8.1.1 变量的相关关系 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦变量的相关关系，通过“数学与物理成绩”“瑞雪兆丰年”等生活情境导入，对比正方体体积与棱长等函数关系，搭建从确定关系到不确定关系的学习支架，引导学生理解相关关系概念及与函数关系的区别。 其亮点是以数据探究为核心，结合人体脂肪与年龄等实例绘制散点图，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析数据的能力。典例与变式训练系统覆盖相关关系判断，教师使用可高效推进教学，学生能深化对统计思想的理解与应用。

8.1.1 变量的相关关系 第八章 成对数据的统计分析 作者编号：32100 1 情境一 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题”．按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系．我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间是什么关系？ 新知引入 作者编号：32100 情境二 “瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆.但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗？ 新知引入 作者编号：32100 新知学习 说一说：下列两个变量之间有关系吗？关系是否确定？ (1)正方体的体积 V 与棱长 a ； (2)汽车匀速行驶时的路程 S 与时间 t ； (3)粮食产量 y 与施肥量 x； (4)学习成绩与学习时间； (5)人的体重与视力； (6)商品销售收入 y 与广告支出经费 x 有确定关系：V＝a³ 有关系但不是唯一因素 没有关系 有关系但不是唯一因素 有关系但不是唯一因素 有确定关系： s＝vt 上述问题中，该如何刻画两个变量之间的关系呢？ 作者编号：32100 (1)正方体的体积V与棱长a → 有确定关系： V＝a³ (2)汽车匀速行驶时的路程S 与时间t → 有确定关系： s＝vt 当两个变量之间有确定的关系时，这两个变量之间有因果关系，也就是说，两个变量之间的确定关系是一种“函数关系”。 所以，问题(1)和问题(2)的确定关系中，体积V是棱长a的函数，路程 s 是时间 t 的函数。 新知学习 作者编号：32100 (3)粮食产量y与施肥量x → 有关系但不是唯一因素 (4)学习成绩与学习时间 → 有关系但不是唯一因素 (5)人的体重与视力 → 没有关系 (6)商品销售收入y与广告支出经费x → 有关系但不是唯一因素 问题(3)、问题(4)、问题(6)的不确定关系中，两个变量有关系，但后一个变量不是影响前一个变量的唯一因素。 新知学习 作者编号：32100 概念生成 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 变量的相关关系 ① 相关关系是一种不确定性关系； ② 相关关系是相对于函数关系而言的. 注 意: 作者编号：32100 新知学习 两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 子女身高 y 与父亲身高 x 之间的关系 商品销售收入 y 与广告支出 x 之间的关系 作者编号：32100 函数关系 相关关系 相同点 不同点 都是两个变量间的关系 是一种确定关系 是一种非确定关系 是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 相关关系与函数关系之间的区别和联系 新知学习 伴随关系：现象之间伴随发生或共同变化。 例如：房产销售产量与装修公司的收入之间的关系。 作者编号：32100 典例剖析 例1 给出下列关系，其中有相关关系的是( )(多选) A. 人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系 B. 曲线上的点与该点的坐标之间的关系 C. 苹果的产量与气候之间的关系 D. 森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系 有确定关系 ACD 变式训练 练习1 若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系( ) A. 相关关系 B. 函数关系 C. 无任何关系 D. 不能确定 A 一般来说，名师更可能出高徒，但高徒还受师傅教导时间、 徒弟的天赋、以及徒弟自身的努力等因素影响。 解析： 变式训练 练习2 下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A. 正方体的棱长和体积 B. 单位圆中角的度数和所对弧长 C. 学生的学籍号与学生的数学成绩 D. 日照时间与水稻的亩产量 D 在研究两个变量之间的相关关系时，需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断. 两个变量 相关关系 经验判断 比较主观、不具有普适性 不足 新知学习 作者编号：32100 新知学习 探究：在对人体的脂肪的含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示。 根据上述数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗? 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 作者编号：32100 新知学习 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 从表格中初步发现，年龄越大，脂肪含量越高，是相关关系。 但是变化趋势不直观，数据多、易眼花，可借助类似直方图、折线图的方式，让数据表达的关系更加直观和可视化。 作者编号：32100 新知学习 如果用 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量，上述数据可以用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄/岁 脂肪含量/% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 15 作者编号：32100 新知学习 由散点图得，散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近， 表明随年龄值的增加，脂肪含量值呈现增高的趋势。我们可以推断， 脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系. 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄/岁 脂肪含量/% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 15 作者编号：32100 新知学习 正相关：指两个变量有相同的变化趋势，从整体上看，一个变量会随着另一个变量变大而变大，点的位置散布在从左下角到右上角的区域； 负相关：指两个变量有相反的变化趋势，从整体上看，一个变量会随着另一个变量变大而变小，点的位置散布在从左上角到右下角的区域。 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 正相关 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 负相关 作者编号：32100 新知学习 线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。 O x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. O x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 作者编号：32100 典例剖析 例2 根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系. 正相关 非线性相关 负相关 看不出有相关关系 变式训练 练习3 观察下列散点图，具有相关关系的是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．②③ ①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系． D 解析： 变式训练 练习4 对某学生在连续九次数学测试中的成绩进行统计得到如下散点图． 下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有(　　) ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步升高； ②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分； ③该同学的数学成绩与考试次数具有线性相关性，且为正相关． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 D 解析：根据散点图可知该同学的成绩与考试次数正相关，所以①③均正确；第一次的成绩在90分以下，第九次的成绩在130分以上，所以②正确，故选：D. 典例剖析 例3 某公司的利润 y (单位：千万元)与销售总额 x (单位：千万元)之间有如下表对应数据： (1)画出散点图； (2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系. x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 (1)散点图如右图所示： (2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为 y 与 x 有线性相关关系，且为正相关. 解析： y 10 15 17 20 25 28 32 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 变式训练 练习5 A、B、C、D、E 5 名学生的数学和物理成绩如右表，画出散点图，并判断它们是否有相关关系. A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 散点图如图， 数学成绩 由散点图可见，两者之间具有正相关关系. 解析： 变式训练 练习6 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ (3)若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系． 变式训练 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (1)以 x 轴表示树木的树龄，y 轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示： 解析： 变式训练 (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ (2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势， 解析： 且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系． 变式训练 (3)若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系． (3)近似拟合直线如图所示： 解析： 课堂总结 成对样本数据 散点图 变量相关关系 定性推断 作者编号：32100 Chart3 80 75 70 65 60 物理 物理成绩 70 66 68 64 62 Sheet1 数学 物理 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 Sheet1 物理 物理成绩 Sheet2 Sheet3 $