第08讲 可化为一元一次方程的分式方程（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第08讲 可化为一元一次方程的分式方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断分式方程 题型2 解可化为一元一次方程的分式方程 题型3 根据分式方程解的性质求参数取值 题型4 分式方程无解问题 题型5 列分式方程 题型6 分式方程解的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 分式方程、分母含未知数、整式方程、一元一次方程、最简公分母、增根、无解 1.理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤，熟练完成去分母、解整式方程、检验全过程。 3.理解分式方程增根的概念、产生原因，牢记解分式方程必须检验的要求。 会利用分式方程解决简单的实际应用问题，能根据题意列方程并求解。 学习重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程的实际应用。 学习难点：理解增根的含义；根据实际问题准确列出分式方程，并结合实际意义取舍解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 分式方程的定义 1. 分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程。 2. 关键辨析： 区分整式方程与分式方程的核心标准是中是否含有未知数： 整式方程：分母不含未知数，例如、，这两类方程分母中的数都是常数，不含有未知数，因此都是整式方程； 分式方程：分母必须含有未知数，例如、，分母中都含有未知数$x$，因此属于分式方程。 即时即练 下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【方法总结】 判断一个方程是否为分式方程，只需观察：方程的分母中是否含有未知数，如果有就是分式方程，反之则是整式方程。注意不要把“含有字母常数”的整式方程误判为分式方程. 知识点02 分式方程的解法 1.基本思路：解分式方程的核心思路是化分式方程为方程，也就是通过去分母，将分式方程转化为我们已经学过的一元一次方程，再求解。 2.一般步骤： ：给方程两边同时乘以各个分式的最简公分母，消去分母，把分式方程转化为整式方程。 ：按照一元一次方程的解法步骤，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 ：将求得的未知数的值代入最简公分母中，如果最简公分母不等于0，那么这个值就是原分式方程的解. 即时即练 分式方程 的解为（     ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的解． 【方法总结】 解分式方程可以按照“一去二解三检验”的步骤进行： 1.去分母：确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母，化分式方程为一元一次方程，注意不要漏乘项，分子是多项式要加括号； 2.解一元一次方程，求出未知数的值； 3.检验：将根代入最简公分母，判断分母是否为0，确定原方程是否有解。 知识点03 增根的概念 增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为的根，增根不是原分式方程的根，因此解分式方程必须检验。 即时即练 分式方程的增根是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行判断即可． 本题考查的是分式方程的增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键． 【详解】解： 最简公分母：分母可分解为，另一分母为，故公分母为， 两边同乘，得： 解得：， 检验增根：将代入原方程的分母和，结果均为，说明使分母无意义，是增根， 虽使，但并非方程的解，故不选A或C； 不使分母为零，故D错误， 综上，增根为， 故选：B 【方法总结】 增根是分式方程化为整式方程后，使原分母为0的根，因去分母扩大未知数取值范围产生。解分式方程要先去分母化为整式方程求解，再代入最简公分母验根；遇含参数的题型，需结合增根、整式方程无解两种情况分析。 知识点04 分式方程无解与增根的关系 1. 增根：满足去分母后的整式方程，但不满足（使原方程分母为0）； 2. 分式方程无解：包含两种情况： 情况一：去分母后得到的整式方程本身，因此原分式方程也无解； 情况二：去分母后得到的整式方程有解，但这个解是，因此原分式方程无解。 即时即练 如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 【方法总结】 已知分式方程有增根或无解求参数的值，步骤为： 1.先将分式方程去分母化为整式方程； 2.根据条件分析：如果是已知增根，将增根代入整式方程即可求出参数值；如果是已知无解，分两种情况讨论：一是整式方程本身无解（系数为0，常数项不为0），二是整式方程的解是增根，分别计算求出参数值。 题型1 判断分式方程 【例1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【例2】下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，逐一检查各选项分母即可判断． 【详解】解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意； C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意； D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 1.紧扣分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，这是区分分式方程和整式方程的核心依据。 2.区分“未知数”和“字母参数”：如果分母中含有的字母是常数参数（比如已知数a、b，不是未知数），那么该方程仍然是整式方程，不是分式方程。 【变式1-1】下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 【变式1-2】请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 题型2解可化为一元一次方程的分式方程 【例1】解方程： 【答案】 【分析】先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 【例2】解方程． 【答案】 【分析】方程两边都乘以，化分式方程为整式方程，然后根据整式方程的求解方法解答即可． 【详解】解：， 方程两边都乘以得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，, 检验:当时，， 故原方程的解是． 【技巧归纳】 解分式方程遵循“一去二解三检验四结论”四步走： 1.去分母：化分式方程为整式方程 2.解整式方程：求解得到的一元一次方程 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，求出未知数的值。 3.检验：分式方程必须检验，这是区别于整式方程的核心步骤 4.写出结论：明确给出方程的解或者说明方程无解 【变式1-1】若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 【变式1-2】若代数式的值为1，则_______． 【答案】 【分析】根据代数式的值为1列出分式方程，按照解分式方程的步骤求解并检验，即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得 方程两边同乘，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， ，则是原分式方程的解． 题型3 根据分式方程解的性质求参数取值 【例1】若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知解代入原分式方程，即可求解得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得，即， 解得． 【例2】已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是正数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：， 原方程可化为， 方程两边同乘，得， 展开整理得， 解得， ∵分式方程的解是正数，且分母不能为零， ∴， 解得且． 【技巧归纳】 已知解的正负性求参数范围： 1.按照解分式方程的步骤，去分母解出未知数x，用含参数的代数式表示x； 2.根据题目给出的解的性质（解为正数→x>0，解为非负数→x≥0，以此类推）列出关于参数的不等式； 3.千万不要遗漏隐含条件：分式方程的分母不能为0，也就是解x不能让原分式方程的任何一个分母为0，因此还要列出关于参数的另一个不等式，排除让分式方程产生增根的参数值； 4.联立两个不等式，求出参数的最终取值范围。 已知分式方程无解/有增根求参数值： 1.按照解分式方程的步骤去分母，得到一元一次整式方程； 2.确定分式方程的增根：增根是让原分式方程分母为0的未知数的值，因此先令原方程的所有分母为0，解出所有可能的增根； 3.因为增根是去分母后得到的整式方程的解，所以把增根代入整式方程，就能求出参数的值； 【变式1-1】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 【变式1-2】若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的定义确定增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 关于的分式方程有增根， ，即增根为， 把代入得：， 解得． 题型4 分式方程无解问题 【例1】若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 【例2】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 【技巧归纳】 分式方程无解分两类：一是解为增根，二是转化后的整式方程本身无解。先求增根、化整式方程，再分两种情况代入计算参数即可。 【变式1-1】若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 【变式1-2】已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 题型5列分式方程 【例1】根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用题，解题思路为根据B型单价表示出A型单价，再结合总预算计算两种工具的可购买数量，最后根据数量关系列方程． 【详解】解：设B型工具单价为元/把， 由“A型工具单价比B型便宜20元”可得A型工具单价为元/把， 根据“如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把”可得， A选项符合题意． 【例2】某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将时间单位统一为小时，再根据速度关系得到甲车速度，最后利用“甲车行驶时间比乙车多5分钟”列方程即可. 【详解】解：，设乙车速度为，乙车速度是甲车速度的倍， 甲车速度为，甲车行驶全程的时间为，乙车行驶全程的时间为， 甲车先走，两车同时到达，即甲车比乙车多行驶， 列方程得. 【技巧归纳】 先审题找准题目中的等量关系，合理设未知数。根据等量关系列出分式方程，求解后务必检验，同时结合实际情况判断解是否有效。 【变式1-1】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 【变式1-2】为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，列出分式方程即可. 【详解】解：设原计划人数为人，则实际人数为人，由题意， . 题型6 分式方程解的实际应用 【例1】A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【答案】 从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为 【分析】本题利用“时间=路程÷速度”的关系，设出开往甲地的列车速度，再表示出开往乙地的速度，根据两地所需时间相等列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解: 设从A市开往甲地的列车速度为km/h，则从A市开往乙地的列车速度为， 根据题意得， ， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ， 答：从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为． 【例2】某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【答案】千克 【分析】设乙队每天采茶千克，则甲队每天采茶千克，由题意得，解得． 【详解】解：设乙队每天采茶千克，则， 方程两边同乘以，得， 化简得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：乙队每天采茶千克． 【技巧归纳】 遵循“设找列解答”五步解题法： 1.设未知数：根据题目设问设出未知数，注意带单位；如果直接设所求量不方便，也可以间接设未知数。 2.找等量关系：这是列方程的核心，不同类型问题有固定等量关系： 3.列分式方程：根据等量关系列出分式方程，注意单位统一。 4.解方程：按照解分式方程的步骤解方程，不要忘记检验。 5.检验+答：实际应用问题的检验分两步：第一步检验求出的解是否是原分式方程的解，第二步检验求出的解是否符合实际意义（比如人数不能是负数、速度不能为负等等），之后写出完整答案，带单位。 【变式1-1】列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． (1)求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ (2)由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 【答案】(1)该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋 (2)12 【分析】（1）设每天生产乙种火锅底料的数量为未知数，根据题干给出的数量关系列一元一次方程即可求解； （2）根据改进后的日产量变化，结合时间差的关系，列出分式方程，求解并检验即可得到的值． 【详解】（1）解：设该厂每天生产乙种火锅底料袋，则每天生产甲种火锅底料袋， 根据题意列方程得： 解得， 则， 答：该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； （2）解：由（1）可得该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； 改进后每天生产甲种火锅底料 袋，每天生产乙种火锅底料 袋， 根据题意列方程得：， 解得， 检验：当时， ， 因此是原方程的解． 【变式1-2】我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 3．解分式方程 ，去分母后正确变形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，注意处理互为相反数的分母的符号问题； 【详解】解：，，最简公分母为 ∴ 方程两边同时乘以， 去分母，得； 4．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照去分母将分式方程化为整式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：， 方程两边同乘 去分母，得 ， 展开整理得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 5．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先求出分式方程的解，再根据解是正数得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵方程的解是正数， ∴，且， 即，且， 解得且． 6．若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先理解分式方程的增根是使分式分母为0的根，由此确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程有增根，且分母为 ∴， 即 ∵ ∴ 整理得 将增根代入上式得． 7．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 8．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 9．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相等，结合时间等于路程除以速度的关系列方程即可． 【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前的平均速度为 ， 根据题意得：． 10．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 11．若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程的分母为零，即产生增根，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：原分式方程为 ， 方程变形为 ， 方程两边同乘最简公分母，得： 整理得整式方程：， 分两种情况讨论： ①当整式方程无解 对于一元一次方程，当时方程无解， 因此令，解得， 此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． ②整式方程有解，但解为原分式方程的增根 原分式方程的增根满足分母，因此增根为， 将代入整式方程，得： ，解得， 此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意． 综上，的值为或． 12．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 三、解答题 13．解分式方程：． 【答案】 【分析】先对分母因式分解得到最简公分母，将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使分母不为零，得到原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，方程两边再同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验:当时，，即不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 15．端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． (1)求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； (2)该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 【答案】(1) 每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． (2) 每盒咸粽的售价为135元． 【分析】（1）设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元，根据题意列出分式方程，求解即可，注意检验． 【详解】（1）解：设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元， 根据题意得，， 解得， 答：每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． （2）解：设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 每盒咸粽的售价为：（元）， 答：每盒咸粽的售价为135元． 16．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 【答案】(1)这种苹果的进价是元每千克 (2)乙购买水果的总质量更大 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【详解】（1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 17．新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 【答案】66米 【分析】设原计划每天铺设路面米，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天铺设路面米，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天铺设路面66米． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 可化为一元一次方程的分式方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断分式方程 题型2 解可化为一元一次方程的分式方程 题型3 根据分式方程解的性质求参数取值 题型4 分式方程无解问题 题型5 列分式方程 题型6 分式方程解的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 分式方程、分母含未知数、整式方程、一元一次方程、最简公分母、增根、无解 1.理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法步骤，熟练完成去分母、解整式方程、检验全过程。 3.理解分式方程增根的概念、产生原因，牢记解分式方程必须检验的要求。 会利用分式方程解决简单的实际应用问题，能根据题意列方程并求解。 学习重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程的实际应用。 学习难点：理解增根的含义；根据实际问题准确列出分式方程，并结合实际意义取舍解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 分式方程的定义 1. 分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程。 2. 关键辨析： 区分整式方程与分式方程的核心标准是中是否含有未知数： 整式方程：分母不含未知数，例如、，这两类方程分母中的数都是常数，不含有未知数，因此都是整式方程； 分式方程：分母必须含有未知数，例如、，分母中都含有未知数$x$，因此属于分式方程。 即时即练 下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 判断一个方程是否为分式方程，只需观察：方程的分母中是否含有未知数，如果有就是分式方程，反之则是整式方程。注意不要把“含有字母常数”的整式方程误判为分式方程. 知识点02 分式方程的解法 1.基本思路：解分式方程的核心思路是化分式方程为方程，也就是通过去分母，将分式方程转化为我们已经学过的一元一次方程，再求解。 2.一般步骤： ：给方程两边同时乘以各个分式的最简公分母，消去分母，把分式方程转化为整式方程。 ：按照一元一次方程的解法步骤，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出未知数的值。 ：将求得的未知数的值代入最简公分母中，如果最简公分母不等于0，那么这个值就是原分式方程的解. 即时即练 分式方程 的解为（     ） A． B． C． D．无解 【方法总结】 解分式方程可以按照“一去二解三检验”的步骤进行： 1.去分母：确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母，化分式方程为一元一次方程，注意不要漏乘项，分子是多项式要加括号； 2.解一元一次方程，求出未知数的值； 3.检验：将根代入最简公分母，判断分母是否为0，确定原方程是否有解。 知识点03 增根的概念 增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为的根，增根不是原分式方程的根，因此解分式方程必须检验。 即时即练 分式方程的增根是（   ） A． B．1 C． D．2 【方法总结】 增根是分式方程化为整式方程后，使原分母为0的根，因去分母扩大未知数取值范围产生。解分式方程要先去分母化为整式方程求解，再代入最简公分母验根；遇含参数的题型，需结合增根、整式方程无解两种情况分析。 知识点04 分式方程无解与增根的关系 1. 增根：满足去分母后的整式方程，但不满足（使原方程分母为0）； 2. 分式方程无解：包含两种情况： 情况一：去分母后得到的整式方程本身，因此原分式方程也无解； 情况二：去分母后得到的整式方程有解，但这个解是，因此原分式方程无解。 即时即练 如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【方法总结】 已知分式方程有增根或无解求参数的值，步骤为： 1.先将分式方程去分母化为整式方程； 2.根据条件分析：如果是已知增根，将增根代入整式方程即可求出参数值；如果是已知无解，分两种情况讨论：一是整式方程本身无解（系数为0，常数项不为0），二是整式方程的解是增根，分别计算求出参数值。 题型1 判断分式方程 【例1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.紧扣分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，这是区分分式方程和整式方程的核心依据。 2.区分“未知数”和“字母参数”：如果分母中含有的字母是常数参数（比如已知数a、b，不是未知数），那么该方程仍然是整式方程，不是分式方程。 【变式1-1】下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【变式1-2】请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 题型2解可化为一元一次方程的分式方程 【例1】解方程： 【例2】解方程． 【技巧归纳】 解分式方程遵循“一去二解三检验四结论”四步走： 1.去分母：化分式方程为整式方程 2.解整式方程：求解得到的一元一次方程 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，求出未知数的值。 3.检验：分式方程必须检验，这是区别于整式方程的核心步骤 4.写出结论：明确给出方程的解或者说明方程无解 【变式1-1】若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【变式1-2】若代数式的值为1，则_______． 题型3 根据分式方程解的性质求参数取值 【例1】若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 【例2】已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【技巧归纳】 已知解的正负性求参数范围： 1.按照解分式方程的步骤，去分母解出未知数x，用含参数的代数式表示x； 2.根据题目给出的解的性质（解为正数→x>0，解为非负数→x≥0，以此类推）列出关于参数的不等式； 3.千万不要遗漏隐含条件：分式方程的分母不能为0，也就是解x不能让原分式方程的任何一个分母为0，因此还要列出关于参数的另一个不等式，排除让分式方程产生增根的参数值； 4.联立两个不等式，求出参数的最终取值范围。 已知分式方程无解/有增根求参数值： 1.按照解分式方程的步骤去分母，得到一元一次整式方程； 2.确定分式方程的增根：增根是让原分式方程分母为0的未知数的值，因此先令原方程的所有分母为0，解出所有可能的增根； 3.因为增根是去分母后得到的整式方程的解，所以把增根代入整式方程，就能求出参数的值； 【变式1-1】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于x的方程有增根，则m的值为______． 题型4 分式方程无解问题 【例1】若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【例2】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【技巧归纳】 分式方程无解分两类：一是解为增根，二是转化后的整式方程本身无解。先求增根、化整式方程，再分两种情况代入计算参数即可。 【变式1-1】若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【变式1-2】已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 题型5列分式方程 【例1】根据《义务教育劳动课程标准（2022版）》的要求，某中学计划采购A、B两种型号的劳动工具开展农耕实践活动，预算总额设定为1200元．已知A型工具的单价比B型工具的单价便宜20元，如果全部购买A型工具，可比全部购买B型工具多买3把．设B型工具的单价为x元/把，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设乙车的速度为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 先审题找准题目中的等量关系，合理设未知数。根据等量关系列出分式方程，求解后务必检验，同时结合实际情况判断解是否有效。 【变式1-1】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【变式1-2】为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 题型6 分式方程解的实际应用 【例1】A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【例2】某茶叶合作社在春茶采摘季，安排甲、乙两个采茶队同时开采同一片茶园，假设两队每天各自的采茶量均恒定，已知甲队每天的采茶量是乙队每天采茶量的倍．合作社计划让两队各自独立采茶千克，实际执行时，甲队比乙队提前5天完成任务，求乙队每天采茶多少千克？ 【技巧归纳】 遵循“设找列解答”五步解题法： 1.设未知数：根据题目设问设出未知数，注意带单位；如果直接设所求量不方便，也可以间接设未知数。 2.找等量关系：这是列方程的核心，不同类型问题有固定等量关系： 3.列分式方程：根据等量关系列出分式方程，注意单位统一。 4.解方程：按照解分式方程的步骤解方程，不要忘记检验。 5.检验+答：实际应用问题的检验分两步：第一步检验求出的解是否是原分式方程的解，第二步检验求出的解是否符合实际意义（比如人数不能是负数、速度不能为负等等），之后写出完整答案，带单位。 【变式1-1】列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． (1)求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ (2)由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 【变式1-2】我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 3．解分式方程 ，去分母后正确变形是（     ） A． B． C． D． 4．分式方程的解为（     ） A． B． C． D． 5．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 8．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 9．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 11．若关于的分式方程无解，则的值是________． 12．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 三、解答题 13．解分式方程：． 14．解方程： (1)； (2)． 15．端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． (1)求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； (2)该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 16．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 17．新型城镇化建设是我国现代化建设的重要战略，为落实“新型城镇化建设”的工作要求，某市对城郊结合部一段全长为1950米的民生道路进行升级改造，铺设透水沥青路面．施工队铺设650米后，为加快新型城镇化建设进度，后续每天的施工效率比原计划提高，最终共用25天完成了全部改造任务．问原计划每天铺设路面多少米？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $