广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025 学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）百外学子的理想学校清华大学、北京大学、浙江大学、上海交大的校徽中是轴对称图形的是( ) 第 1 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2 ．（3 分）在 2025 年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相， 机器人的研发也成为当 今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为 70nm ．已知 1nm ＝10 -9m， 则 70nm 用科学记数法表示为( ) A ．70×10 -9m B ．0.7×10 -7m C ．7×10 -8m D ． -7×108m 3 ．（3 分）下列计算中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 4 ．（3 分）成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播 的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是( ) A ．守株待兔 B ．百步穿杨 C ．水中捞月 D ．水涨船高 5 ．（3 分）在 、 、 、π 、0.2020020002…（每两个 2 之间依次多一个 0）这些数中，无理数有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6 ．（3 分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使 PA+PB＝BC，则符合要求 的作图痕迹是( ) A． B． C． D． 7．（3 分）父亲节，学校“文苑 ”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万， 学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y 表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴 t 表示 离家的时间，那么下面与上述诗意大致相吻合的图象是( ) 第 2 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 8 ．（3 分）如图，已知∠AOB ＝120 ° , 点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点，点 E，F 分别在射线 OA 和 射线 OB 上，且∠EDF＝60 ° . 下列结论：①△DEF 是等边三角形；②四边形 DEOF 的面积是一个定 值；③当DE⊥OA 时，△DEF 的周长最小；④当DE∥OB 时，DF 也平行于 OA ．其中正确的个数是 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 9 ．（3 分）计算：已知 am ＝3 ，an ＝4，则 am+n 的值为 ． 10 ．（3 分）若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 11 ．（3 分）6 月 4 日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级 1～6 班随机观摩一节课．如表是当 天上午的课表．如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率 是 ． 节次 1 班 2 班 3 班 4 班 5 班 6 班 第 1 节 英语 语文 英语 数学 数学 英语 第 2 节 生物 历史 数学 美术 英语 地理 第 3 节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史 第 4 节 语文 英语 日语 语文 语文 数学 12 ．（3 分）一副三角板按如图所示的方式摆放， ∠B=∠D ＝90 ° , ∠A ＝60 ° , ∠E ＝45 ° . 若 AC∥DF， 则∠1 的度数为 ． 13 ．（3 分）如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , 点 D 是 BC 上的一点，AC ＝DC ，AB⊥AE，且 AE＝AB， 连接 DE 交 AC 的延长线于点 F， ＝，则 = . 三.解答题（16+6+8+7+6+8+10，共 61 分） 14 ．（16 分）计算： （1） ． 第 3 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 （2）． （3）先化简，再求值：（x -3y）（ -x+y）+（x -2y）2，其中 x ＝1 ，． 15 ．（6 分）如图，在△ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC 交 AB 于 M、N． （1）若 AB ＝12cm，求△MCN的周长； （2）若∠ACB ＝120 ° ,求∠MCN的度数． 16 ．（8 分）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，过点 D 作 DE∥AC 交 CB 于点 E，过点 E 作 EF∥CD 交 AB 于点 F，则可推得 EF 平分∠DEB，其推导过程和推理依据如下： 解：∵DE∥AC，（已知） ∴∠ACD = . ( ) ∵EF∥CD，（已知） ∴ =∠DEF，( ) ∠DCE = . ( ) ∴∠ACD=∠DEF．（等量代换） 又∵CD 平分∠ACB，（已知） ∴∠ACD=∠DCE ．( ) ∴∠DEF＝ ．（等量代换） ∴EF 平分∠DEB ．（角平分线定义） 17 ．（7 分）校体育队一名田径运动员以每秒 3m 的速度绕长方形体育馆 ABCD 进行跑步训练，抽象成如图 1 所示的数学模型，运动员（点 H）按 A →B →C →D 的路径匀速运动，跑到点 D 停止．已知 AD = 30m，设点 H 的运动时间为 ts ．△HAD 的面积 S（m2）与运动时间 t（s）的关系如图 2 所示． 第 4 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 （1）图 2 的两个变量中，自变量为 ，因变量为 ； （2）AB ＝ ，a ＝ ，b = ; （3）当△HAD 的面积为 240m2时，求 t 的值． 18 ．（6 分）如图，在正方形网格中，A ，B ，C，D，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中利 用格点连线画图，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）请画出△ABC 关于直线 DE 的对称图形△A ′B ′C′； （2）请作出△ABC 的中线 AM； （3）在直线 DE 上找出一点P，使得∠DPA'=∠EPC ′． 19 ．（8 分）【问题背景】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一 起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片 的折叠 ”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作 动手操作： 第 5 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 探究 一 步骤 1：如图①,将长方形纸片 ABCD 对折，使AB 与 DC 重 合，得到折痕 MN，展平纸片； 步骤 2：再沿着过点 A 的直线折叠纸片，使点 B 的对应点 E 落在折痕 MN 上，展平纸片，得到的新折痕与 BC 边交于点 F，连接 AE，DE ，FE． 问题探究一： （1）试说明：DE＝AB； （2）若点 D，E，F 在同一条直线上，连接 BE，求∠EBF 的 度数． 操作 探究 二 动手操作： 步骤 1：如图②, 将长方形纸片 ABCD 对折，使 AD 与 BC 重 合，得到折痕 PQ，展平纸片； 步骤 2：再沿着直线 AQ 折叠纸片，点 D 的对应点 G 落在长 方形纸片 ABCD 内，连接 AG ，QG ，PG． 问题探究二： 判断 AQ 与 PG 的位置关系，并说明理由． 20 ．（10 分）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点 D 是 BC 边上的中点，怎样求 AD 的取值范围呢？ 我们可以延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，然后连接 BE（如图①), 这样，在△ADC 和△EDB 中，由于 , ∴△ADC≌△EDB， ∴AC ＝EB，接下来，在△ABE 中通过 AE 的长可求出 AD 的取 值范围． 第 6 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 （1）在图①中，中线AD 的取值范围是 ． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②, 在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的中点，点 E 是 AB 边上的一点，作 DF⊥DE 交 AC 边于点 F， 连接 EF，若 BE ＝4 ，CF＝2，请直接写出 EF 的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③, 在四边形 ABCD 中， ∠BCD ＝149 ° , ∠ADC ＝31 ° , 点 E 是 AB 中点，点 F 在 DC 上， 且满足 BC＝CF，DF＝AD，连接 CE、ED，请判断 CE 与 ED 的位置关系，并证明你的结论． 第 7 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校七年级（下）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C B B C 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1 ．【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：A 、C、D 的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，所以不是成轴对称图形； B 选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以 是成轴对称图形． 故选：B． 2 ．【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：1 米＝1000000000 纳米， 70 纳米＝0.00000007 米＝7×10 -8 米． 故选：C． 3 ．【答案】B 【分析】根据二次根式加减法运算法则判断 A 、B 和 C，根据二次根式除法运算法则判断 C， 【解答】解：A、原式＝+2，故此选项不符合题意； B、原式＝，故此选项符合题意； C、原式＝ ＝，故此选项不符合题意； D 、2 与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； 第 8 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 故选：B． 4 ．【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A ．守株待兔，是随机事件，不符合题意； B ．百步穿杨，是随机事件，不符合题意； C．水中捞月，是不可能事件，不符合题意； D ．水涨船高，是必然事件，符合题意； 故选：D． 5 ．【答案】C 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解： ＝3，是整数，属于无理数； 在 、 、 、π 、0.2020020002…这些数中，无理数有 ，π , 0.2020020002…（两个 2 之间 依次多一个 0），共 3 个． 故选：C． 6 ．【答案】B 【分析】利用线段的垂直平分线的性质，可得结论． 【解答】解：选项 B 中，连接 PA，则 PA＝PC， ∴PA+PB＝PC+PB＝BC， 故选：B． 7 ．【答案】B 【分析】首先正确理解小诗的含义，然后再根据时间与离家的距离关系找出函数图象． 【解答】解：同辞家门赴车站，父亲和孩子的函数图象在一开始的时候应该一样， 别时叮咛语千万，时间在加长，路程不变， 学子满载信心去，学子离家越来越远， 老父怀抱希望还，父亲回家离家越来越近， 第 9 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 8 ．【答案】C 【分析】过点 D 作DM⊥OB 于点 M，DN⊥OA 于点 N，如图所示：根据角平分线的性质得到 DM= DN，求得∠MDN＝60 ° , 根据全等三角形的判定和性质得到 DE＝DF，根据等边三角形的判定定理得 到△DEF 是等边三角形；故①正确；根据全等三角形 到现在得到△DEN＝S△DFM，求得 S△DEN+S 四边形 DEOM =S 四边形 DEOM+S△DFM，即 S 四边形 DEOF ＝S 四边形 DMON，推出四边形 DEOF 的面积是一个定值，故②正确； 根据垂线段最短，得到 DE 的值最小，当 DE 最小时，△DEF 的周长最小，于是得到当 DE⊥OA 时， DE 最小，△DEF 的周长最小，故③正确，根据平行线的性质得到∠D=∠DFB ＝60 ° , 求得∠DFB≠ ∠AOB，得到 DF 一定与 OA 不平行，故④错误． 【解答】解：过点 D 作 DM⊥OB 于点 M，DN⊥OA 于点 N，如图所示： ∵点 D 是∠AOB 的平分线上的一点， ∴DM＝DN， ∵∠AOB ＝120 ° ,∠DNO=∠DMO ＝90 ° , ∴∠MDN＝60 ° , ∵∠EDF＝60 ° , ∴∠EDN=∠FDM， ∴△DEN≌△DFM（ASA）， ∴DE＝DF， ∴△DEF 是等边三角形；故①正确； ∵S△DEN＝S△DFM， ∴S△DEN+S 四边形 DEOM＝S 四边形 DEOM+S△DFM， 即 S 四边形 DEOF ＝S 四边形 DMON， ∵点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点， ∴四边形 DMON 的面积是一个定值， ∴四边形 DEOF 的面积是一个定值，故②正确； ∵DE⊥OA， 故选：B． 第 10 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴点 E 与 N 重合， ∵垂线段最短， ∴DE 的值最小， 当 DE 最小时，△DEF 的周长最小， ∴当 DE⊥OA 时，DE 最小，△DEF 的周长最小，故③正确， ∵DE∥OB，∠D=∠DFB ＝60 ° , ∵∠AOB ＝120 ° , ∴∠DFB≠∠AOB， ∴DF 一定与 OA 不平行，故④错误． 故选：C． 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 9 ．【答案】见试题解答内容 【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵am＝3 ，an ＝4， ∴am+n =am •an =3×4 = 12， 故答案为：12． 10 ．【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式有意义的条件得出 x -2≥0，计算求解即可． 【解答】解：由题意可得：x -2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 11 ．【答案】． 【分析】根据概率公式可得答案． 第 11 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有 24 种等可能结果，其中语文课的有 4 种 可能， ∴听数学课的可能性是 = , 故答案为：． 12 ．【答案】15 ° . 【分析】根据三角板得出∠C ＝30 ° , ∠F＝45 ° , 根据 AC∥DF，得出∠3=∠F＝45 ° , 再根据三角 形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【解答】解：如图； ∵∠B=∠D ＝90 ° ,∠A ＝60 ° ,∠E ＝45 ° , ∴∠C ＝180 ° -90 ° -60°=30 ° ,∠F＝180 ° -90 ° -45°=45 ° , ∵AC∥DF， ∴∠3=∠F＝45 ° , ∴∠2=∠3 - ∠C ＝45 ° -30°=15 ° , ∴∠1=∠2 ＝15 ° , 故答案为：15 ° . 13 ．【答案】． 【分析】在 DC 上截取 CG ＝CF，连接 AG，设 AC ＝3x ，CF＝2x，先证明△ACG≌△DCF（SAS），再 证明△EAF≌△ABG（AAS），从而推出 BD ＝4x，即可求解． 【解答】解：在 DC 上截取 CG ＝CF，连接 AG， ∵ = , 设 AC＝3x ，CF＝2x， ∵AC＝DC， ∴CD ＝3x ， ∵CG ＝CF， 第 12 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴CG ＝2x， ∵∠ACB ＝90 ° , 在 Rt△ACG 和Rt△DCF 中， , ∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴∠CAG=∠CDF， ∵∠AGB=∠CAG+90 ° ,∠EFA ＝90 °+ ∠CDF， ∴∠AGB=∠EFA， ∵AB⊥AE， ∴∠EAB ＝90 ° , ∵∠ACD ＝90 ° , AC ＝CD， ∴∠CAD ＝45 ° , ∴∠EAF+∠BAD ＝45 ° , ∵∠ADC ＝45°=∠ABC+∠BAD， ∴∠EAF=∠ABC， 在△EAF 和△ABG 中， , ∴△EAF≌△ABG（AAS）， ∴BG＝AF＝5x， ∵GD ＝3x -2x＝x， ∴BD ＝4x， ∴ = ; 方法二：过点 A 作 GP∥CB，过点 E 作 EH⊥AF 交于点 H，过点 E 作 EG⊥GP 交于点 G，过点 B 作 BP ⊥GP 交于点 P， ∵ = , 设 AC＝3x ，CF＝2x， ∵AC＝DC， 第 13 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵AE⊥AB， ∴∠EAB ＝90 ° , ∴∠GAE+∠PAB ＝90 ° , ∵∠GAE+∠GEA ＝90 ° , ∴∠PAB=∠GEA， ∵AB＝AE， ∴△AEG≌△BAP（AAS）， ∴BP＝AG， ∵AC＝BP ＝2x， ∴AG＝EH＝2x， ∵∠DCF=∠H＝90 ° , CF＝BH，∠CFD=∠EFH， ∴△DCF≌△EHF（ASA）， ∴FH＝CF＝2x， ∴GE＝AP ＝7x， ∴BC＝7x， ∴BD ＝4x， ∴ = ; 故答案为． ∴CD ＝2x， 第 14 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 三.解答题（16+6+8+7+6+8+10，共 61 分） 14 ．【答案】（1）2； （2）； （3）-x2+xy-3y2,如区-7． 【分析】（1）根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算 即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式和合并同类项法则进行化简， 再把 x，y 的值代入化简 后的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1 -4+2+3 = 1+2+3 -4 =2； （2）原式= = = = ; （3）原式＝ -x2+xy+3xy -3y2 = -x2+4xy -3y2， 当 x ＝1 ，时， 原式= = = = . 第 15 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 15 ．【答案】（1）12； （2）60 ° . 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出 AM＝CM，BN＝CN，再求出△MCN的周长＝AB，再代 入求出答案即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B ＝180 ° - ∠ACB ＝60 ° , 根据等腰三角形的性质得出∠A = ∠ACM，∠B=∠BCN，求出∠ACM+∠BCN=∠A+∠B ＝60 ° ,再求出答案即可． 【解答】解：（1）∵DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC 交 AB 于 M、N， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∵AB ＝12cm， ∴△MCN的周长是 CM+MN+CN =AM+MN+BN =AB = 12； （2）∵∠ACB ＝120 ° , ∴∠A+∠B ＝180 ° - ∠ACB ＝60 ° , ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， ∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B ＝60 ° , ∵∠ACB ＝120 ° , ∴∠MCN=∠ACB - (∠ACM+∠BCN）＝120 ° -60°=60 ° . 16．【答案】∠CDE；两直线平行，内错角相等；∠CDE；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行， 同位角相等；角平分线的定义；∠BEF． 【分析】利用平行线的性质两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等解答即可． 【解答】解：∵DE∥AC，（已知） ∴∠ACD=∠CDE，（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD，（已知） ∴∠CDE=∠DEF，（两直线平行，内错角相等） ∠DCE=∠BEF，（两直线平行，同位角相等） ∴∠ACD=∠DEF，（等量代换） 又∵CD 平分∠ACB，（已知） 第 16 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ACD=∠DCE，（角平分线的定义） ∴∠DEF=∠BEF，（等量代换） ∴EF 平分∠DEB ．（角平分线定义） 17 ．【答案】（1）运动时间 t，△HAD 的面积 S； （2）45cm ，40 ，675； （3）或． 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可得； （2）根据图 2 函数分别分析出当点 H 运动到点 B 、C、D 处的路程，求出 AB，再求出当点 H 在 BC 上 时的面积即可； （3）当△HAD 的面积为 240m2 时，点 H 在 AB 或 CD 上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【解答】解：（1）图 2 的两个变量中，自变量为运动时间 t，因变量为△HAD 的面积 S， 故答案为：运动时间 t，△HAD 的面积 S； （2）由图 2 得，当 0＜t ≤15 时，S 随 t 的增大而增大， ∴当点 H 运动到点 B 时，t ＝15s， ∴AB ＝3 × 15 ＝45cm， 当 15＜t ≤25 时，S 的值不变， ∴当点 H 运动到点 C 时，t ＝25s， ∴BC＝AD＝（25 -15） ×3 ＝30cm， ∴,即 b ＝675， 当点 H 运动到点 D 处时，S＝0， ∴a ＝25+15 ＝40， 故答案为：45cm ，40 ，675； （3）当点 H 在 AB 上时，△HAD 的面积= , 当 S＝240 时，， ∴AH＝16， ∴ , 当点 H 在 CD 上时，△HAD 的面积= , 第 17 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 当 S＝240 时，， ∴DH＝16， ∴ , 综上，点 H 的运动时间为或． 18 ．【答案】见解析． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出 A ，B ，C 的对应点 A′，B′，C′即可； （2）根据三角形中线的定义画出图形； （3）连接 A ′C 交直线 DE 于点 P，连接 PC 即可． 【解答】解：（1）如图，△A ′B ′C′即为所求； （2）如图，线段 AM即为所求； （3）如图，点 P 即为所求． 19 ．【答案】问题探究一：（1）证明见解答； （2）∠EBF＝22.5 ° ; 问题探究二：AQ∥PG；理由见解答． 【分析】问题探究一：（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （2）根据 AE＝DE，得出，根据平行线的性质得出∠NFE=∠ADE = 45 ° , 根据等腰三角形的性质得出∠EBF=∠BEF，根据三角形外角的性质得出∠EBF+∠BEF=∠EFN =45 ° ,最后求出结果即可； 问题探究二：根据折叠得出 AD＝AG， ∠DAQ=∠GAQ，AD∥PQ，AD＝PQ，证明∠AQP=∠GAQ， 得出 AM＝QM，证明 PM＝GM，得出∠MPG=∠MGP，根据∠MPG+∠MGP=∠AQP+ ∠GAQ，得出 第 18 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∠MPG=∠MGP=∠AQP=∠GAQ，最后根据平行线的判定得出结果即可． 【解答】问题探究一：（1）证明：根据折叠可知MN⊥AD，AB＝AE， ∴AE＝DE， ∴DE＝AB； （2）解：长方形纸片 ABCD 中∠ABF＝90 ° , AD∥BC， 根据折叠可知∠AEF=∠ABF＝90 ° , BF＝EF， ∵点 D ，E，F 在同一条直线上， ∴∠AED -180 ° -90°=90 ° , ∵AE＝DE， ∴ , ∵AD∥BC， ∴∠NFE=∠ADE ＝45 ° , ∵BF＝EF， ∴∠EBF=∠BEF， ∵∠EBF+∠BEF=∠EFN＝45 ° , ∴; 问题探究二：解：AQ∥PG 理，由如下： 如图， 根据折叠可知 AD＝AG，∠DAQ=∠GAQ，AD∥PQ，AD＝PQ， ∴∠DAQ=∠AQP， ∴∠AQP=∠GAQ， ∴AM＝QM， ∵AD＝AG，AD＝PQ， ∴AG＝PQ， 第 19 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴AG-AM＝PQ-MQ， 即 PM＝GM， ∴∠MPG=∠MGP， ∵∠AMQ=∠PMG， ∴∠MPG+∠MGP=∠AQP+ ∠GAQ， ∴∠MPG=∠MGP=∠AQP=∠GAQ， ∴AQ∥PG． 20 ．【答案】（1）1＜AD＜7； （2）2＜EF＜6； （3）CE⊥ED；理由见解析． 【分析】（1）延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 BE，由 SAS 证得△ADC≌△EDB，得出 AC＝EB ＝6， 在△ABE 中，AB -BE＜AE＜AB+BE，得出 2＜AE＜14，即可得出结果； （2）延长 ED 到点 N，使 ED＝DN，连接 CN、FN，由 SAS 证得△NDC≌△EDB，得出 BE ＝CN＝4， 由等腰三角形的性质得出 EF＝FN，在△CFN中，CN -CF＜FN＜CN+CF，得出 2＜FN＜6，即可得出 结果； （3）延长 CE 与 DA 的延长线交于点 G，易证 DG∥BC，得出∠GAE=∠CBE，由 ASA 证得△GAE≌△ CBE，得出 GE ＝CE，AG＝BC，即可证得 CD ＝GD，由 GE ＝CE，得出 CE⊥ED． 【解答】解：（1）延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 BE，如图①所示： ∵点 D 是 BC 边上的中点， ∴BD ＝CD， 在△ADC 和△EDB 中， , ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝EB ＝6， 在△ABE 中，AB -BE＜AE＜AB+BE， ∴8 -6＜AE＜8+6，即 2＜AE＜14， ∴ 1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7； （2）延长 ED 到点 N，使 ED＝DN，连接 CN、FN，如图②所示： 第 20 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵点 D 是 BC 边上的中点， ∴BD ＝CD， 在△NDC 和△EDB 中， , ∴△NDC≌△EDB（SAS）， ∴BE ＝CN＝4， ∵DF⊥DE，ED＝DN， ∴EF＝FN， 在△CFN 中，CN -CF＜FN＜CN+CF， ∴4 -2＜FN＜4+2，即 2＜FN＜6， ∴2＜EF＜6； （3）CE⊥ED；理由如下： 延长 CE 与 DA 的延长线交于点 G，如图③所示： ∵点 E 是 AB 中点， ∴BE＝AE， ∵∠BCD ＝149 ° ,∠ADC ＝31 ° , ∴∠BCD+∠ADC ＝180 ° , ∴DG∥BC， 第 21 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠GAE=∠CBE， 在△GAE 和△CBE 中， , ∴△GAE≌△CBE（ASA）， ∴GE ＝CE，AG＝BC， ∵BC＝CF，DF＝AD， ∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD ＝GD， ∵GE ＝CE， ∴CE⊥ED． 第 22 页（共 22 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$