期末培优：由递推关系研究数列的性质、由递推关系求数列通项 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列递推关系的性质研究与通项求解，通过精选典例构建从递推式到数列特征的逻辑链条，覆盖选择、填空、解答题，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由递推关系研究数列的性质|例6+变式6|单选/多选/填空，涉及单调性、周期性、有界性及等差等比判定|以递推式为核心，通过特殊值法、归纳推理揭示数列本质属性，构建“递推关系→数列特征→性质验证”逻辑| |由递推关系求数列通项|例3+变式3|解答题，含构造新数列、累加法等|基于等差等比定义，通过转化递推式（如取倒数、待定系数）实现通项求解，体现“递推变形→模型识别→公式推导”过程|

期末培优：由递推关系研究数列的性质、由递推关系求数列通项专项训练 期末培优：由递推关系研究数列的性质、由递推关系求数列通项专项训练 考点目录 由递推关系研究数列的性质 由递推关系求数列通项 考点一 由递推关系研究数列的性质 例1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 例2．（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 例3．（25-26高二下·湖北·阶段检测·多选）数列中，且．若的前项和为，则（   ） A．是等比数列 B．是递增数列 C． D．存在使 例4．（25-26高二下·浙江·阶段检测·多选）已知数列满足:，下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．存在正整数，使得 D．数列单调递增 例5．（2026·北京顺义·三模）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于； ②数列为等差数列； ③为递减数列； ④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 例6．（25-26高二下·北京延庆·期中）下面四个数列中： ①等差数列中公差； ②等比数列中公比； ③数列满足； ④数列满足． 其中数列是递增数列的序号为___________． 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测·多选）已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（   ） A．是递增数列 B． C． D．的取值范围为 变式4．（25-26高二下·四川泸州·期中·多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 变式5．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 变式6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为______． 考点二 由递推关系求数列通项 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 例2．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知，. (1)求； (2)证明：. 例3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 变式2．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式3．（25-26高二下·重庆·期中）数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：由递推关系研究数列的性质、由递推关系求数列通项专项训练 期末培优：由递推关系研究数列的性质、由递推关系求数列通项专项训练 考点目录 由递推关系研究数列的性质 由递推关系求数列通项 考点一 由递推关系研究数列的性质 例1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 【答案】C 【分析】先由递推式求出、，判断A、B的关键起点．再证明始终在合适范围内，从而恒成立，把含取整的递推式化为普通递推式，进而判断C．最后利用递推式比较与的大小，判断D． 【详解】由，得所以． 故选项A不正确． 由，得 下面证明数列单调递增． 先证明对任意正整数，都有 当时，，结论成立． 假设． 因为，所以从而，于是 又因为当时，函数单调递增，且，所以 由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 因此恒成立，即 由上式可得即 所以C正确． 因为，且， 由可知，所以，即数列单调递增． 故． 所以选项B不正确． 同时，不存在正整数使，故选项D不正确． 例2．（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【分析】结合递推关系及充分条件的定义，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. 例3．（25-26高二下·湖北·阶段检测·多选）数列中，且．若的前项和为，则（   ） A．是等比数列 B．是递增数列 C． D．存在使 【答案】AC 【分析】当时，可得，可判断A；当时，计算可得，可判断B；求得可判断C；利用导数，可判断无解，进而可得结论. 【详解】当时，， 所以，又， 所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以， 当时，， 所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 又，，所以， 所以不是递增数列，故B错误； ，故C正确； 若，则有解， 令，求导得， 当时，，函数单调递减，又， 所以当时，无解，又， 所以无正整数解， 所以不存在使，故D错误. 例4．（25-26高二下·浙江·阶段检测·多选）已知数列满足:，下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C．存在正整数，使得 D．数列单调递增 【答案】BD 【分析】对A：令，结合题目所给条件，计算出即可得解；对B：借助数学归纳法结合函数在上单调递增，可得，即可得解；对C：借助反证法，假设存在正整数，使得，设为满足题意的最小下标，则可得，，计算可得，与矛盾，即可得解；对D：结合，可得，从而有，构造相应函数，利用导数研究其单调性即可得解. 【详解】对A：令，则由，可得， 又，则，， 即，故（负值舍去）， 则， 即，则（负值舍去）， 故， 则，故A错误； 对B：由，则， 下面借助数学归纳法证明： 当时，； 假设当时，， 则当时，， 令，则在上单调递增， 则，故； 即对任意，都有，且有， 即，故，故B正确； 对C：假设存在正整数，使得，设为满足题意的最小下标， 由，故，满足，且有，即，， 由，则， 则，， 由，则， 与矛盾，故假设不成立，故C错误； 对D：， 由，则， 则（负值舍去），则， 由B知，又，故， 令， 则 ，故单调递增， 则随的增大而增大，故随的增大而增大， 即数列单调递增，故D正确. 例5．（2026·北京顺义·三模）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于； ②数列为等差数列； ③为递减数列； ④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】由条件先证明可判断①；进而求得判断②；结合等差数列定义求得，结合求，再由与关系求，结合单调数列的定义计算可判断③；利用的通项公式可判断④. 【详解】由，可得， 当时，，所以，故，故①正确； 当时，，代入， 可得，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，故②正确； 得， 由，可得， 当时，也满足上式， 当时，， 当时，， ， 所以当时，数列单调递增，故③错误； 当时，，满足， 所以当时，存在，故④正确. 例6．（25-26高二下·北京延庆·期中）下面四个数列中： ①等差数列中公差； ②等比数列中公比； ③数列满足； ④数列满足． 其中数列是递增数列的序号为___________． 【答案】①④ 【分析】项，等差数列，公差是递增数列的充要条件； 项，等比数列，考虑首项为负情况； 项，积递推数列，对比前两项即可判断是否为递增数列； 项，利用错位相减求通项，分步验证首项，再验证，最后确定为递增数列. 【详解】项，等差数列，因为，所以，该数列为递增数列； 项，等比数列通项公式，若，比如，则，此时，该数列是递减数列； 项，，该数列不是递增数列； 项，时，；时，用式减去式：，所以.所以；当时，，所以该数列是递增数列. 变式1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象规律，归纳各项，通过数列放缩结合等比数列求和公式可算范围. 【详解】由图可知，，即，所以B错误； 所以， 所以数列是以为首项，8为公比的等比数列， 所以，所以，所以，所以A错误； ，所以C正确； 因为，所以， 所以 ， 所以，所以D错误. 变式2．（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出蛛网图即可求解. 【详解】 由蛛网图可得，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项. 所以有，故D正确. 变式3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测·多选）已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（   ） A．是递增数列 B． C． D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】对递推式作差得出，先分析原数列单调性判断选项A；利用递推式讨论数列的单调性，判断选项B；采用特殊值法，判断选项C；利用数列的性质，结合数列有界性，讨论的取值范围，判断选项D． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 若，则，是递增数列； 若，则，以此类推，是常数列，不是递增数列，故A错误. 选项B：当时，，故， 则，对任意实数恒成立， 故恒成立，故B正确. 选项C：由A知，当时，，此时，不能是，故C错误. 选项D：由B可知，为递增数列或常数列，若数列有界，则存在极限值， 设极限为，对两边取极限，则， 解得，则，即，满足必要性； 若，利用数学归纳法，假设，则， 则数列有界，满足充分性； 综上，，故D正确． 变式4．（25-26高二下·四川泸州·期中·多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ACD 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与的关系后，利用累加法计算即可得B；得到与及与的关系可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 变式5．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知数列满足，该数列的前项和为.给出下列四个结论： ①； ②； ③非零常数，对都有； ④，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【分析】对于①②，根据条件直接求解即可；对于③，假设存在，推导出一个奇数为数列的一个周期，推出矛盾；对于④，推导出. 【详解】对于①，，故，①正确； 对于②，，故，而，故，②错误； 对于③，假设存在非零常数，对，都有，显然， 当 ，时，则 ， 若，则，不合要求， 综上， ，，不满足要求； 当 ，时，则，不合要求； 当 ，时，， 若，则，不合要求， 综上， ，不合要求； 当 ，时，，故为数列的一个周期， 同理，故也为数列的一个周期， 依次类推，最终可得一个奇数为数列的一个周期， 但根据前面所推导，奇数不是的周期，故假设不成立， 不存在非零常数，对，都有，③错误； 对于④，，故，，故， 由得，，， ， 因此， 于是， 因为，故当时，， 所以， 其中，所以， ，都有，④正确. 变式6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为______． 【答案】6 【分析】求出后，利用前项积的关系可得当时，，即可消去，得到数列是常数列，即可求出，从而可表示出，借助计算即可得解. 【详解】由为正项数列，则， 当时，，则， 当时，，由，则， 故，即，则， 即，则，又， 故数列是常数列，且， 故，则， 则， 令，即， 当时，有， 当时，有， 又在上单调递增， 故使得的最小正整数的值为. 考点二 由递推关系求数列通项 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， ； ， ， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 例2．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知，. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2) 因为，所以， 两式相减得，则. 当时，； 当时，， 设，，则， 所以在上单调递增，所以由， 得， 故，， 则，， 设，，则， 所以在上单调递减， 所以由，得，， 则当时，，所以； 当时，， 则，故. 综上，. 【分析】（1）令可得，再令可得的值. （2）利用与的关系，结合累加法，首先得到，设，，利用导数分析其单调性，进而利用结论可证，，再设，，利用导数分析单调性，进而利用结论可证. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，得； 当时，， 得. （2）略 例3．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察递推式，通过变形构造新数列，可发现其为等比数列，求出首项和公比后，即可得到新数列通项，进而还原出的表达式； （2）通项是等差数列乘等比数列，采用错位相减法：先写出的展开式，两边同乘公比后与原式相减，对差式中的等比数列部分求和，化简整理即可得到． 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，解得； （2）①， ②， ①②得， ， 所以． 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 变式2．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 变式3．（25-26高二下·重庆·期中）数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列； （2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可； （3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前n项和. 【详解】（1）已知 ， 移项可得 ， 又 ，，则 ， 因此 为常数， 故 是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得 ， 两边同除以得， 因此是首项为，公差为的等差数列， 故，即知. （3）由（2）知， 所以 ，① 两边同乘3得 ，② ①-②得： ， ， 所以 ， 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $