2025-2026学年北师大版七年级数学下学期期末模拟卷（深圳专用）

**基本信息** 深圳专用北师大版七年级数学期末模拟卷，以生活情境（如节水收费、饮水机接水）和几何探究（折叠问题、格点作图）为载体，覆盖七下全部知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|轴对称与中心对称、科学记数法、整式运算|结合频率折线图考查概率应用（第4题）| |填空题|5/15|完全平方公式、分段函数、三角形中点性质|以螳螂简笔画情境考查角度计算（第13题）| |解答题|7/61|几何作图、方程应用、折叠问题|饮水健康情境融合方程与不等式（第17题）；矩形折叠综合几何直观与推理（第20题）|

七年级数学下学期期末模拟卷 （深圳专用，范围：新教材北师大版七下全部） 满分：100分；考试时间：90分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．据新华社北京2026年1月7日电，2025年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 3．下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 5．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 6．下列关于的说法错误的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若中，则为直角三角形 C．若为直角三角形且，，则等于的一半 D．若中，，则为等边三角形 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．若是一个完全平方式，则的值为 ______． 10．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为______． 11．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则_____． 12．如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则___________． 13．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则的度数为_____． 三、解答题（共7题，共61分） 14．（本题5分）计算与化简： (1)； (2)． 15．（本题7分）在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色的积分卡4张，绿色的积分卡6张． (1)先从袋子中取出张红色积分卡，再从袋子中随机摸出1张积分卡，将“摸出绿色积分卡”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _______ _______ (2)先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张卡片是绿色的概率等于，求n的值． 16．（本题8分）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 17．（本题8分）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 18．（本题9分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 19．（本题12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中指出，通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值” 解：设，则， ．这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则_____． ②如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为42，求图中阴影部分的面积． 20．（本题12分）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末模拟卷 （深圳专用，范围：新教材北师大版七下全部） 满分：100分；考试时间：90分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可，轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意。 2．据新华社北京2026年1月7日电，2025年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：∵科学记数法要求， 将变形为满足要求的时，小数点向左移动6位得到， ∴． 3．下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，原式计算错误，符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意． 4．如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【分析】先判断出试验结果的概率，再逐一分析即可． 【详解】解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 5．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 6．下列关于的说法错误的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若中，则为直角三角形 C．若为直角三角形且，，则等于的一半 D．若中，，则为等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形定义、含角的直角三角形性质、三角形内角和定理以及等边三角形判定，根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、根据等腰三角形定义，两边相等的三角形是等腰三角形，，则为等腰三角形，选项说法正确，不合题意； B、三角形内角和为， ，最大角 ，因此不是直角三角形，选项说法错误，符合题意； C、∵，此时角所对直角边为，斜边为，根据含角的直角三角形性质，可得，选项说法正确，不合题意； D、，是等腰三角形，又，根据判定定理，有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法正确，不合题意． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等． 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故选：B． 8．如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点M，取的中点D，的中点N，连接，，．下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和应用，全等三角形的判定和性质的应用，中位线的性质以及相似三角形的判定和性质的应用；首先根据是中点，是中点，可得是的中位线，判断出；然后判断出，即可判断出；根据，可得；然后根据，可得，所以，据此判断即可．首先连接、，判断出，，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．判断出，，，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，然后根据，判断出，再根据，判断出，，即可判断出． 【详解】解：是中点，是中点， 是的中位线， ，且； 三角形是等腰直角三角形，平分交于点， 是的中点， ， 又， ， ∴①正确； ， ， ， ， ， ②正确； 如图，连接、， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ， 又， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 在和中， ，，， ， ， ③正确； 如图，连接，，， 三角形是等腰直角三角形，平分， 是的中点，， ，，， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且； 三角形是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ∴④正确． 故选：D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．若是一个完全平方式，则的值为 ______． 【答案】30或 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：由题意得：， 因为多项式是完全平方式， 所以， 即， 解得：或． 故答案为：30或． 10．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为______． 【答案】 【分析】根据用水不超过立方米的收费标准、用水超过立方米时的收费标准分别得出与的函数关系式，然后根据确定与的关系式即可 【详解】解：由题意可得：每户每月应交水费元与用水量立方米之间的函数关系式为 ， 因为月份用水量为立方米，应交水费元，则关于的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握立方米这个分界点是解答本题的关键． 11．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图中，已知在中，分别为边的中点，且，则___________． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形面积与中点性质的应用，解题的关键是利用中点得出三角形面积的倍数关系． 利用E是中点，得的面积是阴影部分面积的2倍；再利用D是中点，得的面积是面积的2倍，逐步推导总面积即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴； 又∵D是的中点， ∴． 故答案为：． 13．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的传递性与性质，分别求出与已知角相关的内错角和同旁内角，再通过角度差计算出所求角的度数，体现了平行线性质在折线型问题中的 “辅助线构造法”． 【详解】过点作， ， ， ， 又 ， ， ． 三、解答题（共7题，共61分） 14．（本题5分）计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （2）先根据二次根式的定义确定的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】（1）解：； （2）解：根据二次根式的定义可得，， ∴， ． 15．（本题7分）在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色的积分卡4张，绿色的积分卡6张． (1)先从袋子中取出张红色积分卡，再从袋子中随机摸出1张积分卡，将“摸出绿色积分卡”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _______ _______ (2)先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张卡片是绿色的概率等于，求n的值． 【答案】(1)4；2或3 (2)n的值为2 【分析】（1）当袋子中全部为绿色积分卡时，摸出绿色积分卡才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有仅颜色、图案不同的10张积分卡，其中红色积分卡4张，绿色积分卡6张，， ∴当时，即摸出4张红色积分卡时，袋子中全为绿色积分卡，摸到绿色积分卡是必然事件， 即当时，事件A为必然事件； ，当摸出2张红色积分卡或3张红色积分卡时，摸到绿色积分卡为随机事件， ∴当或3时，事件A为随机事件． （2）解：由题意可得，， 解得． 答：n的值为2． 16．（本题8分）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识． （1）取上的格点，得到，利用等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可确定一点P，使点P到边的距离相等； （2）根据三角形的中线平分的面积，利用矩形的性质确定边的中点Q即可． 【详解】（1）解：如图①中，点即为所求， ∵， ∴由图可得平分， ∴点P到，的距离相等． （2）解：如图②中，点Q即为所求， 由图可得点Q是的中点， ∴是的中线， ∴． 17．（本题8分）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积温水的温度=混合后的体积混合后的温度． 【问题解决】 (1)若用空杯先接了温水，后再接的开水，此时温水和开水混合后共有___________水； (2)小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小康接水的时间一共用了，得到一杯的水，求这杯水混合后的水温； ②若小康想得到一杯温度不低于的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？ 【答案】(1)温水和开水混合后共毫升水 (2)这杯水混合后的水温为；小康接开水的时间至少是秒． 【分析】（）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）设小康同学接了温水，则接了开水，根据题意得，解得，求出小康同学接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温； 设小康接开水的时间是秒，由题意列出不等式，即可． 【详解】（1）解：， 答：此时温水和开水混合后共毫升水； （2）解：设小康同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴小康同学接了温水，开水， ∴这杯水混合后的水温为； 设小康接开水的时间是秒，由题意得： ， 解得：， ∴接开水的时间至少是秒． 18．（本题9分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 19．（本题12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中指出，通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值” 解：设，则， ．这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则_____． ②如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为42，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)350 (2)①5；②100 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）①设，则，再根据进行求解即可； ②由题意得，阴影面积求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：①设， ， ； ②∵，长方形的面积为42， ， ， ∴阴影面积 ， ∴图中阴影部分的面积为100． 20．（本题12分）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先说明，再根据折叠的性质得，，，进而说明，可得，则此题可解； ②连接，设cm，则cm，，再根据勾股定理求出，以及，然后根据可得答案； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，设，则，可得，再根据勾股定理求出，即可得，，然后根据“角角边”证明，进而求出，接下来将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，可得，再说明四边形为矩形，即可得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）①证明∵四边形是矩形， ∴∥， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：连接 设cm，则cm，， ∵四边形是矩形， ∴cm，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于点，过点作于点. 设，则， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴∥，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵∥， ∴，， 在和中 ∴， ∴，， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $