第01讲 二次根式（暑假复习培优讲义，6题型技巧4重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第01讲 二次根式（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次根式核心基础概念 2 知识点02 二次根式四大核心性质 3 知识点03 二次根式四则运算法则 3 知识点04 培优必备：分母有理化 4 剖题型·讲技巧 题型1 求字母取值范围（基础必考） 4 题型2 根式非负性求值（月考必考） 5 题型3 根据二次根式性质化简（易错压轴） 5 题型4 根式四则混合运算 6 题型5根式大小比较（培优） 7 题型6 化简求值（期末压轴） 10 释疑惑·重难拓展 题型1 双重根式化简 12 题型2 无范围参数根式分类讨论 16 题型3 根式+勾股定理几何综合 18 题型4 根式分式方程（拔高） 20 知中考·真题探源 22 练好题·提分培优 24 课标要点 1.理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式核心概念，能够精准辨析； 2.掌握二次根式有意义的条件，熟练求解含根式代数式字母取值范围； 3.吃透两大核心根式公式：、，会分类化简求值； 4.熟练掌握二次根式乘、除、加减、混合四则运算法则，活用乘法公式简便运算； 5.精通基础+共轭式分母有理化，掌握双重根式、含参数根式培优化简方法； 6.结合非负性、因式分解、整体代入、勾股定理，解决根式求值、比较大小、几何综合压轴题型。 ⭐⭐⭐ 基础重点：根式有意义条件、根式基础性质、四则运算、基础分母有理化 ⭐⭐⭐⭐ 高频易错：去绝对值符号、混淆两类平方根式公式 ⭐⭐⭐⭐⭐ 培优难点：含参数根式分类讨论、双重根式化简、根式整体代入求值、根式方程验根 知识点01 二次根式核心基础概念 1. 二次根式定义 形如 （）的式子叫做二次根式。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 辨析示例：、是二次根式；、不是二次根式。 2. 二次根式有意义取值规则（必考） 单个根式： 有意义 分式嵌套根式： 有意义 根式位于分母： 有意义 3. 最简二次根式判定三标准 1.被开方数不含分母、小数； 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 3.分母位置不含二次根号。 辨析：、、非最简；、为最简二次根式。 练习 1．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 二次根式四大核心性质（考试必考） 1. 2. 3.乘法性质：，逆用用于根式拆分化简 4.除法性质：，逆用用于分式根式化简 练习 4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：______． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）化简： (1)； (2)． 知识点03 二次根式四则运算法则 1. 乘法运算：系数相乘、根式相乘，结果化为最简；例： 2. 除法运算：优先化简、优先分母有理化；例： 3. 加减运算：先化简，再合并，同类才可合并；例：，不可合并 4. 混合运算顺序：先乘方→再乘除→后加减；有括号先算括号内；平方差、完全平方公式全域适用：、 练习 7．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 知识点04 培优必备：分母有理化 1. 单项式根式分母：，示例： 2. 多项式共轭根式分母（高频）：； 练习 8．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）化简______． 9．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 题型1 求字母取值范围（基础必考） 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 分类列不等式组，区分≥0、>0、≠0 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）使有意义的的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川内江·期中）在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）在函数中，自变量x的取值范围是______． 题型2 根式非负性求值（月考必考） 【典例2】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 方法技巧 二次根式结果恒≥0，若干非负数相加为0，则每一项均为0 【变式2-1】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则______． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 题型3根据二次根式性质化简（易错压轴） 【典例3】（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B． C． D． 方法技巧 ①判断根号内代数式正负；②正数直接去绝对值，负数添负号；③含参数先定范围再化简 【变式3-1】（25-26八年级下·广东广州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C．－3 D．1 【变式3-2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 题型4 根式四则混合运算 【典例4-1】（25-26八年级下·天津津南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例4-2】（25-26八年级下·北京·期中）计算： 方法技巧 全式化最简→优先套用乘法公式→统一分母有理化→合并同类根式，结果必最简 【变式4-1】（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算：． 题型5 根式大小比较（培优） 【典例5-1】（24-25八年级下·青海海东·阶段检测）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【典例5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）观察下列一组等式，然后解答问题：，， (1)计算：． (2)比较与的大小． 【典例5-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 方法技巧 1.平方法：正数根式，比较平方大小；例： 2.作差法：两式作差，正负判定大小 3.有理化法：统一分子分母后直观比较 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【变式5-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）阅读下列简化过程： ； ； ． 解答下列问题： (1)直接写出结果； (2)计算：； (3)设a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小关系． 题型6 化简求值（期末压轴） 【变式6】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 方法技巧 已知，不求x具体值，先求，代数式变形后整体代入，规避复杂小数计算。 【变式6-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）小芳在解决问题：已知，求的值时她是这样分析与解的：， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，化简，求的值． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读与思考 【阅读理解】 爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小聪的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【变式6-3】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 题型1 双重根式化简 【典例1-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【典例1-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数，使则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化： ； (2)化简“理想二次根式”： ； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 题型2 无范围参数根式分类讨论 【典例2】阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 【变式2-1】阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 【变式2-2】阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 题型3根式+勾股定理几何综合 【典例3】（25-26八年级下·江西上饶·期中）【课本再现】八下人教版教科书《二次根式》一章的“阅读与思考”中介绍了“海伦-秦九韶公式”(又称三斜求积术)，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c， ，那么三角形的面积为 ． 【灵活运用】请利用海伦-秦九韶公式回答以下问题： (1)如图1，三边长分别为6，12，14的三角形面积为 ； (2)如图2，在四边形 中，，，，，，求该四边形的面积． 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，求△的面积； (2)计算（1）中△的边上的高； (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 题型4根式方程（拔高） 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：所有满足方程的整数解之和． 【变式4-1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab=-3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【变式4-2】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 【变式4-3】【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 二、填空题 6．（2025·四川自贡·中考真题）计算：___________． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为____________． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 9．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 10．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 11．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 三、解答题 12．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 一、单选题 1．（2026·西藏日喀则·三模）如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）对于任意实数，均能写成整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如：，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，，则； ③若，则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 7．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 8．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 三、解答题 9．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 10.（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 11．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是、、，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，于点，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为、、，，，，求的值． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 13．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 14．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次根式核心基础概念 2 知识点02 二次根式四大核心性质 4 知识点03 二次根式四则运算法则 5 知识点04 培优必备：分母有理化 6 剖题型·讲技巧 题型1 求字母取值范围（基础必考） 7 题型2 根式非负性求值（月考必考） 8 题型3 根据二次根式性质化简（易错压轴） 9 题型4 根式四则混合运算 11 题型5根式大小比较（培优） 13 题型6 化简求值（期末压轴） 18 释疑惑·重难拓展 题型1 双重根式化简 23 题型2 无范围参数根式分类讨论 28 题型3 根式+勾股定理几何综合 33 题型4 根式分式方程（拔高） 38 知中考·真题探源 44 练好题·提分培优 48 课标要点 1.理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式核心概念，能够精准辨析； 2.掌握二次根式有意义的条件，熟练求解含根式代数式字母取值范围； 3.吃透两大核心根式公式：、，会分类化简求值； 4.熟练掌握二次根式乘、除、加减、混合四则运算法则，活用乘法公式简便运算； 5.精通基础+共轭式分母有理化，掌握双重根式、含参数根式培优化简方法； 6.结合非负性、因式分解、整体代入、勾股定理，解决根式求值、比较大小、几何综合压轴题型。 ⭐⭐⭐ 基础重点：根式有意义条件、根式基础性质、四则运算、基础分母有理化 ⭐⭐⭐⭐ 高频易错：去绝对值符号、混淆两类平方根式公式 ⭐⭐⭐⭐⭐ 培优难点：含参数根式分类讨论、双重根式化简、根式整体代入求值、根式方程验根 知识点01 二次根式核心基础概念 1. 二次根式定义 形如 （）的式子叫做二次根式。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 辨析示例：、是二次根式；、不是二次根式。 2. 二次根式有意义取值规则（必考） 单个根式： 有意义 分式嵌套根式： 有意义 根式位于分母： 有意义 3. 最简二次根式判定三标准 1.被开方数不含分母、小数； 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 3.分母位置不含二次根号。 辨析：、、非最简；、为最简二次根式。 练习 1．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 【答案】且 【详解】解：要使分式有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围是且． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，8含能开得尽方的因数4，故A不是最简二次根式． 对选项B，的被开方数22不含分母，分解因数为，无开得尽方的因数，故B是最简二次根式． 对选项C，，被开方数含分母，故C不是最简二次根式． 对选项D，的被开方数含分母，故D不是最简二次根式． 知识点02 二次根式四大核心性质（考试必考） 1. 2. 3.乘法性质：，逆用用于根式拆分化简 4.除法性质：，逆用用于分式根式化简 练习 4．（24-25八年级下·浙江台州·期中）若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点03 二次根式四则运算法则 1. 乘法运算：系数相乘、根式相乘，结果化为最简；例： 2. 除法运算：优先化简、优先分母有理化；例： 3. 加减运算：先化简，再合并，同类才可合并；例：，不可合并 4. 混合运算顺序：先乘方→再乘除→后加减；有括号先算括号内；平方差、完全平方公式全域适用：、 练习 7．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点04 培优必备：分母有理化 1. 单项式根式分母：，示例： 2. 多项式共轭根式分母（高频）：； 练习 8．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）化简______． 【答案】 【详解】解： 9．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 题型1 求字母取值范围（基础必考） 【典例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负，即， 解不等式得． 方法技巧 分类列不等式组，区分≥0、>0、≠0 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）使有意义的的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】要使有意义，需同时满足两个条件， 且， 解不等式，移项得，即， 解，得， 的取值范围是且． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川内江·期中）在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】解：∵函数同时含有二次根式和分式， ∴二次根式满足被开方数非负，分式满足分母不为0， ∴， 解得：且． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，要使函数解析式有意义，需满足二次根式被开方数非负，且分式分母不为0， 故 解得． 题型2 根式非负性求值（月考必考） 【典例2】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 方法技巧 二次根式结果恒≥0，若干非负数相加为0，则每一项均为0 【变式2-1】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若，则等于（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，， ，， ， ， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若，则______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 题型3根据二次根式性质化简（易错压轴） 【典例3】（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴． 方法技巧 ①判断根号内代数式正负；②正数直接去绝对值，负数添负号；③含参数先定范围再化简 【变式3-1】（25-26八年级下·广东广州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C．－3 D．1 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式． 【变式3-2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 题型4 根式四则混合运算 【典例4-1】（25-26八年级下·天津津南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【典例4-2】（25-26八年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 方法技巧 全式化最简→优先套用乘法公式→统一分母有理化→合并同类根式，结果必最简 【变式4-1】（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型5 根式大小比较（培优） 【典例5-1】（24-25八年级下·青海海东·阶段检测）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）观察下列一组等式，然后解答问题：，， (1)计算：． (2)比较与的大小． 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， 第个等式为：， ∴ ； （2）解：， ， ， ∴． 【典例5-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式、例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)写出的一个有理化因式 ；化简： ； (2)化简：； (3)拓展应用：已知，，试比较，b，c的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：， 的一个有理化因式为； ； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 方法技巧 1.平方法：正数根式，比较平方大小；例： 2.作差法：两式作差，正负判定大小 3.有理化法：统一分子分母后直观比较 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【变式5-3】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）阅读下列简化过程： ； ； ． 解答下列问题： (1)直接写出结果； (2)计算：； (3)设a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小关系． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：，，， ∵， ∴． 题型6 化简求值（期末压轴） 【变式6】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2042 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 方法技巧 已知，不求x具体值，先求，代数式变形后整体代入，规避复杂小数计算。 【变式6-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）小芳在解决问题：已知，求的值时她是这样分析与解的：， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，化简，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读与思考 【阅读理解】 爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小聪的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 题型1 双重根式化简 【典例1-1】（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 【典例1-2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾： 小许回想到二次根式化简 ， ； 又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用： （1）_____； 问题解决： （2）_____； 方法迁移： （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数，使则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化： ； (2)化简“理想二次根式”： ； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴， ， ∴； （4）解： ． 题型2 无范围参数根式分类讨论 【典例2】阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）解：由题意及（1）得， ； （3）解：有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 【变式2-1】阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）由题意可得：； （3）有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 【变式2-2】阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【详解】（1）解：可令和， 解得和， ∴，2分别为和的零点值． （2）解：原式＝ ＝|x+1|+|x﹣2| 当x≤﹣1时， ∴x+1≤0，x﹣2≤﹣3 ∴原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2） ＝﹣x﹣1﹣x+2 ＝﹣2x+1 当﹣1＜x＜2时， ∴x+1＞0，x﹣2＜0 ∴原式＝x+1﹣（x﹣2） ＝3 当x≥2时， ∴x+1≥3，x﹣2≥0， ∴原式＝x+1+x﹣2 ＝2x﹣1 （3）解：当x＜﹣2时， ∴x+2＜0，x﹣4＜﹣6 ∴方程左边＝﹣（x+2）﹣（x﹣4） ＝﹣x﹣2﹣x+4 ＝﹣2x+2＞6 当﹣2≤x≤4时， ∴x+2≥0，x﹣4≥0 ∴方程左边＝x+2﹣（x﹣4） ＝6 当x＞4时， ∴x+2＞6，x﹣4＞0， ∴方程左边＝x+2+x﹣4 ＝2x﹣2＞6 ∴， ∴整数解为：，，0，1，2，3，4． 题型3根式+勾股定理几何综合 【典例3】（25-26八年级下·江西上饶·期中）【课本再现】八下人教版教科书《二次根式》一章的“阅读与思考”中介绍了“海伦-秦九韶公式”(又称三斜求积术)，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c， ，那么三角形的面积为 ． 【灵活运用】请利用海伦-秦九韶公式回答以下问题： (1)如图1，三边长分别为6，12，14的三角形面积为 ； (2)如图2，在四边形 中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令，，， ∴， ∴三角形的面积为 ； （2）解：如图，连接， ∵， ∴； 在中，令，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2)该草地的面积为平方米 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴ ； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，求△的面积； (2)计算（1）中△的边上的高； (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2) (3)该草地的面积为 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：连接，如图所示： ， ∴在中，， ， ，， 即， ∴ 是直角三角形， 则， ∴ ． 题型4根式方程（拔高） 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：所有满足方程的整数解之和． 【答案】84 【详解】解：， ， 原方程可变形为：， ， ， 令， 则方程变形为：， （1）当时，，得，与矛盾，舍去； （2）当时，，得，等式恒成立，此时； （3）当时，，得，与矛盾，舍去； 由，， 得：， 两边平方得，， 解得，， 整数解之和：． 【变式4-1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab=-3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： (1)化简：______． (2)将式子化为另一个式子的平方； (3)求关于的方程的所有整数解的和． 【答案】(1) (2) (3)34 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ∵ ， ∴当时， 原式， 不合题意； 当时， 原式， 符合题意， ∴， ∴， ∴x的所有整数解为，8，9，10， ∴x的所有整数解的和； 当时， 原式， 不合题意， ∴x的所有整数解的和为34． 【变式4-3】【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 5．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 二、填空题 6．（2025·四川自贡·中考真题）计算：___________． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 7．（2025·天津·中考真题）计算的结果为____________． 【答案】60 【详解】解： ， 故答案为：60． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 9．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 10．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 11．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 三、解答题 12．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 一、单选题 1．（2026·西藏日喀则·三模）如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）对于任意实数，均能写成整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如：，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，，则； ③若，则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ，， ， 所有可能的值为6和7；故③正确； 若，， 那么，， 此时，故④错误； 综上可知，结论正确的有3个． 5．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴得：，且， ①，故①说法错误； ②， ， 则，故②说法正确； ③使运算结果与原代数式之和为，则运算结果与原代数式互为相反数， ， ， 则，即，故③说法正确； ④运算结果为， 不能加新运算， ， ， 则不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，故④说法错误． 综上所述，说法正确的有个． 二、填空题 6．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 7．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 8．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 【答案】 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为. 三、解答题 9．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 【答案】(1)（n为正整数） (2) 【详解】（1）解：由题意可得运算为：（n为正整数）； （2）解： ． 10.（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 11．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是、、，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，于点，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为、、，，，，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)4 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ， 在中，； （3）解：根据题意，得，， 整理，得，， ，即， 解得． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3)， 【详解】（1） 解：； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 13．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 14．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $