第07讲 整数指数幂（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第07讲 整数指数幂 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 整数指数幂的基本概念辨析 题型2 比较整数指数幂的大小 题型3 科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4 同底数幂的除法运算 题型5 同底数幂的除法的逆用 题型6 整数指数幂的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 负整数指数幂、零指数幂、底数、指数、幂的运算 1. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，牢记相关运算法则。 2. 熟练运用整数指数幂公式进行计算、化简与求值。 3. 能结合幂的运算性质解决综合题型，规范运算步骤。 学习重点：掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟练进行计算与化简。 学习难点：理解负整数指数幂的含义，混合运算中符号、公式混用易出错，灵活运用法则解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同底数幂相除 1.法则：同底数幂相除，底数，指数÷=(a≠0，m、n为正整数，且m>n) 2.注意：底数可为数、字母或多项式，运算时先确定符号，结果化为最简形式 即时即练 计算：____． 【方法总结】 1. 先确认底数相同，底数不变，直接用被除式指数减去除式指数。 2. 遇到指数相等得零指数幂（结果为1，底数不为0），指数偏小则转化为负整数指数幂。 3. 混合运算先定符号，分步计算，最终整理成最简形式。 知识点02 零指数幂 1.规定：=(a≠0) 2.解读：0 的 0 次幂无意义；任何非零数的零次幂结果恒为 1。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 【方法总结】 看到指数为 0，先判断底数是否为 0，底数非零直接写结果 1，底数为 0 则式子无意义。 知识点03 负整数指数幂 1.规定：=((a≠0，p为正整数) 2.拓展：=负指数幂本质是取倒数、变正指数。 即时即练 计算的结果是（    ） A．100 B． C． D．0.1 【方法总结】 负指数幂化简口诀：负指数，变倒数，指数转正数；分式、负数底数同样适用，运算优先处理负指数。 知识点04 科学记数法（绝对值小于 1 的数） 1.形式：a×，(1≤|a |<10,n为正整数） 2.规则：n等于原数左边起第个非零数字前面所有 0 的个数（包含小数点前的 0）。 即时即练 人体白细胞是机体防御疾病的重要“卫士”，某白细胞的直径约为．将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 小数转科学记数法：数前置 0 的个数，确定负指数n； 科学记数法转小数：将a的小数点向左移动n位 题型1 整数指数幂的基本概念辨析 【例1】可以表示为（    ） A．2 B． C． D． 【例2】计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D．20 【技巧归纳】 明确零指数幂和负整数指数幂的成立条件：零指数幂a0=1成立的前提是a≠0，若底数为含字母的代数式，必须满足代数式整体不等于0；负整数指数幂a−p=1ap（a≠0，(p)是正整数），同样要求底数不为0，遇到涉及零指数幂或负整数指数幂有意义的题目，第一步先列不等式求底数的取值范围。 【变式1-1】已知，当m是最大的负整数时，n的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型2比较整数指数幂的大小 【例1】比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 【例2】10和1﹣1的大小关系是（　　） A．相等 B．10大 C．1﹣1大 D．无法比较 【技巧归纳】 先把幂统一转化为相同指数形式，依据底数大小判断数值高低。 2. 也可将幂化为普通实数，直接对比数值大小即可。 【变式1-1】已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 【变式1-2】若，，，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】经测算，一粒芝麻的质量约为0.0000035千克，则将数据0.0000035用科学记数法表示为____________． 【例2】航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 遇到带单位的数值，先统一单位再转化，比如把1纳米换算成米，已知(1)纳米米，直接写米即可，如果是35纳米就是米，不要记错指数 【变式1-1】春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（     ） A．280000 B．2800000 C．0.0000028 D．0.000028 【变式1-2】4月19日，2026北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛，荣耀“闪电”机器人以50分26秒冲过终点线，不仅甩开人类男子半马世界纪录，更把一年前的机器人半马成绩压缩了110分钟．据悉，荣耀“闪电”机器人的底层控制周期在8毫秒左右．1秒=1000毫秒，那么8毫秒用科学记数法表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 题型4 同底数幂的除法运算 【例1】计算：______． 【例2】_________． 【技巧归纳】 1. 运算直接套用底数不变、指数相减，先确认底数不为0。 2. 出现零指数、负指数，按对应规则化简，最后整理结果。 3. 多个同底数幂连除，依次合并指数，注意符号与括号。 【变式1-1】若，则的值为__________． 【变式1-2】已知，那么______． 题型5 同底数幂的除法的逆用 【例1】若，则的值为_____． 【例2】若，则______． 【技巧归纳】 1. 把指数相减拆成幂相除，灵活拆分指数实现式子变形。 2. 求值、化简题型中，逆用法则拆分整体，代入已知条件快速计算。 3. 遇负指数、零指数，结合整数指数幂规则同步化简。 【变式1-1】若，，则______． 【变式1-2】已知，则的值是_____ ． 题型6 整数指数幂的混合运算 【例1】计算：． 【例2】计算：．（结果不含负指数幂） 【技巧归纳】 计算整数指数幂混合运算时，所有负指数先转化为正指数再通分计算，或者保留指数形式运算最后再整理 整数指数幂运算的最终结果，通常要求化为正整数指数幂的形式，也就是说结果里不能保留负指数，一定要记得最后转化。 【变式1-1】已知，则________． 【变式1-2】计算：______． 1．科技兴则民族兴，科技强则国家强，近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管的厚度约为0.0000000004米，数据0.0000000004用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 3．下列运算结果一定是的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 5．若，，则的值为（   ） A． B．2 C．4 D．15 6．计算的结果是_______． 7．_____． 8．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为__________． 9．比较大小：______（填“”“”或“”）． 10．若，，则________． 11．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 12．计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 整数指数幂 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 整数指数幂的基本概念辨析 题型2 比较整数指数幂的大小 题型3 科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4 同底数幂的除法运算 题型5 同底数幂的除法的逆用 题型6 整数指数幂的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 负整数指数幂、零指数幂、底数、指数、幂的运算 1. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义，牢记相关运算法则。 2. 熟练运用整数指数幂公式进行计算、化简与求值。 3. 能结合幂的运算性质解决综合题型，规范运算步骤。 学习重点：掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟练进行计算与化简。 学习难点：理解负整数指数幂的含义，混合运算中符号、公式混用易出错，灵活运用法则解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同底数幂相除 1.法则：同底数幂相除，底数，指数÷=(a≠0，m、n为正整数，且m>n) 2.注意：底数可为数、字母或多项式，运算时先确定符号，结果化为最简形式 即时即练 计算：____． 【答案】 【详解】解： 【方法总结】 1. 先确认底数相同，底数不变，直接用被除式指数减去除式指数。 2. 遇到指数相等得零指数幂（结果为1，底数不为0），指数偏小则转化为负整数指数幂。 3. 混合运算先定符号，分步计算，最终整理成最简形式。 知识点02 零指数幂 1.规定：=(a≠0) 2.解读：0 的 0 次幂无意义；任何非零数的零次幂结果恒为 1。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 【答案】C 【详解】解：任何非零数的0次幂都等于1，即． 【方法总结】 看到指数为 0，先判断底数是否为 0，底数非零直接写结果 1，底数为 0 则式子无意义。 知识点03 负整数指数幂 1.规定：=((a≠0，p为正整数) 2.拓展：=负指数幂本质是取倒数、变正指数。 即时即练 计算的结果是（    ） A．100 B． C． D．0.1 【答案】A 【详解】解：． 【方法总结】 负指数幂化简口诀：负指数，变倒数，指数转正数；分式、负数底数同样适用，运算优先处理负指数。 知识点04 科学记数法（绝对值小于 1 的数） 1.形式：a×，(1≤|a |<10,n为正整数） 2.规则：n等于原数左边起第个非零数字前面所有 0 的个数（包含小数点前的 0）。 即时即练 人体白细胞是机体防御疾病的重要“卫士”，某白细胞的直径约为．将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【方法总结】 小数转科学记数法：数前置 0 的个数，确定负指数n； 科学记数法转小数：将a的小数点向左移动n位 题型1 整数指数幂的基本概念辨析 【例1】可以表示为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】运用负整数指数幂的运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】解：． 【例2】计算的结果是（   ） A．0 B．1 C．2 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，熟知任何不为零的数的零次幂为是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【技巧归纳】 明确零指数幂和负整数指数幂的成立条件：零指数幂a0=1成立的前提是a≠0，若底数为含字母的代数式，必须满足代数式整体不等于0；负整数指数幂a−p=1ap（a≠0，(p)是正整数），同样要求底数不为0，遇到涉及零指数幂或负整数指数幂有意义的题目，第一步先列不等式求底数的取值范围。 【变式1-1】已知，当m是最大的负整数时，n的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先确定最大的负整数m的值，再代入指数方程计算n． 本题考查了有理数的分类及负指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ m是最大的负整数， ∴. ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式1-2】若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零指数幂的定义，底数不为0即可求解； 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 题型2比较整数指数幂的大小 【例1】比较大小：_____（填“”“>”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据零指数幂运算法则可得， 根据负整数指数幂运算法则可得， 因为正数大于负数，可得， 因此． 【例2】10和1﹣1的大小关系是（　　） A．相等 B．10大 C．1﹣1大 D．无法比较 【答案】A 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义化简后比较． 【详解】解：∵10=1，1﹣1==1， ∴10=1﹣1， 故选A． 【技巧归纳】 先把幂统一转化为相同指数形式，依据底数大小判断数值高低。 2. 也可将幂化为普通实数，直接对比数值大小即可。 【变式1-1】已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 【答案】 【分析】根据相关运算法则求出a、b、c的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 【变式1-2】若，，，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数比较大小，零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂，负整数指数幂和乘方计算法则求出的值，再根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵，，，，且， ∴， 故选：C． 题型3 科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】经测算，一粒芝麻的质量约为0.0000035千克，则将数据0.0000035用科学记数法表示为____________． 【答案】 【详解】解：． 【例2】航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值是解题关键，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此解答即可． 【详解】解：左起第一个非零数字为，原数小数点需向右移动位得到，满足， ． 【技巧归纳】 遇到带单位的数值，先统一单位再转化，比如把1纳米换算成米，已知(1)纳米米，直接写米即可，如果是35纳米就是米，不要记错指数 【变式1-1】春季是树木花粉的散播高峰期，杨树、柏树等风媒花花粉颗粒小、质量轻、产量大、传播远，极易被吸入呼吸道诱发过敏．一颗柏树花粉的直径仅约为．的原数为（     ） A．280000 B．2800000 C．0.0000028 D．0.000028 【答案】D 【分析】利用的还原规则，将的小数点向左移动位即可得到原数． 【详解】解：对于科学记数法，还原为原数时，需要把的小数点向左移动位， 对于来说，只需将的小数点向左移动5位，即可得到原数为． 【变式1-2】4月19日，2026北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛，荣耀“闪电”机器人以50分26秒冲过终点线，不仅甩开人类男子半马世界纪录，更把一年前的机器人半马成绩压缩了110分钟．据悉，荣耀“闪电”机器人的底层控制周期在8毫秒左右．1秒=1000毫秒，那么8毫秒用科学记数法表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【详解】解：∵秒毫秒， ∴毫秒秒秒， ∴毫秒秒． 题型4 同底数幂的除法运算 【例1】计算：______． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方，再根据同底数幂的除法法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = ． 【例2】_________． 【答案】0 【分析】根据同底数幂的除法法则和同底数幂的乘法法则分别计算两部分，再合并同类项得到最终结果． 【详解】 ． 【技巧归纳】 1. 运算直接套用底数不变、指数相减，先确认底数不为0。 2. 出现零指数、负指数，按对应规则化简，最后整理结果。 3. 多个同底数幂连除，依次合并指数，注意符号与括号。 【变式1-1】若，则的值为__________． 【答案】64 【分析】由得，再根据同底数幂除法法则计算． 【详解】解：， ， ． 【变式1-2】已知，那么______． 【答案】16 【分析】用同底数幂法则化简，再将代入即可． 【详解】解：， , ． A． B． C． D． 题型5 同底数幂的除法的逆用 【例1】若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的除法逆运算法则，将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 【例2】若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 则． 【技巧归纳】 1. 把指数相减拆成幂相除，灵活拆分指数实现式子变形。 2. 求值、化简题型中，逆用法则拆分整体，代入已知条件快速计算。 3. 遇负指数、零指数，结合整数指数幂规则同步化简。 【变式1-1】若，，则______． 【答案】1 【分析】根据幂的运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算． 【详解】解：若，， 【变式1-2】已知，则的值是_____ ． 【答案】4 【分析】先把变形为，再根据同底数幂的除法法则将要求的式子变形为，然后逆用幂的乘方法则得出，最后代入计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴ ． 题型6 整数指数幂的混合运算 【例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂以及同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【例2】计算：．（结果不含负指数幂） 【答案】 【分析】利用整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 计算整数指数幂混合运算时，所有负指数先转化为正指数再通分计算，或者保留指数形式运算最后再整理 整数指数幂运算的最终结果，通常要求化为正整数指数幂的形式，也就是说结果里不能保留负指数，一定要记得最后转化。 【变式1-1】已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式1-2】计算：______． 【答案】 【分析】根据根据积的乘方的运算法则，可得到，再根据单项式的除法法则以及负整数指数幂的运算法则可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，熟记和灵活应用公式是解决问题的关键． 1．科技兴则民族兴，科技强则国家强，近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近6000个晶体管，每个晶体管的厚度约为0.0000000004米，数据0.0000000004用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定a与n的值即可求解． 【详解】解：∵对于，将原数变为a时，需将小数点向右移动10位得到，满足， ∴， ∴用科学记数法表示为． 2．计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 【答案】C 【详解】解：任何非零数的0次幂都等于1，即． 3．下列运算结果一定是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则分别计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】对各选项逐一计算判断： A选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，可得， ∴A选项不符合要求； B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， ∴B选项符合要求； C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， ∴C选项不符合要求； D选项：与不是同类项，不能合并，结果不是， ∴D选项不符合要求． 4．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】按照先算乘方，再从左到右依次计算乘除的运算顺序即可求解． 【详解】解： 5．若，，则的值为（   ） A． B．2 C．4 D．15 【答案】A 【分析】利用同底数幂的除法运算法则，将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 6．计算的结果是_______． 【答案】4 【详解】解：． 7．_____． 【答案】 /0.5 【详解】解：． 8．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：本题中左边第一个不为零的数字为3，其前面共有9个0，因此可得． 9．比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，，且， ∴． 10．若，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查幂的乘方的逆用与同底数幂的除法运算法则的逆用，先将所求式子根据运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂的除法法则，可得 ， 逆用幂的乘方法则，可得， 已知，，代入得： ． 11．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 12．计算：． 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $