第05讲 二次函数概念&二次函数y=ax²的图象和性质 （暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第05讲 二次函数概念&二次函数y = ax2的图象和性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数的概念 2 知识点02 二次函数y = ax2的图象和性质 3 剖题型·讲技巧 题型1 判断一个函数是否为二次函数 5 题型2 根据二次函数定义求参数（易错题） 6 题型3 已知抛物线上一点，求解析式y = ax2 7 题型4 基础性质判断（开口、对称轴、顶点、最值） 8 题型5 比较多个点的函数值大小（必考） 9 题型6 抛物线的对称变换 10 释疑惑·重难拓展 题型1 |a|与开口宽窄综合比较 11 题型2 含参数a的增减性分类讨论 12 题型3 y = ax2与一次函数交点问题 14 知中考·真题探源 16 练好题·提分培优 18 课标要点 1. 理解二次函数的核心定义，掌握二次函数的判定方法，能根据定义求解参数的值或取值范围。 2. 掌握最简单二次函数 的图象画法，认识抛物线、顶点、对称轴等核心几何概念。 3. 熟练掌握系数 的正负、绝对值大小对抛物线开口方向、开口宽窄、函数增减性和最值的影响。 4. 建立二次函数解析式与图象的数形结合思维，能利用函数性质比较函数值大小、解决简单最值问题与基础图象问题。 5. 夯实二次函数基础，为后续学习一般式、顶点式二次函数及综合题型做好铺垫。 知识点01 二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 3.常见概念误区 ① 若 ，解析式退化为 ，为一次函数或常数函数，不再是二次函数； ② 需先化简解析式，再判断最高次数，不可直接直观判定； ③ 自变量只能是，且仅含 的整式项，不含复合变量。 练习 1.下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 知识点02 二次函数y = ax2的图象和性质 1.图象基本特征 函数 的图象是抛物线，所有图象具备统一基础特征： 对称轴：直线 （y轴）； 顶点坐标：（坐标原点）； 定点特征：抛物线恒过坐标原点。 2.用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 3.二次函数图象和性质 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=ax2  (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值=0. 当x=0时，y最大值=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 练习 2.不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型1 判断一个函数是否为二次函数 方法技巧 解题三步筛除法： 看形式：判断是否为整式，直接排除分式、含根号、指数型解析式； 化简：展开合并同类项，查看x最高次数； 验系数：确认二次项系数不为 0。 【典例1-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 题型2 根据二次函数定义求参数（易错题） 方法技巧 先列指数等式求解，再舍去使二次项系数为 0 的解。 【典例1-1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【典例1-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【变式1-4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型3 已知抛物线上一点，求解析式 方法技巧 待定系数法步骤： 将点横、纵坐标代入 解一元一次方程求出a； 把a代回，写出完整函数解析式。 【典例3】（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象开口向上，顶点在轴上，写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式为___________． 【变式3-2】（25-26九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 题型4 基础性质判断（开口、对称轴、顶点、最值） 方法技巧 a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值；对称轴永远是 y 轴，顶点固定原点。 【典例4-1】（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【典例4-3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【典例4-4】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【变式4-1】（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【变式4-3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【变式4-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 题型5 比较多个点的函数值大小（必考） 方法技巧 函数 对称轴为y轴，只需比较横坐标绝对值 ： ① ： 越大，函数值 越大； ② ： 越大，函数值 越小。 【典例5】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知点，,，都在二次函数的图象上，则（  ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知、、在函数的图像上，则的大小关系是________．（用“”号联结） 题型6 抛物线的对称变换 方法技巧 ① 关于x轴对称的抛物线解析式：（开口方向相反，宽窄不变）； ② 关于y轴对称的抛物线解析式：仍为 （自身关于y轴对称）。 【典例6-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025九年级·全国·专题练习）已知点在函数的图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标为________． 【变式6-1】（2025九年级·全国·专题练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向下，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最低点 D．它与的图象关于x轴对称 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【变式6-3】（2025九年级·全国·专题练习）已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 题型1 |a|与开口宽窄综合比较 【典例1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【变式1-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 题型2 含参数a的增减性分类讨论 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【典例2-2】（2025九年级·全国·专题练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 【变式2-2】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【变式2-2】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 【变式2-3】（23-24九年级上·山西临汾·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 题型3 与一次函数交点问题 【典例3-1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内交于点，如果的面积为2，求此抛物线的解析式． 【典例3-2】（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【变式3-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【变式3-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【变式3-3】（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【变式3-4】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 一、单选题 1．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 5．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．（25-26九年级下·福建福州·期中）小红发现某些函数图象上的三点、、满足如下性质：对于任意非零实数，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 10．（25-26九年级上·河南开封·期末）写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 11．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 三、解答题 12．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 13．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 14．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 15．（25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，已知点是抛物线上一点，是平面内一点，过点P作与y轴平行，交抛物线于Q点，当时，解答下列问题． (1)a的值为 ； (2)当点P在抛物线上时，求m的值； (3)设的长为L，求L关于点P的横坐标m的函数解析式，并写出L的最大值； (4)连接，当被x轴分成的两线段之比为时，直接写出m的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数概念&二次函数y = ax2的图象和性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数的概念 2 知识点02 二次函数y = ax2的图象和性质 3 剖题型·讲技巧 题型1 判断一个函数是否为二次函数 6 题型2 根据二次函数定义求参数（易错题） 8 题型3 已知抛物线上一点，求解析式y = ax2 10 题型4 基础性质判断（开口、对称轴、顶点、最值） 12 题型5 比较多个点的函数值大小（必考） 15 题型6 抛物线的对称变换 18 释疑惑·重难拓展 题型1 |a|与开口宽窄综合比较 20 题型2 含参数a的增减性分类讨论 23 题型3 y = ax2与一次函数交点问题 27 知中考·真题探源 34 练好题·提分培优 38 课标要点 1. 理解二次函数的核心定义，掌握二次函数的判定方法，能根据定义求解参数的值或取值范围。 2. 掌握最简单二次函数 的图象画法，认识抛物线、顶点、对称轴等核心几何概念。 3. 熟练掌握系数 的正负、绝对值大小对抛物线开口方向、开口宽窄、函数增减性和最值的影响。 4. 建立二次函数解析式与图象的数形结合思维，能利用函数性质比较函数值大小、解决简单最值问题与基础图象问题。 5. 夯实二次函数基础，为后续学习一般式、顶点式二次函数及综合题型做好铺垫。 知识点01 二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 3.常见概念误区 ① 若 ，解析式退化为 ，为一次函数或常数函数，不再是二次函数； ② 需先化简解析式，再判断最高次数，不可直接直观判定； ③ 自变量只能是，且仅含 的整式项，不含复合变量。 练习 1.下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 知识点02 二次函数y = ax2的图象和性质 1.图象基本特征 函数 的图象是抛物线，所有图象具备统一基础特征： 对称轴：直线 （y轴）； 顶点坐标：（坐标原点）； 定点特征：抛物线恒过坐标原点。 2.用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 3.二次函数图象和性质 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=ax2  (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值=0. 当x=0时，y最大值=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 练习 2.不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 题型1 判断一个函数是否为二次函数 方法技巧 解题三步筛除法： 看形式：判断是否为整式，直接排除分式、含根号、指数型解析式； 化简：展开合并同类项，查看x最高次数； 验系数：确认二次项系数不为 0。 【典例1-1】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【典例1-2】（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 【变式1-2】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】①②③为二次函数，不是二次函数的有：④⑤；各对应项的系数及常数项见解析 【详解】解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 题型2 根据二次函数定义求参数（易错题） 方法技巧 先列指数等式求解，再舍去使二次项系数为 0 的解。 【典例1-1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 【典例1-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式1-4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 题型3 已知抛物线上一点，求解析式 方法技巧 待定系数法步骤： 将点横、纵坐标代入 解一元一次方程求出a； 把a代回，写出完整函数解析式。 【典例3】（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 【变式3-1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象开口向上，顶点在轴上，写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，符合题意的函数解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】（25-26九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴可设二次函数解析式为：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴不在y轴右侧， ∴可令，对称轴为轴， 此时二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型4 基础性质判断（开口、对称轴、顶点、最值） 方法技巧 a正开口向上有最小值，a负开口向下有最大值；对称轴永远是 y 轴，顶点固定原点。 【典例4-1】（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 【典例4-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 【典例4-3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 【典例4-4】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 【变式4-1】（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 故答案为：. 【变式4-3】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【变式4-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 题型5 比较多个点的函数值大小（必考） 方法技巧 函数 对称轴为y轴，只需比较横坐标绝对值 ： ① ： 越大，函数值 越大； ② ： 越大，函数值 越小。 【典例5】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 【变式5-3】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知点，,，都在二次函数的图象上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，二次函数 当时，， 当时，， 当时，， 则，即， 故选：B． 【变式5-4】已知、、在函数的图像上，则的大小关系是________．（用“”号联结） 【答案】 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴时的函数值等于时的函数值，即点也在函数的图像上， ∵二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点、、在函数的图像上，， ∴， 故答案为：． 题型6 抛物线的对称变换 方法技巧 ① 关于x轴对称的抛物线解析式：（开口方向相反，宽窄不变）； ② 关于y轴对称的抛物线解析式：仍为 （自身关于y轴对称）。 【典例6-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上， 则，回代解析式得即， 故抛物线的表达式为． 故选：C． 【典例6-2】（2025九年级·全国·专题练习）已知点在函数的图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：点在函数的图象上， ，即点坐标为， 关于轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 故对称点坐标为． 故答案为． 【变式6-1】（2025九年级·全国·专题练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向下，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最低点 D．它与的图象关于x轴对称 【答案】C 【详解】二次函数 的二次项系数 ， A、它是一条抛物线，该选项说法正确，不符合题意； B、它的开口向下，且关于y轴对称，该选项说法正确，不符合题意； C、∵ 开口向下，∴ 顶点是抛物线的最高点，故该选项说法错误，符合题意； D、∵ 与 的函数值互为相反数，∴ 它们的图象关于 x 轴对称，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【答案】点不在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 当时，， 点在二次函数的图象上． 点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点不在二次函数的图象上， 当时，， 点在二次函数的图象上． 【变式6-3】（2025九年级·全国·专题练习）已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)点的坐标是；两点在抛物线上 【详解】（1）解：将点代入得，， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标分别为． 对于抛物线，当时，；当时，， 两点在抛物线上． 题型1 |a|与开口宽窄综合比较 【典例1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【典例1-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 【典例1-3】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【变式1-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 【答案】2或3或4 【详解】解：观察图象得：， ∵a的值为整数， ∴a的值为2，3，4． 故答案为：2或3或4 题型2 含参数a的增减性分类讨论 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：由（1）得：二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴为y轴， ∵， ∴当时，二次函数中的随的增大而增大． 【典例2-2】（2025九年级·全国·专题练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)；最高点的坐标为；当时，随的增大而增大 (3)；最小值为；当时，随的增大而减小 【详解】（1）解：函数是关于的二次函数， 且， 解得：． （2）解：当抛物线有最高点时，抛物线开口向下，即， ， 最高点的坐标为． 当时，随的增大而增大． （3）解：当函数有最小值时，抛物线开口向上，即， ， 最小值为． 当时，随的增大而减小． 【变式2-2】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 【变式2-2】（2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 又二次函数的图像与直线交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）∵二次函数， ∴开口向上，对称轴为轴， ∴当时，二次函数值y随x的增大而减小； （3）二次函数， 当时，； 当时，； 当时，， 所以当时，求二次函数值y的最大值为，最小值为0． 【变式2-3】（23-24九年级上·山西临汾·阶段检测）已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数， 把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为轴，点的对称点为点， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小； （4）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点为，为最高点， ∴时，有最大值． 题型3 与一次函数交点问题 【典例3-1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内交于点，如果的面积为2，求此抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得：， 所以直线的解析式为， 设， 因为的面积为2， 所以，解得：， 所以P点坐标为， 把代入，得， 解得：， 所以抛物线解析式为． 【典例3-2】（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 【变式3-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【答案】 【详解】解：设． 利用待定系数法可得，直线， 直线， 直线． 过点， ． ∵直线的解析式为． ∴， ∴， ． ∴直线， ∵当时，， ∴直线过定点． 【变式3-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 【变式3-3】（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 【变式3-4】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点和点代入得， 解得， 直线的解析式为， P点的横坐标为， P点的纵坐标为， ， 把代入得，， 解得：， 二次函数的解析式； （2）解：联立得， 解得：， 当时，， ； （3）解：连接， 设， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 或． 一、单选题 1．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 2．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 3．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 二、填空题 4．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 【答案】 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 7．（25-26九年级下·福建福州·期中）小红发现某些函数图象上的三点、、满足如下性质：对于任意非零实数，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，轴同侧的三点即同号，需要满足与异号，即. 对选项A，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此A具备性质，不符合题意； 对选项B，： 当时，对任意点都有，即与同号，若取轴同侧三点，则同号，因此也同号，可得与一定同号，不存在异号的情况，因此B不具备性质，符合题意； 对选项C，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此C具备性质，不符合题意； 对选项D，： 当时，取三个很小的正数，且都满足，，，满足异号； 当时，取三个绝对值很大的负数，且都满足，，，满足异号，因此D具备性质，不符合题意． 8．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【详解】解：开口向上，对称轴为，时随增大而减小，时随增大而增大． ①当， 若包含原点， 则的最小值， 得， 对应范围为， 此时． 若不包含原点，全在侧， 则，， 可得， 即， 得． 全在侧，同理可得． 因此最大值为，存在最大值， 故①正确. ②当，即， 若全在侧， 则. 可取任意大的正数， 随增大无限增大，不存在最大值， 故没有最大值， ②错误． 综上，①正确②错误． 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 【答案】 【详解】解：由题知，将点代入得， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南开封·期末）写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 11．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】 【详解】解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时存在纵向边界上的点的纵坐标为整数的个数为6． 三、解答题 12．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴（舍去）；， ∴m的值为． （2）解：∵抛物线开口向下 ∴抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴ 13．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)6 (4)． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； （4）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 15．（25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，已知点是抛物线上一点，是平面内一点，过点P作与y轴平行，交抛物线于Q点，当时，解答下列问题． (1)a的值为 ； (2)当点P在抛物线上时，求m的值； (3)设的长为L，求L关于点P的横坐标m的函数解析式，并写出L的最大值； (4)连接，当被x轴分成的两线段之比为时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2 (3)，L的最大值为1 (4)或 【详解】（1）解：∵点是抛物线上一点， ∴， 解得：； （2）解：∵在上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的值为2； （3）解：L的最大值为1，理由如下： ∵点P的横坐标为m，轴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴L的最大值为1； （4）解：分成线段比时，可分两种情况，即Q到x轴距离是P到x轴距离2倍和倍两种， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $