第04讲 绝对值与相反数14大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第04讲 绝对值与相反数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的绝对值 题型2 相反数的定义 题型3 相反数的应用 题型4 化简多重符号 题型5 有理数的大小比较 题型6 有理数大小比较的实际应用 题型7 绝对值的几何意义 题型8 绝对值的非负性 题型9 绝对值的实际应用 题型10 绝对值的其他应用 题型11 绝对值与数轴结合（压轴） 题型12 绝对值中的动点问题（压轴） 题型13绝对值中的最值问题（压轴） 题型14 绝对值中的多结论问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相反数 有理数的大小比较 绝对值 绝对值的实际应用 1. 理解相反数的概念与几何意义，会求任意有理数的相反数，掌握相反数的基本性质。 2. 掌握绝对值的定义、几何意义及求值方法，能熟练求解正数、负数和0的绝对值。 3. 掌握有理数大小比较的两种方法，能准确比较任意两个有理数的大小，规范书写步骤。 学习重点：掌握相反数、绝对值的概念与运算，熟记核心性质；熟练运用法则，正确比较有理数的大小。 学习难点：掌握多重符号化简，理解绝对值的非负性及几何意义。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 即时即练 1．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 2．在数轴上绝对值不大于4的整数点有（ ） A．5个 B．个 C．9个 D．8个 3．如果一个整数的绝对值大于2.1，且不大于3，则这个整数可以是______． 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 即时即练 4．若，则的结果为（   ） A． B． C． D． 5．若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 6．若． (1)求的值； (2)若，求的值． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 即时即练 7．的相反数是（ ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数中互为相反数的两个点分别是 ________ ． 9．若代数式与的值互为相反数，则x的值是________． 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 即时即练 10．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．化简： __， __，__． 12．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 即时即练 13．比较大小：_____． 14．如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 15．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 题型1 求一个数的绝对值 【例1】的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【变式1】_____________． 【变式2】若，则_____． 【变式3】如果，则______，如果，则______．化简：______． 【变式4】已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型2 相反数的定义 【例2】2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（     ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【变式2】已知是的相反数，则______． 【变式3】一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【变式4】如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 题型3 相反数的应用 【例3】若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 【变式1】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】已知与互为相反数，那么______． 【变式3】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【变式4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 题型4 化简多重符号 【例4】化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式2】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】比较大小：_____． 【变式4】在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 题型5 有理数的大小比较 【例5】下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【易错警示】 比较时易忽略负数规则：绝对值大的负数反而小，常直接用数字大小判断。易混淆数轴方向，误判左边数更大；忽略 0 的分界作用，分不清正负。带分数、小数转化不统一直接对比易出错，化简多重符号后再比较才准确，做题先定正负，再算绝对值，分步判断避免跳步失误。 【变式1】比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【变式2】计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【变式3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型6 有理数大小比较的实际应用 【例6】衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【变式2】某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 【变式3】新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【变式4】生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 题型7 绝对值的几何意义 【例7】在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 绝对值表示数轴上点到原点距离，结果必非负，易误写负数。区分 | a | 与 a：正数绝对值是本身，负数是相反数，0 为 0。做题常混淆两点距离公式，漏加绝对值；审题不清看错数轴点位，直接用坐标相减忽略正负，计算前先明确几何含义再列式。 【变式1】数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【变式3】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【变式4】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 题型8 绝对值的非负性 【例8】若与互为相反数，则_______． 【易错警示】 任何数的绝对值都大于或等于 0，这就是非负性，即(|a|≥0\)。易错题：误以为绝对值能为负数；多个绝对值相加等于 0 时，忽略每个绝对值都得单独为 0，只算整体。化简求值先抓住绝对值结果非负这一关键点，遇(|x|+|y|=0\)，直接得(x=0、y=0\)，切勿漏写条件。 【变式1】已知，且，求___________． 【变式2】若，则_____． 【变式3】若，且__________． 【变式4】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 题型9 绝对值的实际应用 【例9】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【变式1】市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【变式2】某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【变式3】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式4】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 题型10 绝对值的其他应用 【例10】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1】某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【变式2】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是________； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有________种调配方案，使调动的车辆数最少． 【变式3】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【变式4】【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 题型11 绝对值与数轴结合（压轴） 【例11】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上的值最有可能是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 利用数轴求两点距离易漏写绝对值，直接大数减小数忽略左右位置；化简含绝对值代数式时，不会根据数轴判断字母正负，去绝对值不变号。多个绝对值求和最小值分不清分界零点，分段讨论遗漏区间；动点类问题不分类讨论左右移动，符号处理混乱，需先定点、定符号再化简计算。 【变式1】综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离为______，数轴上表示1和的两点之间的距离为______________； （2）数轴上表示和3的两点之间的距离为______，数轴上表示和的两点之间的距离为_______________； 【变式2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有______个 【变式3】我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）可理解为与__________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为__________． 【变式4】阅读下列材料： 我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数与数对应点之间的距离． 如：数轴上数与数对应点之间的距离为； 数轴上数与数对应点之间的距离为； 又如：已知，求的值．意为：数轴上数与数对应点之间的距离为，观察数轴可知的值为或． 请运用上述的几何方法解决下列问题： (1)若，则___________； (2)若，则___________； (3)若，则___________； (4)若，则满足条件的所有整数为___________；   故答案为：或；     故答案为：或；   故答案为：或； 题型12 绝对值中的动点问题（压轴） 【例12】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【易错警示】 数轴动点易漏双向移动分类，只算单侧情况致答案不全；距离列式忘记加绝对值，直接相减符号出错。未先根据点的位置划分区间，去绝对值不变号；设未知数后忽略动点运动时长范围，取值不合题意。求最值不会找零点分段，跳步计算极易遗漏多解。 【变式1】已知数轴上点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点的左侧，为数轴上一动点．若点到点的距离为6，则点到点的距离为______． 【变式2】如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【变式3】如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【变式4】已知，A，B在数轴上对应的数分别用表示，且． (1)数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ； (2)若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动，动点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒速度向B运动，点P，Q同时出发，点Q运动到B点时两点同时停止，设点Q运动时间为t秒． ①若P从A到B运动，则P点表示的数为 ；Q 点表示的数为 ．(用含t的式子表示） ②当为4时，求点P与点Q之间的距离？ 题型13绝对值中的最值问题（压轴） 【例13】已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为________． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为________． 【易错警示】 求多个绝对值和的最值，易错找错零点、漏排数轴分界点；分不清和与差的最值规律，混淆最小、最大值。未分段讨论直接去绝对值，符号出错；忽略未知数取值范围，求出不合题意的解。多个零点时不会分段判断，跳步易丢区间，牢记奇数零点取中间点，偶数零点取中间区间。 【变式1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【变式2】如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【变式3】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【变式4】【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 题型14 绝对值中的多结论问题（压轴） 【例14】若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【变式2】给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有______（填序号）． 【变式3】以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有_____（填序号）． 【变式4】下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 5．若，，且，那么的值是（   ） A．4或2 B．或 C．4或 D．或2 6．若，则（    ） A． B．2 C． D．10 7．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（   ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 9．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 10．已知互为相反数，且，则的值为（　　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 11．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 12．比较大小：___________（填“”、“”或“”）． 13．化简：_______． 14．数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则点和点 所表示的数分别是____ 和____ ． 15．当___________时，代数式有最大值． 16．若，，且，则的值是____． 17．已知，，且，则______． 18．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 19．如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 20．以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有_____（填序号）． 21．先在数轴上标出表示下列各数的点，再将这些数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，，． 22．若，，且，求代数式的值． 23．给出下列6个数：，在这些数中， (1)负整数有_________，非负数有_________； (2)互为相反数的是_________，绝对值最小的数是_________； (3)画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来． 24．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 25．已知两数分别为m、n． (1)试判断与是否为相反数，若是，请说明理由； (2)若与互为相反数，求代数式的值． 26．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 27．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 28．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 29．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 30．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 绝对值与相反数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的绝对值 题型2 相反数的定义 题型3 相反数的应用 题型4 化简多重符号 题型5 有理数的大小比较 题型6 有理数大小比较的实际应用 题型7 绝对值的几何意义 题型8 绝对值的非负性 题型9 绝对值的实际应用 题型10 绝对值的其他应用 题型11 绝对值与数轴结合（压轴） 题型12 绝对值中的动点问题（压轴） 题型13绝对值中的最值问题（压轴） 题型14 绝对值中的多结论问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相反数 有理数的大小比较 绝对值 绝对值的实际应用 1. 理解相反数的概念与几何意义，会求任意有理数的相反数，掌握相反数的基本性质。 2. 掌握绝对值的定义、几何意义及求值方法，能熟练求解正数、负数和0的绝对值。 3. 掌握有理数大小比较的两种方法，能准确比较任意两个有理数的大小，规范书写步骤。 学习重点：掌握相反数、绝对值的概念与运算，熟记核心性质；熟练运用法则，正确比较有理数的大小。 学习难点：掌握多重符号化简，理解绝对值的非负性及几何意义。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 即时即练 1．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．在数轴上绝对值不大于4的整数点有（ ） A．5个 B．个 C．9个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．求绝对值不大于4的整数点，即在数轴上到原点的距离不大于4的整数点． 【详解】解：求绝对值不大于4的整数点，即在数轴上到原点的距离不大于4的整数点， 有，共9个点． 故选：C． 3．如果一个整数的绝对值大于2.1，且不大于3，则这个整数可以是______． 【答案】3或 【分析】本题考查绝对值的定义．根据绝对值的定义，找出整数中满足绝对值大于2.1且不大于3所有数即可求解． 【详解】设这个整数为，则需满足 且 ， 由于，所以的取值范围为整数， 又因为，所以排除上述整数中的，，0，1，2，因此或， 故答案为：3或． 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 即时即练 4．若，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个非负数的和为0，则它们都为0，求代数式的值；由非负数的性质可求得a与b的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．利用绝对值的性质得出的最小值为0，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为2025． 故答案为：2025． 6．若． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，考查了分类讨论的思想． （1）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． （2）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴或． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 即时即练 7．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 8．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数中互为相反数的两个点分别是 ________ ． 【答案】A、C 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数及相反数等基础知识，一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：点A和点C分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，所以它们表示的两个数互为相反数． 故答案为：A、C． 9．若代数式与的值互为相反数，则x的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的性质，解一元一次方程， 根据相反数的定义，代数式与 的值互为相反数，则它们的和为零，据此列出方程． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得． 故答案为：． 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 即时即练 10．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个负号，结果为正，一个数前面有奇数个负号，结果为负，据此求逐项求解即可． 【详解】解：、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 11．化简： __， __，__． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 12．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 即时即练 13．比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，相反数，分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 14．如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)4 (2)数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示， 点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：，，，， 有理数，，，在数轴上表示如图： 由数轴可知：． 15．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的相关知识，包含数轴的应用，绝对值的概念，有理数的大小比较，整数的确定，正确对这些数进行大小比较是解决本题的关键． （1）根据可得；由，且，可得，，据此在数轴上标注即可； （2）利用数轴比较大小即可； （3）由可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 题型1 求一个数的绝对值 【例1】的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是 【变式1】_____________． 【答案】/ 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 【变式2】若，则_____． 【答案】 【分析】绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 【变式4】已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 题型2 相反数的定义 【例2】2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 【变式1】数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（     ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据数轴的性质，到原点距离相等的两个不同点表示的数互为相反数，利用该性质即可求解． 【详解】解：∵数轴上不同的两点M、N到原点距离相等， ∴点M和点N表示的数互为相反数， ∵点M表示的数为，的相反数是， ∴点N表示的数是． 【变式2】已知是的相反数，则______． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵是的相反数， ∴． 【变式3】一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4】如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，． (1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数． (2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数． (3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数． 【答案】(1)点，表示的数分别为和 (2)点表示的数为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离； （1）根据数轴，直接写出点，表示的数． （2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解． （3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数是， ∴点，表示的数分别为和； （2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为． （3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点在点左侧2个单位长度位置， ∴点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 题型3 相反数的应用 【例3】若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 【答案】A 【分析】此题考查相反数的性质，利用相反数的性质，，代入代数式计算. 【详解】解：∵ a 与 b 互为相反数， ∴， ∴， 故选 A. 【变式1】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知与互为相反数，那么______． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 【变式3】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【变式4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)在数轴上分别用A，B两点表示，； (2)若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)b表示的数是，表示的数是10 (3)a表示的数是5，则表示的数是 【分析】本题考查数轴、相反数的几何意义、数轴上两点间的距离，属于基础题，理解相反数的几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解答的关键． （1）根据相反数的几何意义求解即可； （2）根据相反数的几何意义可求得b和对应的点到原点的距离为10求解即可； （3）根据数轴上a、b的位置可求得a表示的数，进而可得表示的数． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵数b与表示的点相距20个单位长度， ∴b和对应的点到原点的距离为10， ∴b表示的数是，表示的数是10； （3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是， ∴a表示的数是5，则表示的数是． 题型4 化简多重符号 【例4】化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 【变式2】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 【变式3】比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，绝对值的化简，有理数大小的比较：正数一定大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．将两项分别化简后比较大小即可． 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 【变式4】在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（分数）、（负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（分数）、（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有 ，共 4 个， 分数有 ，共 3 个， 即， 则 ． 故答案为：1． 题型5 有理数的大小比较 【例5】下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先化简各选项中的数，再根据有理数大小比较规则，即可找出最小的数． 【详解】解：、， ， 最小的数是． 【易错警示】 比较时易忽略负数规则：绝对值大的负数反而小，常直接用数字大小判断。易混淆数轴方向，误判左边数更大；忽略 0 的分界作用，分不清正负。带分数、小数转化不统一直接对比易出错，化简多重符号后再比较才准确，做题先定正负，再算绝对值，分步判断避免跳步失误。 【变式1】比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 【变式2】计算： (1)在数轴上表示下列各数，，，，并用“”把它们连接起来． (2)比较下列各对数的大小： ①______     ②______     ③______ 【答案】(1)数轴见解析， (2)①，②，③ 【分析】本题考查了有理数的大小比较、绝对值，相反数，数轴，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）先化简各数，在数轴上表示出各个数，再比较即可； （2）先根据相反数和绝对值的定义化简各数，再根据有理数比较大小的方法比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 数轴上表示各数如下： ； （2）①， ， 故答案为：； ② ，，且， ， 故答案为：； ③， ， 故答案为：． 【变式3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 【变式4】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 题型6 有理数大小比较的实际应用 【例6】衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键．信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，信号最强即为的绝对值最小， 各选项的绝对值分别为：， ∵， ∴的绝对值最小，信号最强， ∴信号最强的是． 【变式1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小原则“正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键． 把四种液体的凝固温度进行比较，即可解答． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚， 故选：D． 【变式2】某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 【答案】乙 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，成绩中负值表示比标准时间快，正值表示比标准时间慢，成绩的数值越小，表示用时越短，成绩越好． 比较各数大小后作答即可． 【详解】解：∵， ∴1000米跑步成绩最好的是乙． 故答案为：乙． 【变式3】新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，比较两个海拔高度，数值更小的对应中国陆地最低点 【详解】解：艾丁湖海拔高度为米，吐鲁番市区海拔高度为米， 因为， 所以艾丁湖的海拔更低，是中国陆地最低点． 故答案为：． 【变式4】生活情境·气温变化 下表记录了我国几个城市某年一月份的平均气温． 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京 -4.6 3.8 13.2 -18.5 2.6 (1)将各个城市的平均气温从高到低排列； (2)这几个城市按从北到南排列的顺序为哈尔滨、北京、南京、武汉、广州，请与平均气温相比较，指出地理位置与气温的关系． 【答案】(1) (2)从北到南，气温逐渐升高 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． （1）利用有理数的大小比较排列顺序即可； （2）根据排列顺序即可得到答案． 【详解】（1）解：由记录表得，， （2）解：从北到南，气温逐渐升高． 题型7 绝对值的几何意义 【例7】在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到a、b的具体值，再计算绝对值，结合有理数大小比较法则判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 对选项A，∵， ∴，A错误，不符合题意； 对选项B，∵， ∴，B错误，不符合题意； 对选项C，∵， ∴，C正确，符合题意； 对选项D，∵， ∴，D错误，不符合题意． 【易错警示】 绝对值表示数轴上点到原点距离，结果必非负，易误写负数。区分 | a | 与 a：正数绝对值是本身，负数是相反数，0 为 0。做题常混淆两点距离公式，漏加绝对值；审题不清看错数轴点位，直接用坐标相减忽略正负，计算前先明确几何含义再列式。 【变式1】数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点距离公式，点与点的距离表示为，且该距离为． 【详解】解：∵ 点与点的距离为， ∴可以表示为． 故选：． 【变式2】如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键． 由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数． 【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，， 又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，， ∴点B所表示的数为， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【变式3】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 【变式4】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 题型8 绝对值的非负性 【例8】若与互为相反数，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质，有理数的加法，熟练掌握相关性质是问题求解的关键． 根据相反数的定义，两个绝对值互为相反数则它们的和为零，再根据绝对值的非负性，可得每个绝对值都为零，从而求出和的值，最后代入计算，完成求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵绝对值具有非负性， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 【易错警示】 任何数的绝对值都大于或等于 0，这就是非负性，即(|a|≥0\)。易错题：误以为绝对值能为负数；多个绝对值相加等于 0 时，忽略每个绝对值都得单独为 0，只算整体。化简求值先抓住绝对值结果非负这一关键点，遇(|x|+|y|=0\)，直接得(x=0、y=0\)，切勿漏写条件。 【变式1】已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 【变式2】若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；根据绝对值的非负性，求出a、b、c的值，然后问题可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为，，， 所以得,，， 所以，，， 因此； 故答案为2． 【变式3】若，且__________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值非负性，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据非负数的性质，绝对值和平方均非负，它们的和为零则每个部分均为零，分别求出x，m． 【详解】解：由，得； 由，得； 代入，得，即． 因此． 故答案为：1． 【变式4】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 题型9 绝对值的实际应用 【例9】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D． 【变式1】市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义． 比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 【变式2】某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的实际应用，深刻理解绝对值的实际含义是解题的关键．分别计算每个乒乓球的直径与标准直径的差的绝对值，即绝对值最小的最接近标准直径，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，，， 故合格的有编号3和编号4的乒乓球， 又， 编号4的乒乓球的直径最接近标准直径． 故答案为：4． 【变式3】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 【变式4】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 题型10 绝对值的其他应用 【例10】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 【变式1】某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 【变式2】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是________； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有________种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 【变式3】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 【变式4】【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取正整数1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 题型11 绝对值与数轴结合（压轴） 【例11】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上的值最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：C． 【易错警示】 利用数轴求两点距离易漏写绝对值，直接大数减小数忽略左右位置；化简含绝对值代数式时，不会根据数轴判断字母正负，去绝对值不变号。多个绝对值求和最小值分不清分界零点，分段讨论遗漏区间；动点类问题不分类讨论左右移动，符号处理混乱，需先定点、定符号再化简计算。 【变式1】综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离为______，数轴上表示1和的两点之间的距离为______________； （2）数轴上表示和3的两点之间的距离为______，数轴上表示和的两点之间的距离为_______________； 【答案】 4 3 / / 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据，两点之间的距离表示为即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示1和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：4；3． （2）解：数轴上表示和3的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：；． 【变式2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有______个 【答案】 2 6 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离； （1）利用两点之间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，再由是整数，求出符合条件的的值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：2； （2）因为的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，其中整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 【变式3】我们都知道：表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）可理解为与__________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为__________． 【答案】 11 【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的意义，根据题意，进行解答，即可． （1）根据题意，则可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，即可； （2）根据题意，则表示数轴上的数到与两点的距离之和，再根据数轴上表示数的点位于与之间，进行解答，即可． 【详解】解：（1）∵表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， ∴可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）由题意得，表示数轴上的数到与两点的距离之和， ∵数轴上表示数的点位于与之间， ∴表示的数到与两点的距离之和等于与之间的距离为， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 【变式4】阅读下列材料： 我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数与数对应点之间的距离． 如：数轴上数与数对应点之间的距离为； 数轴上数与数对应点之间的距离为； 又如：已知，求的值．意为：数轴上数与数对应点之间的距离为，观察数轴可知的值为或． 请运用上述的几何方法解决下列问题： (1)若，则___________； (2)若，则___________； (3)若，则___________； (4)若，则满足条件的所有整数为___________； 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查用数轴表示距离，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． ()根据的几何意义，表示数轴上数与 数对应点之间的距离； ()由的几何意义可知，表示数轴上数与数对应点之间的距离为，观察数轴即可解答； ()根据绝对值的定义可得或，分别求解即可； ()根据绝对值的几何意义可得，求出此范围内的整数即可； 【详解】（1）解：， 与原点距离为的点对应的数是和，观察数轴可知的值为或．   故答案为：或； （2）， 意为数轴上数与数对应点之间的距离为，观察数轴可知的值为或．     故答案为：或； （3），即 意为数轴上数与数对应点之间的距离为，观察数轴可知的值为或．   故答案为：或； （4）∵表示数到的距离， 表示数到的距离， 且与之间的距离为， ∴当在和之间(含端点)时，， 即， ∵是整数， ∴的值为， 故答案为：；    题型12 绝对值中的动点问题（压轴） 【例12】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：B． 【易错警示】 数轴动点易漏双向移动分类，只算单侧情况致答案不全；距离列式忘记加绝对值，直接相减符号出错。未先根据点的位置划分区间，去绝对值不变号；设未知数后忽略动点运动时长范围，取值不合题意。求最值不会找零点分段，跳步计算极易遗漏多解。 【变式1】已知数轴上点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点的左侧，为数轴上一动点．若点到点的距离为6，则点到点的距离为______． 【答案】16或4 【分析】先根据互为相反数且距离为10，确定表示的数，再分点在点左侧和右侧两种情况，计算点到点的距离． 【详解】解：点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点左侧， 点表示的数为，点表示的数为5． 点到点的距离为6， 当点在点左边时，点表示的数为，此时点到点的距离为16； 当点在点右边时，点表示的数为1，此时点到点的距离为4． 综上所述，点到点的距离为16或4． 故答案为：16或4 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握分情况讨论点的位置，根据数轴上两点间距离公式计算是解题的关键． 【变式2】如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 【变式3】如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，，得到、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 【变式4】已知，A，B在数轴上对应的数分别用表示，且． (1)数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ； (2)若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动，动点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒速度向B运动，点P，Q同时出发，点Q运动到B点时两点同时停止，设点Q运动时间为t秒． ①若P从A到B运动，则P点表示的数为 ；Q 点表示的数为 ．(用含t的式子表示） ②当为4时，求点P与点Q之间的距离？ 【答案】(1)， (2)①，；②3 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再在数轴上表示出A、B的位置； （2）①根据点P，Q的出发点及运动速度，可得出运动时间为t秒时，P，Q两点表示的数；； ②将代入即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴A表示的数是，B表示的数是15； 故答案是：；15； （2）①若P从A到B运动，则P点表示的数为，Q点表示的数为t， 故答案为：；t； ②当时，，． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的乘方，数轴上两点之间的距离，代数式求值，比较基础，解题关键是掌握数形结合思想． 题型13绝对值中的最值问题（压轴） 【例13】已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为________． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为________． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 【易错警示】 求多个绝对值和的最值，易错找错零点、漏排数轴分界点；分不清和与差的最值规律，混淆最小、最大值。未分段讨论直接去绝对值，符号出错；忽略未知数取值范围，求出不合题意的解。多个零点时不会分段判断，跳步易丢区间，牢记奇数零点取中间点，偶数零点取中间区间。 【变式1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 【变式2】如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 【变式3】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【变式4】【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 题型14 绝对值中的多结论问题（压轴） 【例14】若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】数轴上表示和的两点之间的距离是，故错误； 设点表示数， ∵点表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得:或， ∴点表示的数是或，故错误； 代数式代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， ∴当时，为最小值，故正确； 代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和， 当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， ∴当代数式取最小值时，的取值范围是，故正确； 表示点到点的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点位于，两点之间，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式1】如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【详解】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 【变式2】给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了绝对值的化简，相反数，解题的关键是掌握绝对值的相关知识． 按照绝对值的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：①若，则a为负数，由负数的绝对值是它的相反数可知：，故此选项正确，符合题意； ②若，a与b不一定相等，还可以是相反数，例如1和，故此选项错误，不符合题意； ③若，则，两数相等，两数的绝对值相等，故此选项正确，符合题意； ④，由于为非负数，则，故此选项正确，符合题意； 综上，正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 【变式3】以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有_____（填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查绝对值，相反数，有理数，正数和负数，数轴，有理数的乘法和除法．根据绝对值、相反数、有理数，正数和负数以及数轴的定义，有理数的乘法和除法逐项进行判断即可． 【详解】解：①不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误； ②正整数、负整数和统称为整数，原说法错误； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误； ⑤若m满足，即，则，原说法正确； ⑥若三个非零有理数a，b，c满足， 则有理数a，b，c中有两个正数，一个负数， ∴为负数， 则，原说法错误； 综上，正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 【变式4】下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查绝对值的性质、代数式的最大值、数轴上点的位置关系等知识，需要逐一分析每个说法的正确性． 【详解】解：①由绝对值的非负性可知，，则， ， 又， ，故① 正确； ② ， ， 当时取最大值，故②正确； ③， 或， ，或，， 为正数，不是负数，故③错误； ④数轴上三点 、、 相邻距离相等时，可能为、 或 ，不一定只有 ，故④错误； 故答案为：① ②． 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 3．若，则一定是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴，即x为非正数． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 5．若，，且，那么的值是（   ） A．4或2 B．或 C．4或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的定义、代数式求值，正确求得a、b值是解答的关键． 根据绝对值的定义，结合条件，排除不满足条件的组合，仅保留，和 ，两种情况，分别计算的值即可。 【详解】解：∵， ∴或； ∵，∴或． 又∵， ∴当时，最大值为，不符合题意，舍去； ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为4或2． 故选：A． 6．若，则（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 7．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的位置、绝对值以及相反数的性质，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得且与互为相反数，进而逐一判断即得答案． 【详解】解：由数轴可知，． ． A、由于是负数，则是正数，故，A错误； B、，B正确； C、 但 ，故C错误； D、已知，且，则与互为相反数，即，故D错误． 故选：B． 8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（   ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，不妨设，进而表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】解：不妨设 输入的三个数为a，b，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或 ， ∴的最小值是； 故选C． 9．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 10．已知互为相反数，且，则的值为（　　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数和为0，又因为，可求得的值，代入即可求得结果判定正确选项，把相反数和绝对值的运算结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵互为相反数， ∴，即， ∵， ∴，即，解得或， ∴或， 故选：A． 11．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 12．比较大小：___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较的基本原则是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 13．化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 14．数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则点和点 所表示的数分别是____ 和____ ． 【答案】 4 【分析】本题考查了相反数和数轴的性质，根据相反数的定义和数轴上两点间距离的求法即可求解． 【详解】解：两点的距离为8，则点A、B距离原点的距离都是4， ∵点A，B互为相反数，A在B的右侧， ∴A、B表示的数是4，． 故答案为：4，． 15．当___________时，代数式有最大值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 16．若，，且，则的值是____． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的应用，属于基础题，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．根据绝对值的定义，可得，，再根据，可得，，最后代入求值即可． 【详解】解：，， ，． 又， ，． 或． 故答案为：或． 17．已知，，且，则______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义和代数式的求值．根据绝对值的定义，和各有两种可能值，再根据推出，从而确定和的取值组合，最后计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 当时，若，，不符合条件；若，，不符合条件． 当时，若，，符合条件；若，，符合条件． 因此，，或，． 当，时，； 当，时，． 故答案为：或． 18．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 19．如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 20．以下说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④绝对值等于本身的是正数；⑤若m满足，则；⑥若三个非零有理数a，b，c满足，则，其中正确的有_____（填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查绝对值，相反数，有理数，正数和负数，数轴，有理数的乘法和除法．根据绝对值、相反数、有理数，正数和负数以及数轴的定义，有理数的乘法和除法逐项进行判断即可． 【详解】解：①不一定是一个负数，例如当时，，此时不是负数，原说法错误； ②正整数、负整数和统称为整数，原说法错误； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ④绝对值等于本身的是正数与零，原说法错误； ⑤若m满足，即，则，原说法正确； ⑥若三个非零有理数a，b，c满足， 则有理数a，b，c中有两个正数，一个负数， ∴为负数， 则，原说法错误； 综上，正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 21．先在数轴上标出表示下列各数的点，再将这些数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据在正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 在数轴上表示为： 则． 22．若，，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，绝对值的意义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求得或，再代入代数式求解． 【详解】解：∵，，且， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为． 23．给出下列6个数：，在这些数中， (1)负整数有_________，非负数有_________； (2)互为相反数的是_________，绝对值最小的数是_________； (3)画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来． 【答案】(1)； (2)和；0 (3)图见解析， 【分析】本题考查有理数的分类、相反数、绝对值以及数轴的相关知识，解题的关键是熟练掌握这些概念并能准确运用． （1）根据负整数、非负数的定义对给出的数进行分类； （2）依据相反数和绝对值的定义找出符合条件的数； （3）先画出数轴，再将数表示在数轴上，最后根据数轴上数的位置比较大小． 【详解】（1）解：， 负整数是小于0的整数，所以负整数有； 非负数是指正数和0，所以非负数有． 故答案为：，； （2）解：互为相反数的两个数和为0， 所以互为相反数的是和， 一个数的绝对值是非负数，0的绝对值是0， 所以绝对值最小的数是0． 故答案为：和，0； （3）解：数轴如图所示： 24．请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 25．已知两数分别为m、n． (1)试判断与是否为相反数，若是，请说明理由； (2)若与互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)11 【分析】本题主要考查相反数，代数式； （1）根据，判断即可； （2）根据题意得到，解得，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：与为相反数，理由如下： ， ∴与为相反数． （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 26．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 27．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 28．已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 29．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ． (3)的最小值为 ；此时整数 ． (4)若，则整数 ． 【答案】(1) (2)0或6 (3)；，，0，1，2，3 (4)或 【分析】本题考查了列代数式，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出的取值范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：表示与3的距离为3，则或6， 故答案为：0或6； （3）解：表示与的距离与它与3的距离之和， ∴当时，，其他情况下都， ∴的最小值为；此时整数，，0，1，2，3， 故答案为：；，，0，1，2，3； （4）解：表示与的距离与它与3的距离之和为， ∴当时，，不合题意； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 30．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【答案】(1) (2) (3)7； (4)11； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将分为两组数之和，分别为和，分别表示x的范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x有， ∴所有符合条件的整数x的和为 ， 故答案为：7；； （4）解：将分为两组： （最小值为，x在到3之间）； （最小值为，x在到1之间）； 由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为， ∴整数x的值为到1之间的整数：． 故答案为：11；． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $