期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数证明不等式三大类型，通过精选典例构建从单变量到求和型的递进训练体系，强化推理能力与逻辑思维 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单变量不等式|2例+2变式|结合切线、单调性、恒成立求参数后证明|从函数切线与单调性切入，构建“求导-分析最值-证不等式”基础逻辑| |双变量不等式|2例+2变式|含极值点、方程根的双变量关系证明|以单变量为基础，通过极值点关系、变量代换实现双变量问题转化| |求和型不等式|2例+2变式|数列求和不等式证明，需函数不等式放缩|承接前两类，将函数不等式推广至数列求和，体现从函数到数列的应用拓展|

期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 考点目录 利用导数证明单变量不等式 利用导数证明双变量不等式 利用导数证明求和型不等式 考点一 利用导数证明单变量不等式 例1.(2026-四川眉山模拟预测)已知函数fx=anxa>0)与函数g(x)=1+（b∈R)的图象在公共点处有相同 的切线 (1)当a=1时，求函数f(x与gx)在公共点处的切线方程； (2)求b的最大值； (3)证明：当x>0时，f（x)≥gx): 例2.(25-26高二下·吉林长春·期中)己知函数f(x)=2x-1-lnx (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：当x>1时，f(x)<e-恒成立. 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 变式1.(25-26高二下·甘肃白银期中)已知函数f(x=1n(1+x) (1)求函数∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求证：f(x)≥ x+1 变式2.(2026山东日照模拟预测)已知函数f(x)=e,gx=lnx. ④)若曲线y=与直线y=m相切，求m的值. (2)若不等式agx≤x-1(a∈R)恒成立， (i)求a的值； (ii)求证：f(x-2xg ex>1恒成立. 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 考点二 利用导数证明双变量不等式 例1.(25-26高二下·江苏扬州阶段检测)已知函数f(x)=1nx+ a-x',其中a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)在1，f1)处的切线方程； (②)若函数∫(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围： （③若f到在(0,2到上存在两个极值点，x<x,求证：-<片. 例2.(25-26高二下广东江门期中)f(x)是定义在R上的连续可导函数，f'(x)是f(x)的导函数，f'(0)=1,且 x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)+ey-e*-e'. (1)求f(0)与'(1： (2)求f(x)的解析式： (3)关于x的方程f(x-x-a=0(k>0,a>)有两个不同的实数根x1,x2,证明：x+x2<2lnk. 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 变式1.(25-26高二下.安徽池州期中)己知函数f(x)=(nx-2)x2-mx(x>0). (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： (2)若∫(x)的两个极值点分别为X和x2,且x1<x2· (i)求实数m的取值范围； (ii)求证：x2-x1<m+2e. 变式2.(2526高二下-河北邯郸期中)已知函数fx)=r2-anx-6N6 (I)当a=1时，求曲线y=f(x在点1，∫(1)处的切线方程； (2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围； (3)若0<a<9,且廿me(0,+o）,3n∈(0,1，f(n+m">mlnm2-2ln2,求a的取值范围. 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 考点三 利用导数证明求和型不等式 例1.(25-26高二下·湖北阶段检测)己知f(x)=x+2)ln(x+a)在x=0处的切线方程为y=x (1)求a和k; (2)证明：x≥0时，fx)2x; ③)对meN,证明：e品<2 例2.(2026江苏南京·模报预利）已知系数f=a叫x-小e+,a>-1 (1)讨论f(x的单调性； (2)证明： ①(x-1)e+x2≥-1： ②当a22且aeN时、分片+<2 3×5×7×…×(2n-1) 2×4×6×…×2n-2 5 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 变式1.(25-26高二下·陕西商洛·期中)己知函数f(x)=2axe-lnx+x+1,aeR (1)当a=0时，求f(x的最小值； (②)若∫(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明： Ink e-1 -(n22,neN*) 变式2.(25-26高二下.四川眉山期中)己知函数f(x)=ax2-xlnx- 2 (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程； 2当x21,u22时，证明：f20: 11 1 3证明：h2m+T<3+5x5++2n-X2n+d（neN), =十…十 6期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 期末培优：利用导数证明单变量不等式、双变量不等式、求和型不等式专项训练 考点目录 利用导数证明单变量不等式 利用导数证明双变量不等式 利用导数证明求和型不等式 考点一 利用导数证明单变量不等式 例1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 例2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式即可. （2）在给定条件，等价转化不等式，再构造函数，利用导数推理证明即可. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 因函数在上递增，则函数在上递增， 故，函数在上递增， 则，函数在上单调递增， 则， 所以当时，恒成立. 变式1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解； （2）构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. （2）令，易知的定义域为， 则，当时，；当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，则，命题得证. 变式2．（2026·山东日照·模拟预测）已知函数，． (1)若曲线与直线相切，求的值． (2)若不等式（）恒成立． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：恒成立． 【答案】(1)e (2)（ⅰ）1 ； （ⅱ）法一：由（ⅰ）知，． 所以恒成立，当且仅当时，等号成立． 所以 ，即 ，当且仅当时，等号成立． 要证恒成立，需证恒成立， 即证恒成立，令 ， 下证：易知， 令，则 ． 由，得，则在上单调递增； 由，得，则在上单调递减． 因为，，， 所以存在唯一，使得， 当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以在时恒成立，当且仅当时，等号成立． 所以 ，当且仅当时，等号成立． 又与 的取等条件不相同， 所以，即恒成立， 法二：要证恒成立， 只需证 恒成立，即证， 先证明当时，， （同法一）设，则， 令，则， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为 ， ，， 所以可作出的大致图象如图1所示， 根据图象分析，可得存在，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，得的大致图象如图2所示， 根据函数图象，可得， 由此可证（），当且仅当时，等号成立， 再证明，即， 设，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 因为与 的取等条件不相同， 所以，即，即恒成立. 【分析】（1）由导数的几何意义，结合切线方程求参数值即可； （2）（i）问题化为恒成立，构造，应用分类讨论及导数研究恒成立求参数值；（ii）法一：问题化为证明恒成立，应用导数研究不等式恒成立，即可证；法二：问题化为证明，再应用导数证明，即可证. 【详解】（1）设函数，且曲线与直线的切点为， 则，解得，而 ， 则此曲线斜率为0的切线方程为，可得； （2）（ⅰ）若恒成立，则恒成立， 设 ，则恒成立，易得． ①当时，，函数在上单调递减． 又时，，所以 不恒成立． ②当时，，当时，；当时，， 所以不恒成立， ③当时，由，得；由，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 若 恒成立，则， 设 ，则， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即，所以只有满足题意． 综上所述，． （ⅱ）略 考点二 利用导数证明双变量不等式 例1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即， 联立解得，所以． 且， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）略 例2．（25-26高二下·广东江门·期中）是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． (1)求与； (2)求的解析式； (3)关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，结合题设可得答案；对原函数方程两边关于求导，结合可得答案； （2）由（1）解析可得答案； （3）令，通过研究单调性结合设，可得，则需要证明的不等式等价于，最后由，的单调性可完成证明. 【详解】（1）令，则； 对方程两边关于求导（将x视作常数）, 可得，令，可得， 因，则，从而； （2）由（1），，则（为常数）. 又，可得，则； （3）设，则，结合，，. 从而在上单调递减，在上单调递增，又，， 有两个不等实根，则. 设，则.要证：，即证，因，则， 结合在上单调递减，要证，即证， 又，要证，即证：. 令，， 则（时取等号）， 即在上单调递增，从而时，即，从而命题得证. 变式1．（25-26高二下·安徽池州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先代入确定函数解析式与定义域，再求导算出切点横坐标对应的函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，最后用点斜式整理化简得出切线方程. （2）（i）先求出函数导数，由有两个极值点转化为对应导函数方程有两个正根，构造辅助函数并求导分析单调性与最小值，结合函数极限和零点位置，数形结合确定直线与图象有两个交点时的取值范围. （ii）先依据前一问单调性确定极值点的取值范围，构造关于的新函数并求导研究其单调区间与最小值，证得，再结合的范围放缩不等式，最终推导出成立. 【详解】（1）当时，， 则的定义域为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）（i），定义域为． 因为函数有两个极值点，所以是方程的两个正根． 令，则定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则． 又当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 综上，实数的取值范围为． （ii）由（i）知，，且时，， 又，所以. 令，则， 易得在上单调递增，且， 所以当时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，则， 又因为，所以， 所以，即． 变式2．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若，且，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）求导，确定切线斜率，进而可求解； （2）求导，结合单调性得到对恒成立.再通过和分类讨论求解即可； （3）通过移项变形得到，构造函数，通过求导确定单调性，得到最值进而可求解. 【详解】（1）当时，，则， 则. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域为. . 若在其定义域内单调递增，则对恒成立， 即对恒成立. 易知，当时，在上单调递增，所以满足题意. 当时，设， 则. 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，当时，在其定义域内单调递增，则在上单调递增， 则在上的最大值为. 由，得， 则. 设，则，当时，，当时，， 所以. 设，， 则，当时，，当时，， 所以. 由，，， 得， 解得，又，所以的取值范围是. 考点三 利用导数证明求和型不等式 例1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 【答案】(1)， (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得，结合，求得的值； （2）令，求得，得到，即，得到，即可得证； （3）由（2）中的结论，求得，，，结合对数的运算公式，即可得证. 【详解】（1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. （2）略 （3）略 例2．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明： ① ； ②当且时，. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； (2)①由（1）得，当时，，又在上单调递增，在单调递减，所以，即，即 ； ②当时，，令（，且），得，两边同时取自然对数，得，即，，，，则，即当且时，. 【分析】（1）按和分类讨论确定导数的正负得出单调性； （2）①利用（1）中时函数的单调性证明；②由①得时，，然后对赋值（，且），让取得个不等式相加后可证. 【详解】（1）由，，得， . 若，则 ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若时，令，得或. 因为，所以 ， 当，则，单调递减， 当，则，单调递增， 当，则，单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； （2）①略 ②略 变式1．（25-26高二下·陕西商洛·期中）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，） 【答案】(1)最小值为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【详解】（1）当时，函数 ，定义域为，， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. （2）当时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. （3）由（2）知，（），即（），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 变式2．（25-26高二下·四川眉山·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当，时，证明：； (3)证明：（）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求当时函数的解析式与导函数，求出切线的斜率，即可求得切线方程； （2）利用放缩法转化为，再构造函数并结合导数证明不等式即可. （3）取，由（2）得，取，然后利用累加法即可证结论. 【详解】（1）当时，，，， 则，所以， 所以切线方程为，即. （2）由题意得，则， 因为，所以， 欲证，则证即可， 令，则， 令，可得， 当时，，则在上单调递增， 而，则，即，得到在上单调递增， 而，则，即得证. （3）取，由（2）得当时，， 所以，取， 则有， 即， 所以，，，， 将上述式子相加得，得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $