点C是直线上不同于点B的点，且．则点C的坐标______． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 16. 计算 （1）化简： ； （2）解方程组： ． 17. 如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． （1）求的长； （2）如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 18. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分共27分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息二 100名游客对本市历史文化，自然景观，地域特色，旅游产品，旅游服务打分的平均分和方差如下表： 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第 组； （2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是 ； （3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数； （4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 20. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 21. 在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 22. 综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 23. 如图，在中，，点，cm，AD=8cm，点从点出发，在线段上以每秒cm的速度向点匀速运动，与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒2 cm的速度沿方向匀速平移，分别交、、于、、，当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，连接、，求证：四边形为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段的长； （3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平（第二次）模拟测试 数学试题 说明： 1．全卷共6页，五大题共23题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上． 1. 数轴上的点表示，将点向左平移个单位后得到点，那么点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的平移，有理数减法，熟练掌握数轴上点的平移规律是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律，向左平移个单位，即减去． 【详解】解：根据题意得，点表示的数为， 故选：A ． 2. 我县为践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，要求全县所有学校从2024年秋季学期开始必须保障学生每天两个小时体育活动时间．郁南县实验中学为贯彻落实该项政策组织了九年级学生开展以“坚持运动，践行健康”为主题的体育运动项目图标设计比赛．下列是一些同学设计的关于体育运动项目图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义解题即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故该选项不合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：是轴对称图形，故该选项符合题意． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：“榫”的俯视图是： 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误； 对于选项B，∵积的乘方等于各因式分别乘方的积，∴，B错误； 对于选项C，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C错误； 对于选项D，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D正确． 6. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字大于3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：由题意可知一共有种结果，其中数字大于的结果有抽到和两种，所以概率为． 故选：B． 7. 如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC，OD，构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】 解：连接OC，OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD= =60°， ∴∠CPD= ∠COD=30°. 故选A． 【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题的关键是构造圆心角． 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 9. 为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】设出两种球的购买数量，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可． 【详解】解：设购买篮球个，足球个，，均为正整数， 根据题意列方程，得 ， 化简，得 ， 整理，得 ， ∵，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ，解得， 又，因此的可取的值为，对应为，均符合要求， 因此该社团共有种购买方案． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：x+6+20=22+z+y， 整理得：x-y=-4+z， x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m， 整理得：x=-2+z，y=2z-22， ∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z， 解得：z=12， ∴x+y =3z-24 =12 故选：D． 【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 使式子有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，只需保证分母不为零，列出分母不为0的式子即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得到，把代入即可解决问题． 【详解】解：∵，是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠BAC＝85°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则旋转角∠BAD的度数为 ________ ． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】由旋转的性质得∠C=∠E= 70°，∠BAC=∠DAE＝85°，再由直角三角形的性质得∠CAF= 90°－∠C= 20°，即可得到结论． 【详解】解：设AD与BC的交点为F，如图所示： ∵△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE， ∴∠C=∠E= 70°， ∠BAC=∠DAE= 85°， ∵AD⊥BC， ∴∠AFC= 90°， ∴∠CAF= 90°－∠C= 90°－70°= 20°， ∴∠CAE=∠DAE－∠EAC = 85°－ 20°= 65°， 即旋转角的度数为65°， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x、y轴于点B、A．点C是直线上不同于点B的点，且．则点C的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，由及点C不同于点B，可知点A是线段的中点，由点A、B的坐标即可求出点C的坐标． 【详解】解：如图， 直线，当时，； 当时，由， 解得：， ∴，； ∵，且点C不同于点B， ∴点A是线段的中点，即点C与点B关于点A对称， ∴点C的横坐标为， 当时，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 16. 计算 （1）化简： ； （2）解方程组： ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由得：， 解得， 将代入①中得：， 解得， 方程组的解为． 17. 如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． （1）求的长； （2）如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质、等腰三角形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，然后求出的长，再证，即可求出的值． 【小问1详解】 解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由作图可知：垂直平分， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知，，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线、作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键． 18. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为点．由，，得出，，在中，，即可求出和， 即可求解； （2）连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作，垂足为点． ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 答：，两点之间的距离为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的长， 答：待建环山路的长度为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分共27分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息二 100名游客对本市历史文化，自然景观，地域特色，旅游产品，旅游服务打分的平均分和方差如下表： 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第 组； （2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是 ； （3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数； （4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 【答案】（1）见解析，3 （2） （3）3.536万人 （4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感 【解析】 【分析】（1）先用样本容量乘以第二组所占的百分比求出第二组的频数，然后再求出第四组的频数，再补全条形统计图即可；再根据中位数的定义即可确定其所在的组； （2）用乘以第四组所占的频率即可解答； （3）用样本估计总体即可解答； （4）根据平均数和方差进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：第二组的频数为：， 第四组的频数为：， 故补全频数分布直方图如下： 由于有100个数据，则中位数为数据从大到小排列后的第50和51个数的平均数，又一、二两组的数量总和为，一、二、三组数量之和为，则这100个满意度分数的中位数位于第3组． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：（万人）． 答：这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数为万人． 【小问4详解】 解：旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数的定义、用样本估计总体、方差等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键． 20. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】（1）种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． （2）甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． 【小问2详解】 设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 21. 在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 【答案】（1）12 （2）①；②与相互平行，见解析 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，有最大值； （2）先根据题意得到，，①连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案；②连接，先求得，，可得，从而证明，得到，即可推出． 【小问1详解】 解：反比例函数， ， 反比例函数的图象和矩形有交点，其中， ，， 当，时，有最大值， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：，，且四边形为矩形， ， ，， 反比例函数的图象与，分别交于点，， ，， ①连接，，如图 ， ，， ，， ，， ； ②与相互平行，理由如下： 连接，如图 ，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 22. 综合与实践 【课本再现】 （1）如图1，的和的平分线相交于点G． ①若，则_______； ②求证：． 【数学思考】 （2）如图2，中的平分线与其外角的平分线交于点O，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【问题解决】 （3）如图3，菱形的顶点在上，与相交于点为的中点，若，求的值． 【答案】（1）①； ②证明：∵，的平分线相交于点， ，， ， ； （2）； 证明： 平分，平分， ，， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可求出；②根据角平分线的性质定义可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明； （2）根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 根据角平分线的定义可以得到，，再根据三角形的（3）连接，设与交于点，由四边形是菱形，得，由，，可得，，，，进而可推出， ，，，，证明，进而可得 ，，即可求解． 【详解】(1)解：①， 理由：∵，的平分线相交于点， ，， ， ， ， 故答案为：； ②略 (2)略 （3）解：连接，设与交于点， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (舍负)， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． 23. 如图，在中，，点，cm，AD=8cm，点从点出发，在线段上以每秒cm的速度向点匀速运动，与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒2 cm的速度沿方向匀速平移，分别交、、于、、，当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，连接、，求证：四边形为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段的长； （3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在面积最大值，当BP长为6时，面积最大为10； （3）或，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）当时，，根据题意得出为的垂直平分线，利用垂直平分线的性质及各角之间的数量关系得出，结合菱形的判定定理即可求解； （2）先根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，进而得出，据此求得EF，再根据S△PEF=EF•DH，求得当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，最后计算线段BP的长； （3）根据题意分①若点F为直角顶点，②若点P为直角顶点，根据相似三角形的判定及性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，当时，， 则为的中点， 又∵， ∴为的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即四边形为菱形； 【小问2详解】 如图所示： ∵直线m以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，AD=8cm， ∴DH=2t，AH=8﹣2t， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即． 解得EF=10﹣2.5t， ∴S△PEF=EF•DH=（10﹣2.5t）•2t=﹣2.5t2+10t=﹣2.5（t﹣2）2+10（0＜t≤）， ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2， 此时BP=3t=6cm； 【小问3详解】 ①若点F为直角顶点，过点F作FM⊥BC，如图所示： ∵AD⊥BC，AB=AC， ∴BD=CD=5，， 根据题意可得：BP=3t，PC=10-3t，FM=HD=2t， ∵AD⊥BC，FM⊥BC， ∴AD∥FM， ∴∆CFM~∆CAD， ∴，即， 解得：FC=， ∴， ∵∠C=∠C， ∠PFC=∠FMC=90°， ∴∆CFM~∆CPF， ∴，即， 解得：或t=0（舍去）， ∴时，△PFC为直角三角形； ②若点P为直角顶点，如图， 此时，，，. ∵， ∴，即：， 解得， ∴时，△PFC为直角三角形； 综上可得：当或时，△PFC为直角三角形． 【点睛】题目主要考查三角形中的动点问题，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $