精品解析：北京市首都师范大学第二附属中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

首都师大二附中2025—2026学年第二学期期中练习 初一数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，只需根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是分数，分数属于有理数，不符合要求； B、是有限小数，有限小数属于有理数，不符合要求； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D、，是整数，整数属于有理数，不符合要求． 3. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根，积的乘方，立方根，根据相关知识判断各选项即可． 【详解】选项A： 表示算术平方根，值为2，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，则，符合题意； 故选D． 4. 如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，则 的取值可以是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 2或﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，纵坐标是正数即可判断． 【详解】解：∵点是第四象限内的点， ∴a<0， 四个选项中符合题意的数是． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 6. 已知a//b，点在直线上，且，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据∠1=36°，由AB⊥BC求出∠3的度数，再a//b即可得出答案． 【详解】解：∵AB⊥BC，∠1=36°， ∴∠3+∠1=90°． ∴∠3=54°， ∵a//b， ∴∠2=∠3=54°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键． 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 正数与负数的和为0 B. 负数没有平方根，也没有立方根 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】结合有理数运算法则、平方根立方根的性质、垂线的性质、两直线平行，同旁内角互补等知识内容逐一判断各选项，得到正确结论． 【详解】解：A、只有互为相反数的两个数和为0，例如正数和负数的和为，原说法是假命题，故该选项不符合题意； B，负数没有平方根，但负数有立方根，例如的立方根是，原说法是假命题，故该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法是真命题，故该选项符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，命题未说明两条直线平行，原说法是假命题，故该选项不符合题意． 8. 若，则的值是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 9. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点 ，如图2所示，则点 表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点 到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点 到的距离， ∴点 表示的数是． 10. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数． 有如下四个结论： ①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送所用时间最长的是乙； ④在这一天中派送快递总件数最多的是乙． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象给出的点的坐标进行解答即可． 【详解】解：从图可知以下信息： 上午送时间最短的是甲，①正确； 下午送件最多的是乙，②不正确； 在这一天中派送所用时间最长的是乙，③正确； 在这一天中派送快递总件数最多的是乙，④正确． ∴正确结论的序号是①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象；能够从图中获取信息，针对性的统计是求解的关键． 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 若是关于、的二元一次方程的解，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入二元一次方程，得到关于 的一元一次方程，解一元一次方程即可求出 的值． 【详解】解：把代入方程得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 12. 比较大小：2___________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较， 熟练掌握比较方法是解题关键． 利用作差法得出，然后通过比较和的大小来判断的正负，进而比较原数的大小． 【详解】解：， ∵，，且 ， ∴． ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，机器人正在水中的点 处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线 到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线 到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 14. 已知线段，轴，若点 的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】结合轴，得出点的纵坐标相等的性质，需要分情况讨论点的位置，根据线段长度计算点的横坐标即可． 【详解】解：轴，点 的坐标为， 点的纵坐标为， ， 当点在点 左侧时，点的横坐标为，点的坐标为； 当点在点 右侧时，点的横坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 15. 如图是山地车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中都与地面 平行，，，要使与平行，的度数应为_____ 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面 平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当时， ， 故答案为：． 16. 如图，在一个单位为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，．．．都是等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______，的纵坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】观察图形可以看出，，；，则，即． 【详解】解：观察图形可得，，， 故的横坐标为； 观察图形可得， ，即， 故的纵坐标为． 二、解答题（本题共58分．第17题5分；第18题6分；第19题8分；第20、21题，每题5分；第22题6分；第23题5分；第24、25、26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 求下列等式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是本题的关键． （1）用代入消元法解方程组； （2）用加减消元法解方程组． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 20. 完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3； 【解析】 【分析】根据垂线的定义，可得，从而得到，进而得到，，即可解答． 【详解】略 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形 ，请你画出三角形； （2）请直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 22. 如图，点N在线段上，与交于点． （1）判断 与是否平行，并说明理由； （2）若，求的大小． 【答案】（1）平行，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质． （1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 【解析】 【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张， 根据题意可得， 解得， 即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张． 24. 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． （1）填空：将写成矩阵形式： （2）若矩阵所对应的方程组的解为，求 与的值； （3）若矩阵对应的方程组的解为，则______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将原方程组变为标准形式，再根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值；． （3）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出，， 然后代入计算即可．． 【小问1详解】 解：将原方程组整理为标准形式， 根据题中规定，写出矩阵形式为； 【小问2详解】 解：矩阵对应的二元一次方程组为， 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 解得； 【小问3详解】 解：矩阵对应的二元一次方程组为 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 整理得，， ∴． 25. 已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC． （1）如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ； （2）如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含 的代数式表示） （3）在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系． 【答案】（1）25° （2）∠AMP＝； （3）∠QND＝2∠AMP． 【解析】 【分析】（1）过P作PEAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解； （2）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解； （3）过P作PFAB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－，进而可求解； 【小问1详解】 解：过P作PEAB， ∵ABCD， ∴PECD， ∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）， ∵∠QND＝50°， ∴∠PNC＝65°， ∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°； 故答案为：25° 【小问2详解】 过P作PFAB， ∵ABCD， ∴PFCD， ∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）， ∵∠QND＝， ∴∠PNC＝＝90°－， ∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝； 即∠AMP＝； 【小问3详解】 过P作PFAB， ∵ABCD， ∴PFCD， ∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN， ∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC， ∵∠MPN＝90°， ∴∠AMP+∠PNC＝90°， ∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°， ∴∠PNQ＝∠PNC（180°﹣∠QND）＝90°－， ∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－）＝． 即∠QND＝2∠AMP． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平角的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，，将的值称为点 与点的“折线距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点 的“幅差”，记为．已知点，． （1）点 与点的“折线距离”的值为______； （2）已知点 在轴上，线段关于点 的“幅差”为4，则点 的坐标为______； （3）若点与点 的“折线距离”为4，则“幅差”的最小值为______． 【答案】（1）2 （2）或 （3）3 【解析】 【分析】（1）直接根据“折线距离”的定义解答即可； （2）设点 的坐标为，设点P的坐标为，然后分三种情况：若，若，若，求出的最大值与最小值，再根据“折线距离”的定义列出方程求解即可； （3）设点，根据“折线距离”的定义列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形，即可． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴； 【小问2详解】 解：设点 的坐标为， ∵点P在线段上， ∴可设点P的坐标为， 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点 的“幅差”为4， ∴， 解得：； 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点 的“幅差”为4， ∴， 解得：（舍去）； 若， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∵线段关于点 的“幅差”为4， ∴， 解得：； 综上所述，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点， ∵点与点 的“折线距离”为4， ∴，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， ∴所有符合题意的点E组成的图形是以为顶点的正方形． 如图， 当点P与点E重合时，取得最大值，最大值为， 当点P与点O重合时，取得最小值，最小值为， ∴“幅差”的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大二附中2025—2026学年第二学期期中练习 初一数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 5. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，则的取值可以是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 2或﹣2 6. 已知a//b，点 在直线上，且，，那么（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 正数与负数的和为0 B. 负数没有平方根，也没有立方根 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 8. 若，则的值是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 9. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数． 有如下四个结论： ①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送所用时间最长的是乙； ④在这一天中派送快递总件数最多的是乙． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 若是关于、的二元一次方程的解，则的值为______． 12. 比较大小：2___________．（填“>”、“<”或“=”） 13. 如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 14. 已知线段，轴，若点的坐标为，则点 的坐标为______． 15. 如图是山地车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中都与地面平行，，，要使与平行，的度数应为_____ 16. 如图，在一个单位为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，．．．都是等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______，的纵坐标为______． 二、解答题（本题共58分．第17题5分；第18题6分；第19题8分；第20、21题，每题5分；第22题6分；第23题5分；第24、25、26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 求下列等式中的值： （1）； （2）． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 20. 完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形 ，请你画出三角形； （2）请直接写出点的坐标； （3）求三角形的面积． 22. 如图，点N在线段上，与交于点． （1）判断与是否平行，并说明理由； （2）若，求的大小． 23. 列二元一次方程组解应用题： 电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？ 24. 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． （1）填空：将写成矩阵形式： （2）若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； （3）若矩阵对应的方程组的解为，则______． 25. 已知：直线ABCD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC． （1）如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ； （2）如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=时，求∠AMP的度数；（用含的代数式表示） （3）在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，，将的值称为点与点 的“折线距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“幅差”，记为．已知点，． （1）点与点 的“折线距离”的值为______； （2）已知点在轴上，线段关于点的“幅差”为4，则点的坐标为______； （3）若点与点的“折线距离”为4，则“幅差”的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $