第04讲 分式的概念及基本性质（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第04讲 分式的概念及基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 分式的识别与判断 题型2 求分式有意义、无意义的字母取值范围 题型3 求分式值为0的参数取值 题型4 分式基本性质的变形判断 题型5 分式约分 题型6 分式取值正负时未知数的取值范围 题型7 分式值为整数时求值 题型8 判断分式值的变化 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式相除、有意义 、无意义、约分 、最简分式 、分式值不变 、分母≠0 1. 理解分式概念，区分整式与分式，能根据分母不能为0求解未知数取值范围，规避分式无意义易错点。 2. 吃透分式基本性质，活用性质完成约分、化简最简分式。 3. 依托性质熟练进行分式变形，为后续分式加减乘除运算、分式方程夯实基础。 学习重点：分式判别与有意义条件，分式基本性质运用，约分运算。 学习难点：灵活利用分母不为零综合求参数范围，变形时容易遗漏隐含限制条件，最简分式化简易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01分式的定义 1.内容：形如的式子，其中A、B都是，且分母中含有字母。 2.区分：分母有是整式；分母没有不是分式；π是常数，不算字母。 3.方法总结：判断分式只看原始式子分母是否含，不看化简结果。 即时即练下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断分式严格盯住原式分母，只要原式分母含有未知数就是分式，化简后消掉分母也依然判定为分式；分母只有数字、π等常数，一律为整式，杜绝凭化简结果判断题型。 知识点02 分式有意义、无意义的条件 1. 分式有意义：分母0 2. 分式无意义：分母 0 3. 规律：只与有关，与分子取值无关。 即时即练 1.要使分式有意义，的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 2．当______时，分式无意义． 【方法总结】 求分式有意义的字母取值范围，只需单独令分母不等于0，解不等式即可；遇到含多项式分母，先整体列式再求解，不用考虑分子取值，避免多余计算、混淆条件。 知识点03 分式的值为0的条件 1. 必须同时满足两个条件：分子 ，且分母 。 2. 解题顺序：先令分子为0求未知数，再代入分母检验，舍去使分母为0的增根。 即时即练 若分式的值为0，则x的值为__________． 【方法总结】 分式值为0题型绝对不能只令分子为0！必须遵循“先求分子零点，再筛分母定义域”的做题步骤，所有解都要代入分母验证，排除让分母为0的无效解，这是考试最易丢分的关键点。 知识点04 分式的基本性质 1. 核心公式： = = （M≠0，M为整式 ） 2. 文字理解：分子、分母同时乘或除以同一个不为的整式，分式值不变。 3. 核心前提：M≠0不可省略。 即时即练下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 分式所有恒等变形的根本依据，做题时只要给分子分母同乘、同除含字母式子，必须提前判断该式子是否可能为0；若无法确定不为0，不能随意变形，防止改变分式原有取值范围、出现错题。 知识点05 分式的基本性质应用-约分 1. 定义：利用分式，约去分子、分母中的公因式，简化分式。 2. 解题步骤：多项式先因式分解 → 找出全部相同公因式 → 统一约去 → 化为。 3. 最简分式：分子、分母除外，无其他公因式。 即时即练 化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【方法总结】 约分核心原则“先分解、再约分”，凡是分子分母是多项式，绝不直接约分；必须先因式分解彻底，找准所有公因式一次性约净，务必化为最简分式，杜绝约分不彻底、漏约公因式的低级错误。 题型1 分式的识别与判断 【例1】下列代数式是分式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 严格依据原式判断，不参考化简结果；只要原式分母含有未知字母即为分式，分母仅含数字、π等常数的统一为整式，可快速区分两类式子，规避化简误判的陷阱。 【变式1-1】在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 题型2 求分式有意义、无意义的字母取值范围 【例1】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【例2】若分式有意义，则的取值范围是________． 【技巧归纳】 分式有无意义只由分母决定，与分子无关；求有意义条件直接列分母≠0的不等式求解，求无意义条件令分母=0求解，步骤简单固定，无需额外分析分子。 【变式1-1】若分式有意义，则实数的值可以是________（写出一个即可）． 【变式1-2】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 题型3 求分式值为0的参数取值 【例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】若分式的值为0，则m的值是__________． 【技巧归纳】 牢记双重核心条件，先令分子等于0求出所有候选解，再逐一代入分母验证，彻底舍去使分母为0的增根，缺一不可，这是该题型唯一解题标准，避免考试丢分。 【变式1-1】当______时，分式值为0 【变式1-2】若分式的值为0，则的值是________． 题型4 分式基本性质的变形判断 【例1】下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 变形必须满足分子分母同时乘除同一个整式，且优先保证所乘除的整式不为0；若题干未说明字母取值，私自乘除含字母式子的变形均为错误，坚守性质核心前提。 【变式1-1】下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型5 分式约分 【例1】将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】化简：_______． 【技巧归纳】 遵循“先分解、后约分”的原则，单项式直接找公因式，多项式必须先因式分解，再约去所有公因式，最终结果必须是最简分式，杜绝约分不彻底、乱约分的问题。 【变式1-1】化简： =__________ 【变式1-2】化简：_____． 题型6 分式取值正负时未知数的取值范围 【例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【例2】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【技巧归纳】 根据“同号得正、异号得负”，分分式为正、分式为负两种情况列不等式组求解；必须全程保证分母不为0，排除使分式无意义的取值。求出解集后取对应公共范围，是解决分式正负取值问题的核心步骤，能有效规避漏条件、解集出错的问题。 【变式1-1】当_____时，分式的值为负数． 【变式1-2】写出一个使分式的值大于1的x值：________． 题型7 分式值为整数时求值 【例1】已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【技巧归纳】 先对分式变形化简，分离出整数部分，使剩余分子为常数；找出该常数的所有正负整数因数，令分母等于对应因数，求解未知数；最后务必舍去使分母为0的取值，筛选出全部有效整数解，解题完整不遗漏、不增解 【变式1-1】请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 【变式1-2】当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 题型8 判断分式值的变化 【例1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【例2】把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【技巧归纳】 严格紧扣分式基本性质，分子分母同时乘（除）同一个不为0的整式，分式值保持不变；若分子分母变化倍数不同、或仅单独改动分子/分母，分式值一定会发生改变，做题先核对变化方式，区分同步变形和单独变形，可快速精准判断分式值的变化情况。 【变式1-1】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【变式1-2】若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 1．若，，则下列式子不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 3．化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 4．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 6．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 8．若分式无意义，则x的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 9．若分式的值为零，则______． 10．若分式的值为0，则x的值为__________． 11．化简： =__________ 12．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 13．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 14．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 分式的概念及基本性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 分式的识别与判断 题型2 求分式有意义、无意义的字母取值范围 题型3 求分式值为0的参数取值 题型4 分式基本性质的变形判断 题型5 分式约分 题型6 分式取值正负时未知数的取值范围 题型7 分式值为整数时求值 题型8 判断分式值的变化 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式相除、有意义 、无意义、约分 、最简分式 、分式值不变 、分母≠0 1. 理解分式概念，区分整式与分式，能根据分母不能为0求解未知数取值范围，规避分式无意义易错点。 2. 吃透分式基本性质，活用性质完成约分、化简最简分式。 3. 依托性质熟练进行分式变形，为后续分式加减乘除运算、分式方程夯实基础。 学习重点：分式判别与有意义条件，分式基本性质运用，约分运算。 学习难点：灵活利用分母不为零综合求参数范围，变形时容易遗漏隐含限制条件，最简分式化简易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01分式的定义 1.内容：形如的式子，其中A、B都是，且分母中含有字母。 2.区分：分母有是整式；分母没有不是分式；π是常数，不算字母。 3.方法总结：判断分式只看原始式子分母是否含，不看化简结果。 即时即练下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义判断，分式的定义为：若A、B是两个整式，且，B中含有字母，则式子是分式，据此逐一判断选项即可。 【详解】解：∵分式的定义要求分母中含有字母， A选项的分母是，是常数，属于整式，不是分式； B选项的分母是，是含字母的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是，是常数，属于整式，不是分式； D选项的分母是常数，不是字母，不是分式； 【方法总结】 判断分式严格盯住原式分母，只要原式分母含有未知数就是分式，化简后消掉分母也依然判定为分式；分母只有数字、π等常数，一律为整式，杜绝凭化简结果判断题型。 知识点02 分式有意义、无意义的条件 1. 分式有意义：分母0 2. 分式无意义：分母 0 3. 规律：只与有关，与分子取值无关。 即时即练 1.要使分式有意义，的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得，，解得，A选项符合． 2．当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 【方法总结】 求分式有意义的字母取值范围，只需单独令分母不等于0，解不等式即可；遇到含多项式分母，先整体列式再求解，不用考虑分子取值，避免多余计算、混淆条件。 知识点03 分式的值为0的条件 1. 必须同时满足两个条件：分子 ，且分母 。 2. 解题顺序：先令分子为0求未知数，再代入分母检验，舍去使分母为0的增根。 即时即练若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，分式值为需同时满足分子为且分母不为，即：且，故x的值为． 【详解】解：由题意得， 解方程，得， 当时，，满足分母不为的条件， 故的值为． 【方法总结】 分式值为0题型绝对不能只令分子为0！必须遵循“先求分子零点，再筛分母定义域”的做题步骤，所有解都要代入分母验证，排除让分母为0的无效解，这是考试最易丢分的关键点。 知识点04 分式的基本性质 1. 核心公式： = = （M≠0，M为整式 ） 2. 文字理解：分子、分母同时乘或除以同一个不为的整式，分式值不变。 3. 核心前提：M≠0不可省略。 即时即练5下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 【方法总结】 分式所有恒等变形的根本依据，做题时只要给分子分母同乘、同除含字母式子，必须提前判断该式子是否可能为0；若无法确定不为0，不能随意变形，防止改变分式原有取值范围、出现错题。 知识点05 分式的基本性质应用-约分 1. 定义：利用分式，约去分子、分母中的公因式，简化分式。 2. 解题步骤：多项式先因式分解 → 找出全部相同公因式 → 统一约去 → 化为。 3. 最简分式：分子、分母除外，无其他公因式。 即时即练 化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到化简结果，用到平方差公式和分式约分的知识点． 【详解】解：∵分子可以用平方差公式分解因式， ∴， ∴原式， ∵分式有意义时，可同时约去公因式 ∴原式． 【方法总结】 约分核心原则“先分解、再约分”，凡是分子分母是多项式，绝不直接约分；必须先因式分解彻底，找准所有公因式一次性约净，务必化为最简分式，杜绝约分不彻底、漏约公因式的低级错误。 题型1 分式的识别与判断 【例1】下列代数式是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项B的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项C的，分子是整式，分母是含有字母的整式，符合分式定义； 选项D的，分母是不含字母的常数，属于整式. 【例2】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 【技巧归纳】 严格依据原式判断，不参考化简结果；只要原式分母含有未知字母即为分式，分母仅含数字、π等常数的统一为整式，可快速区分两类式子，规避化简误判的陷阱。 【变式1-1】在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，判断分式的核心是看分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：在，分式有、，共2个． 【变式1-2】下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 题型2 求分式有意义、无意义的字母取值范围 【例1】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 【例2】若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义时，分母不为零，据此列不等式求解即可得到的取值范围。 【详解】∵分式有意义， ∴，解得：． 【技巧归纳】 分式有无意义只由分母决定，与分子无关；求有意义条件直接列分母≠0的不等式求解，求无意义条件令分母=0求解，步骤简单固定，无需额外分析分子。 【变式1-1】若分式有意义，则实数的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． ∴实数可以是任意不等于的数，例如1． 【变式1-2】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 题型3 求分式值为0的参数取值 【例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【例2】若分式的值为0，则m的值是__________． 【答案】2 【分析】根据分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零，求解即可. 【详解】解：由题意， 解得. 【技巧归纳】 牢记双重核心条件，先令分子等于0求出所有候选解，再逐一代入分母验证，彻底舍去使分母为0的增根，缺一不可，这是该题型唯一解题标准，避免考试丢分。 【变式1-1】当______时，分式值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，据此求解x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得，且， 由， 解得或， 由，得， 综上，x的值为． 【变式1-2】若分式的值为0，则的值是________． 【答案】4 【分析】根据分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子等于零的方程，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解可得， 解可得， ∴符合条件的的值为． 题型4 分式基本性质的变形判断 【例1】下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A选项，根据积的乘方运算法则，可得，变形正确，符合题意； B选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； C选项，，原变形遗漏了项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； D选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意． 【例2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 【技巧归纳】 变形必须满足分子分母同时乘除同一个整式，且优先保证所乘除的整式不为0；若题干未说明字母取值，私自乘除含字母式子的变形均为错误，坚守性质核心前提。 【变式1-1】下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意 【变式1-2】若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 题型5 分式约分 【例1】将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【例2】化简：_______． 【答案】 【详解】解：． 【技巧归纳】 遵循“先分解、后约分”的原则，单项式直接找公因式，多项式必须先因式分解，再约去所有公因式，最终结果必须是最简分式，杜绝约分不彻底、乱约分的问题。 【变式1-1】化简： =__________ 【答案】/ 【详解】解：． 【变式1-2】化简：_____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：． 题型6 分式取值正负时未知数的取值范围 【例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 【例2】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 【技巧归纳】 根据“同号得正、异号得负”，分分式为正、分式为负两种情况列不等式组求解；必须全程保证分母不为0，排除使分式无意义的取值。求出解集后取对应公共范围，是解决分式正负取值问题的核心步骤，能有效规避漏条件、解集出错的问题。 【变式1-1】当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 【变式1-2】写出一个使分式的值大于1的x值：________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】先对不等式变形求解，得到的取值范围，再在取值范围内写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：由题意得 ， 移项得 ， 通分计算得 ， 化简得 ， 所以 ，解得 ． 取，满足条件． 题型7 分式值为整数时求值 【例1】已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【例2】已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 【技巧归纳】 先对分式变形化简，分离出整数部分，使剩余分子为常数；找出该常数的所有正负整数因数，令分母等于对应因数，求解未知数；最后务必舍去使分母为0的取值，筛选出全部有效整数解，解题完整不遗漏、不增解 【变式1-1】请写出一个使的值为整数的x的值：___________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】先将化为，进而取合适的值即可． 【详解】解：， 可知当时， ，值为整数，符合题意． 【变式1-2】当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 题型8 判断分式值的变化 【例1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【例2】把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 【技巧归纳】 严格紧扣分式基本性质，分子分母同时乘（除）同一个不为0的整式，分式值保持不变；若分子分母变化倍数不同、或仅单独改动分子/分母，分式值一定会发生改变，做题先核对变化方式，区分同步变形和单独变形，可快速精准判断分式值的变化情况。 【变式1-1】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【变式1-2】若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 1．若，，则下列式子不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件先推出且，，再将代入各选项逐一验证，判断等式是否一定成立． 【详解】解：∵，， ∴，且，． 对选项A∶，等式一定成立． 对选项B∶ ，等式一定成立． 对选项C∶将代入得，右边，等式变为，即，得，与矛盾，等式不成立，因此不一定成立． 对选项D∶∵，∴，等式一定成立． 2．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义判断，分式的定义为：若A、B是两个整式，且，B中含有字母，则式子是分式，据此逐一判断选项即可。 【详解】解：∵分式的定义要求分母中含有字母， A选项的分母是，是常数，属于整式，不是分式； B选项的分母是，是含字母的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是，是常数，属于整式，不是分式； D选项的分母是常数，不是字母，不是分式； 3．化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到化简结果，用到平方差公式和分式约分的知识点． 【详解】解：∵分子可以用平方差公式分解因式， ∴， ∴原式， ∵分式有意义时，可同时约去公因式 ∴原式． 4．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A选项，根据积的乘方运算法则，可得，变形正确，符合题意； B选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； C选项，，原变形遗漏了项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； D选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据分式分母不为0列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 6．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式的分子与分母没有公因式的分式，对各选项分式的分子分母因式分解，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； B、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； C、的分子分母没有公因式，是最简分式，故符合题意； D、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意． 7．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 【答案】A 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 8．若分式无意义，则x的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为0，解答即可． 【详解】分式无意义， ， 解得：． 9．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 10．若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，分式值为需同时满足分子为且分母不为，即：且，故x的值为． 【详解】解：由题意得， 解方程，得， 当时，，满足分母不为的条件， 故的值为． 11．化简： =__________ 【答案】/ 【详解】解：． 12．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 13．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 14．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $