第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式与分式、绝对值、高次、指数对数不等式等核心考点，按“三个二次关系—各类不等式转化—含参问题—恒成立问题”逻辑构建知识框架，通过知识解构、题型破译（含方法技巧与易错分析）、真题溯源、课本典例等环节，帮助学生系统突破不等式解法难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分类讨论与分层训练策略，如含参不等式按“二次项系数—判别式—根的大小”三层次教学，培养数学思维与逻辑推理能力，设置基础到综合的变式训练和真题演练，确保高效突破考点，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法 知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法 题型破译 (含超链接） 题型1 一元二次不等式的基础解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三个二次的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 分式与高次不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 绝对值与指数对数不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 含参一元二次不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 分式与高次不等式 —— 全国二卷 T4 (5 分) 全国Ⅰ卷T1（5 分） 全国Ⅰ卷T10（5 分） 绝对值不等式 —— —— 全国甲卷（理） T21（6 分） 全国甲卷（文） T23（12 分） 指数对数不等式 —— 全国一卷 T5 (5 分) —— 含参不等式恒成立 / 能成立 —— 全国一卷 T22 (4 分) 全国甲卷（文） T20（6 分） 考情分析 一元二次不等式是高中不等式板块的核心基础，是解决函数定义域、值域、单调性、导数等问题的必备工具，新高考弱化纯技巧性运算，强化与其他知识的融合考查，突出数学运算与逻辑推理素养。 1. 题型：单选 / 多选第 1～8 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题穿插于函数、导数、数列、解析几何（3～6 分），总分 5～11 分；整体难度中等偏易，属于高频必考内容。 2. 四大考查方向： ① 一元二次不等式的基础解法及三个二次的关系； ② 分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解； ③ 含参不等式的分类讨论求解； ④ 不等式恒成立、能成立问题求参数范围。 3. 综合融合：常与集合运算、函数定义域 / 值域、导数单调性、数列通项、圆锥曲线范围问题结合，作为工具性知识考查。 复习目标 1. 熟练掌握一元二次不等式的解法，深刻理解三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的内在联系； 2. 掌握分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解方法； 3. 掌握含参一元二次不等式的分类讨论标准与步骤； 4. 熟练运用分离参数法、最值法解决不等式恒成立、能成立问题； 5. 能将实际问题转化为不等式模型求解取值范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 1、一元二次不等式的一般形式或（a≠0），其中a,b,c为常数。 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 2.1、有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记 时的情形. 2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 3、一元二次不等式的解法步骤 1. 化正：将二次项系数化为正数； 2. 求根：求对应一元二次方程的根； 3. 画图：画出对应二次函数的草图； 4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。 自主检测（2026·云南昆明·模拟预测）（多选题）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 分式不等式的解法 核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 自主检测（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 绝对值不等式的解法 1. 基本类型 ￮ ￮ 2. 拓展类型 ￮ ￮ ￮ 自主检测（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 1. 步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 自主检测（2025·江苏宿迁·二模）设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 知识点5 指数对数不等式的解法 核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。 1. 指数不等式 ￮ 当时， ￮ 当时， 2. 对数不等式 ￮ 当时， ￮ 当时， 自主检测（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 知识点6 含参一元二次不等式的解法 分类讨论的三个层次： 1. 讨论二次项系数的符号：、、； 2. 讨论判别式的符号：、、； 3. 当时，讨论两根的大小关系。 自主检测（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题●型●破●译 题型1 一元二次不等式的基础解法 例1-1已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例1-2设集合，，则(    ) A． B． C． D． 方法技巧 不等式性质的快速判断 1. 严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解； 2. 对于的情况，直接根据二次函数图象写出解集； 3. 注意不等式中的等号是否成立。 易错分析 忽略前提条件 1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误； 2. 求根时计算错误； 3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。 【变式训练1-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·北京·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】（多选题）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 题型2 三个二次的综合应用 例2-1已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2-2（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 方法技巧 1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数； 2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系； 3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。 易错分析 1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误； 2. 韦达定理公式记错； 3. 转化时混淆不等式的方向。 【变式训练2-1·变载体】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 【变式训练2-2·】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【变式训练2-3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 题型3 分式与高次不等式的解法 例3-1已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例3-2（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母； 2. 穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则； 3. 注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。 易错分析 范围扩大问题 1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件； 2. 穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误； 3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。 【变式训练3-1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 【变式训练3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 题型4 绝对值与指数对数不等式的解法 例4-1设集合，，则（   ） A． B． C． D． 例4-2（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法； 2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化； 3. 对数不等式必须保证真数大于 0。 易错分析 1. 绝对值不等式漏写等价条件； 2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响； 3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。 【变式训练4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设集合，，则中整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．16 【变式训练4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】（2026·湖南湘西·三模）已知函数的定义域为,，且当时，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集中所有区间的长度之和为（区间的长度区间右端点区间左端点） D．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则 题型5 含参一元二次不等式的解法 例5-1（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-2（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论； 2. 分类时做到不重不漏； 3. 最后将各种情况的结果综合起来。 易错分析 1. 忽略二次项系数为 0 的情况； 2. 分类讨论不全面； 3. 比较根的大小时出错。 【变式训练5-1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【变式训练5-3】（2026·山西吕梁·二模）设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 【变式训练5-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题 例6-1（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6-2（2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 方法技巧 优先使用分离参数法 1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值； 2. 恒成立：恒成立；恒成立； 3. 能成立：能成立；能成立； 4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求； 2、求函数最值时忽略定义域； 3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。 【变式训练6-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【变式训练6-3】（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 4．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．（19-20高一·全国·课后作业）已知集合，，求. 2．（19-20高一·全国·课后作业）已知,求的取值范围. 3．（19-20高一·全国·课后作业）已知，，求， . 4．（19-20高一·全国·课后作业）要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？ 5．（19-20高一·全国·课后作业）当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 6．（19-20高一·全国·课后作业）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:)之间有如下关系:.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)? 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 知识点2 分式不等式的解法 知识点3 绝对值不等式的解法 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 知识点5 指数对数不等式的解法 知识点6 含参一元二次不等式的解法 题型破译 (含超链接） 题型1 一元二次不等式的基础解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型2 三个二次的综合应用 【方法技巧】 【易错分析】 题型3 分式与高次不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型4 绝对值与指数对数不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型5 含参一元二次不等式的解法 【方法技巧】 【易错分析】 题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题 【方法技巧】 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 分式与高次不等式 —— 全国二卷 T4 (5 分) 全国Ⅰ卷T1（5 分） 全国Ⅰ卷T10（5 分） 绝对值不等式 —— —— 全国甲卷（理） T21（6 分） 全国甲卷（文） T23（12 分） 指数对数不等式 —— 全国一卷 T5 (5 分) —— 含参不等式恒成立 / 能成立 —— 全国一卷 T22 (4 分) 全国甲卷（文） T20（6 分） 考情分析 一元二次不等式是高中不等式板块的核心基础，是解决函数定义域、值域、单调性、导数等问题的必备工具，新高考弱化纯技巧性运算，强化与其他知识的融合考查，突出数学运算与逻辑推理素养。 1. 题型：单选 / 多选第 1～8 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题穿插于函数、导数、数列、解析几何（3～6 分），总分 5～11 分；整体难度中等偏易，属于高频必考内容。 2. 四大考查方向： ① 一元二次不等式的基础解法及三个二次的关系； ② 分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解； ③ 含参不等式的分类讨论求解； ④ 不等式恒成立、能成立问题求参数范围。 3. 综合融合：常与集合运算、函数定义域 / 值域、导数单调性、数列通项、圆锥曲线范围问题结合，作为工具性知识考查。 复习目标 1. 熟练掌握一元二次不等式的解法，深刻理解三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的内在联系； 2. 掌握分式、高次、绝对值、指数对数不等式的转化求解方法； 3. 掌握含参一元二次不等式的分类讨论标准与步骤； 4. 熟练运用分离参数法、最值法解决不等式恒成立、能成立问题； 5. 能将实际问题转化为不等式模型求解取值范围。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 1、一元二次不等式的一般形式或（a≠0），其中a,b,c为常数。 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 2.1、有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 3、一元二次不等式的解法步骤 1. 化正：将二次项系数化为正数； 2. 求根：求对应一元二次方程的根； 3. 画图：画出对应二次函数的草图； 4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。 自主检测（2026·云南昆明·模拟预测）（多选题）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项A，B；再根据根的范围确定，分析函数单调性，结合处的函数值，判断，与的大小关系，验证选项C，D． 【详解】，， 因为有两个极值点， 所以在上有两个不同的根， 所以方程有两个不同的正根， 根据韦达定理得，，A正确，B错误； 因为且，所以， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，C正确，D正确． 知识点2 分式不等式的解法 核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 1. 2. 3. 4. 自主检测（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ，则. 知识点3 绝对值不等式的解法 1. 基本类型 ￮ ￮ 2. 拓展类型 ￮ ￮ ￮ 自主检测（2026·天津·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，解得，故， ，解得，故， ． 知识点4 高次不等式的解法（穿根法） 1. 步骤： a. 化正：将不等式化为（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正； b. 标根：将所有根标在数轴上； c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）； d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 自主检测（2025·江苏宿迁·二模）设函数， 其中.若不等式对任意恒成立，则________. 【答案】/ 【分析】先设，代入函数解析式计算得出根，再对应相等计算求解. 【详解】若 ，取，所以， 则， 所以的根为且，的根为且， 由于与均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积恒成立，则它们的零点必须完全相同， 所以只有当时，成立， 所以，所以. 故答案为：. 知识点5 指数对数不等式的解法 核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。 1. 指数不等式 ￮ 当时， ￮ 当时， 2. 对数不等式 ￮ 当时， ￮ 当时， 自主检测（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即，即， 解得，故， 不等式可化为，即， 解得，故， 所以. 知识点6 含参一元二次不等式的解法 分类讨论的三个层次： 1. 讨论二次项系数的符号：、、； 2. 讨论判别式的符号：、、； 3. 当时，讨论两根的大小关系。 自主检测（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 题●型●破●译 题型1 一元二次不等式的基础解法 例1-1已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出一元二次不等式，然后根据集合的交集运算即可 【详解】由题意可得： 集合B内元素为小于3的整数，则 故选：C 例1-2设集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合A，B，再利用数轴求出结论. 【详解】由得，则有， ， ∵在上单调递增，则， ，如图，    观察数轴得. 故选：D 方法技巧 不等式性质的快速判断 1. 严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解； 2. 对于的情况，直接根据二次函数图象写出解集； 3. 注意不等式中的等号是否成立。 易错分析 忽略前提条件 1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误； 2. 求根时计算错误； 3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。 【变式训练1-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出再求即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以 故选：B. 【变式训练1-2】（2026·北京·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：，所以， 由，所以，所以. 【变式训练1-3】（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 【变式训练1-4·变载体】（多选题）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 题型2 三个二次的综合应用 例2-1已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 例2-2（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 方法技巧 1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数； 2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系； 3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。 易错分析 1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误； 2. 韦达定理公式记错； 3. 转化时混淆不等式的方向。 【变式训练2-1·变载体】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由韦达定理求出的值，即可写出答案； （2）根据题意写出数列的通项公式，利用裂项相消求出，即可得证. 【详解】（1）由题意可知：是函数的两个零点. 由韦达定理可知： 所以 当时， 所以; （2）已知，由（1）可得， 当时，. 当时，. 则， 去括号可得 当时，，满足. 当时，，因为，所以，则，即. 综上，. 【变式训练2-2·】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解即可. （2）对变形化简，结合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，所以，且的两根为和2. 所以，，解得，. 所以. （2）. 因为，所以，令，则. 又在上单调递增，，， 所以在上的值域为， 即在区间上的值域为. 【变式训练2-3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 题型3 分式与高次不等式的解法 例3-1已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 例3-2（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， . 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母； 2. 穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则； 3. 注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。 易错分析 范围扩大问题 1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件； 2. 穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误； 3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。 【变式训练3-1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 【变式训练3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集. 【详解】由题意得：， 由，化简得，解得：； 由，化简，解得； 取交集得： 【变式训练3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【答案】(1)2个；； (2)证明见解析 【分析】（1）求导，由不同实根的个数判断；由，利用穿根法求解； （2）由，设，代入求解. 【详解】（1）因为， 所以， 令， 因为，两个根为， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极值，所以有两个极值点； 由， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为：. （2）由， 设， 则， ， 所以， 所以当时，. 题型4 绝对值与指数对数不等式的解法 例4-1设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，然后利用集合交集定义运算的结果. 【详解】由可得，则，即， 又由可得，则，即， ∴. 故选：A. 例4-2（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及分式不等式的解法解不等式，再结集合间的关系判断求解. 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 方法技巧 1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法； 2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化； 3. 对数不等式必须保证真数大于 0。 易错分析 1. 绝对值不等式漏写等价条件； 2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响； 3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。 【变式训练4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设集合，，则中整数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．16 【答案】B 【分析】先分别求解对数不等式和分式不等式得到集合、，计算二者的交集后统计交集中的整数个数即可. 【详解】对数函数的定义域为，不等式可变形为， 由于在上单调递增，因此，即. 分式不等式等价于，解得，即. ，其中的整数为，共4个. 【变式训练4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，结合指数函数的单调性解得，即； 由，解得，即， 则 【变式训练4-3·变考法】（2026·湖南湘西·三模）已知函数的定义域为,，且当时，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集中所有区间的长度之和为（区间的长度区间右端点区间左端点） D．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则 【答案】BCD 【分析】利用函数单调性的定义分析出函数为上的增函数，结合该函数的单调性与对数函数的单调性得出，再利用函数单调性与不等式的基本性质可判断A选项；构造函数且，利用导数分析该函数的单调性，结合不等式的性质可判断B选项；利用函数的单调性以及分式不等式的解法与题意可判断C选项；由题设条件得出，变形得出，对实数的取值进行分类讨论，结合题意得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】因为函数的定义域为,， 任取、且，， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，所以为上的增函数， 又，所以，所以． 对于A，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，由在上单调递增，可知，故， 对于且，， 所以在上单调递减，则， 所以，故B正确； 对于C，由可得， 即， 等价于， 借助数轴，得到各个因式之积的符号，如图所示： 所以原不等式的解集是或，区间的总长度为，故C正确； 对于D，不等式两边同时平方可得， 当时，恒成立，不符合题意， 当时，，则原不等式可化为， 解得或，此时，原不等式有无数个整数解，不符合题意， 当时，，则原不等式可化为，解得， 若原不等式有且仅有一个整数解，则这个整数解为，所以， 所以，解得，又因为，所以，故D正确． 题型5 含参一元二次不等式的解法 例5-1（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 例5-2（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 方法技巧 1. 按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论； 2. 分类时做到不重不漏； 3. 最后将各种情况的结果综合起来。 易错分析 1. 忽略二次项系数为 0 的情况； 2. 分类讨论不全面； 3. 比较根的大小时出错。 【变式训练5-1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 【变式训练5-2】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 【变式训练5-3】（2026·山西吕梁·二模）设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 【答案】. 【分析】利用函数表达式求出函数的定义域，通过分离参数，构造新函数，分类讨论新函数的单调性，根据单调性判断交点情况，从而得到答案. 【详解】由于函数恰有一个零点，等价于只有一个解， 令，因此，可得或， 因此，函数的定义域必须满足或，以及， ①当时，函数的定义域为，则，令，符合条件. ②当时，由可得，或， 先考虑的情况，当时，显然不成立，因此，只考虑且的情况， 此时方程变为两边平方得， 化简得， 令，则， 令，得， 因此当时，单调递减，当时，单调递增；当时，单调递减， 且时，时，，， 因此当时，方程有两个解，即方程有两个解； 当时，方程有唯一解，即方程在上有唯一解； 再考虑的情况，此时方程变为， 两边平方得，化简得， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 且时，， ， 所以当时，方程有两个解，即方程有两个解； 当时，方程有唯一解，即方程在上有唯一解. 因此，要使函数恰有一个零点，则的取值范围只能取. ③当时，由可得， ， 先考虑的情况，则函数的定义域为， 此时方程变为，化简可得， 由②可知在时没有解，因此不符合条件；再考虑的情况，由于，因此也不符合条件. 综上所述，若函数恰有一个零点，因此的取值范围为. 【变式训练5-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题 例6-1（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 例6-2（2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 方法技巧 优先使用分离参数法 1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值； 2. 恒成立：恒成立；恒成立； 3. 能成立：能成立；能成立； 4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。 易错分析 1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求； 2、求函数最值时忽略定义域； 3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。 【变式训练6-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 【变式训练6-3】（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，，. 故选：A 2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 二、填空题 3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、解答题 1．（19-20高一·全国·课后作业）已知集合，，求. 【答案】 【分析】解出集合、，然后利用并集的定义可求出集合. 【详解】， 或， 画数轴如图，可知.    【点睛】本题考查并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 2．（19-20高一·全国·课后作业）已知,求的取值范围. 【答案】 【解析】由将两边平方，可得，再表示出夹角的余弦值，根据余弦函数的有界性得到不等式，解得. 【详解】解：,则. ,得, , 即. ， , 的取值范围是. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．（19-20高一·全国·课后作业）已知，，求，. 【答案】或，或. 【解析】求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，. 【详解】或， 或. 因此，或，或. 【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 4．（19-20高一·全国·课后作业）要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？ 【答案】长度应该在内 【解析】设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，，从而求解二次不等式的解集． 【详解】解：设水池的长为，宽为；总造价为元； 则，故； ； 则； 解得，； 故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内． 【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题． 5．（19-20高一·全国·课后作业）当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 【答案】 【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解. 【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方， 即，得. 当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．（19-20高一·全国·课后作业）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:)之间有如下关系:.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)? 【答案】 【分析】根据题意可得不等式,结合一元二次不等式与一元二次方程的关系,由二次函数的图像与性质,即可求得刹车前的最小速度. 【详解】根据题意,得. 移项整理,得. 对于方程, 则,方程有两个实数根,. 画出二次函数的图象如下图所示: 结合图象得不等式的解集为或 从而原不等式的解集为或 因为车速,所以 而,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次函数在实际问题中的应用,属于基础题. 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $