精品解析：2024年广东省云浮市郁南县九年级中考二模数学试题

2024年初中学业水平（第二次）模拟检测数学试题 说明：本试题有五大题共23题；考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 剪纸是我国民间传统艺术，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 41° 7. 垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为：（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 10. 如图，在中，，以点A为圆心的圆与边相切于点D，与分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 计算的结果为_____． 12. 下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 13. 如图，矩形的面积为18，对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为______． 14. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第10个图中所贴剪纸“”的个数为______． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______． 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 16. 计算． 17. 已知，求的值． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 19. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为 ，水面最深地方的高度为 ． （1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹； （2）求该输水管的半径． 20. 学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 四、解答题（二）（本大题3小题，21、22小题每小题8分，23小题10分，共26分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 21. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面，支架与 交于点，支架交 于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线 经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点 ，其中点在抛物线对称轴的左侧． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点 的坐标． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 24. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点， 于点F，，， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 中，E是边上一点， 于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E是边上一点，于点H，点M在上，且 ，连接，，可以用等式表示线段 ，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 25. 如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知， ．如图，连接， 为线段上一点，过点 作的平行线分别交，于点 ， ，过点 作 于点．设，． （1）求的长和关于的函数表达式． （2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． （3）延长交半圆于点 ，当时，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平（第二次）模拟检测数学试题 说明：本试题有五大题共23题；考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把你认为正确选项前的字母写在答题卷对应的位置上． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数． 2. 剪纸是我国民间传统艺术，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误； B、不是中心对称图形，故该选项错误； C、不是中心对称图形，故该选项错误； D、是中心对称图形，故该选项正确 故选：D． 3. 2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．地球与月球之间的平均距离约为384000千米．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将384000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式的解集，然后判断哪个选项表示的正确即可． 【详解】解： 移项得： 即 解得： 在数轴上表示不等式的解集如下： 故选B 【点睛】本题考查不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，计算正确； C.，原式错误； D.，原式错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 41° 【答案】B 【解析】 【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解：∵水面和杯底互相平行， ∴ ， ∴． ∵水中的两条折射光线平行， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 7. 垃圾分类（），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，先用除以可回收垃圾所占百分比，得到该市试点区域的垃圾总量，乘以得到全市垃圾总量，然后乘以干垃圾所占的百分比即可，熟练掌握扇形统计图是解题的关键． 【详解】解：该市试点区域的垃圾总量为（吨）， 估计全市可收集的干垃圾总量为（吨）， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答． 【详解】， 又， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合． 9. 如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为：（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据共走了72米，每次前进8米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】解：由题意得：连续左转后形成的正多边形边数为：， ∴左转的角度． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键． 10. 如图，在中，，以点A为圆心的圆与边 相切于点D，与分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，根据切线的性质可得 ，从而得到，再由圆周角定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 与圆A相切， ∴，即 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上． 11. 计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，根据同分母的分式的减法法则即可求解，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 12. 下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：该生体重“标准”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是本题的关键． 13. 如图，矩形的面积为18，对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明 ，根据相似三角形的性质可得，由反比例函数系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，作于，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 矩形的面积为18， ， ， 点在双曲线上， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，运用矩形的面积确定 的面积是解本题的关键． 14. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸．按此规律，则第10个图中所贴剪纸“”的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图形，得出第个图中所贴剪纸“”的个数为个，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】第一个图案为 个“”； 第二个图案为个“”； 第三个图案为个“”； ； 第个图案所贴窗花数为个“”； 当时，个“”， 故答案为：． 15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：∵AQ⊥CQ， ∴∠AQC＝90°， ∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长， 在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°， ∴ACAB＝2， ∴点Q的运动路径长为π 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题5分，共25分）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 16. 计算． 【答案】3 【解析】 【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 【答案】，反比例函数解析式为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，把点代入一次函数求出的值即可得出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数求出的值即可，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：． 19. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为 ，水面最深地方的高度为 ． （1）用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹； （2）求该输水管的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）先做线段的垂直平分线，交圆于 两点，作线段的垂直平分线，两条线 的交点即为圆心； （2）先过点作于点，连接，由垂径定理可知 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理即可求出的值，从而得出该输水管的半径的长． 【小问1详解】 如图，先做线段的垂直平分线，交圆于 两点，作线段的垂直平分线，两条线 的交点即为圆心； 【小问2详解】 过点作于点，连接， 则 ， 设 ， 则 ， 在 中，， 即， 解得 ． 故该输水管的半径为． 20. 学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 【答案】张老师骑车的速度为 千米/小时 【解析】 【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可． 【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时， 根据题意得：， 解之得 ， 经检验 是分式方程的解， 答：张老师骑车的速度为 千米/小时． 【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，21、22小题每小题8分，23小题10分，共26分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 21. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】（1） ， （2） （3）解：是，理由如下： ∵中位数为， ∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生． 【解析】 【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解； （2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解； （3）根据中位数的定义即可求解； 【小问1详解】 解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多 ∴， 这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为， ∴， 故答案为： ，． 【小问2详解】 解：∵跳绳165次及以上人数有7个， ∴估计七年级240名学生中，有个优秀， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 22. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点 ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点 ，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线 经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点 ，其中点在抛物线对称轴的左侧． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）． 【解析】 【分析】（）由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （）过点 作直线于点，可证，得出，即，得出，再运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【小问1详解】 抛物线 经过点，对称轴过点 ， 抛物线的对称轴为直线，， 抛物线与轴的另一个交点为，代入，得， 解得：， 该抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点 作直线于点， 直线过点且垂直于轴， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的纵坐标为， 由， 解得：，（舍去）， ， 设直线的解析式为 ，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，求一次函数和二次函数图象的交点，相似三角形的判定和性质，解题的关键熟练掌握知识点的应用，学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分．）请将下列各题的解题过程写在答题卷相应的位置上． 24. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点， 于点F，，， ．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点， 于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且 ，连接，，可以用等式表示线段 ，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形， 证明：∵， ，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，， ，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵ ，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 25. 如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知， ．如图，连接，为线段上一点，过点作 的平行线分别交 ，于点 ，，过点作 于点．设，． （1）求 的长和关于的函数表达式． （2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与 相似时，求的值． （3）延长交半圆于点 ，当时，求的长． 【答案】（1）， （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出 ，证明 ，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据 三边之比为 ，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点 作 于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，连接． ∵切半圆于点， ∴ ． ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， 三边之比为 （如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． 【小问3详解】 如图3，连接，，过点 作 于点， 则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $