精品解析：福建省莆田市砺成中学2026年九年级6月考试数学试题

2025-2026学年砺成中学九年级下校本作业（六月份） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106 5. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 计算___________． 12. 因式分解：______． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积等于_______ 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 15. 如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 16. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某服装制造厂要在开学前赶制套校服，为尽快完成任务，工厂提高了生产效率，使每天完成的校服数量是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天完成多少套校服？ 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 22. 如图，矩形，，． （1）用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 23. 若对于实数r，s，满足，且当时，对应的函数值y的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． （1）若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求t的值． （2）已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 24. 七巧板是我国古代劳动人民智慧的结晶，小明受这一传统益智玩具的启发，利用正方形设计出一副“六巧板”，用这幅六巧板可拼搭出多种图形，图1为原始正方形，图2是用该六巧板拼搭成的“航天飞机”模型（机身是矩形，②③④是直角三角形，①⑤是两个全等的直角梯形，⑥是正方形），结合图形完成以下 （1）若将该“航天飞机”模型放置在平面直角坐标系中，发现点A，B的坐标分别为，，请在图2中画出该平面直角坐标系，并直接写出点D的坐标． （2）请利用图1中的正方形，按要求画出小明设计的这幅六巧板， 要求：a．用直尺画出所有分割线，分割线为实线； b．标记对应板块的序号． （3）利用这副六巧板拼搭n边形，要求六个板块全部用上，拼出的图形为无重叠、无空隙、封闭的凸多边形，按下列要求画出各n边形的拼搭示意图： ①拼出三种不同边数的多边形，每幅图清晰标注对应边数n； ②示意图需体现拼搭的n边形的大致形态，并在图中标注各板块对应的序号； ③若拼搭四边形，不得为正方形，其余多边形无特殊形状限制； ④有拼出边数最多的多边形才能得满分． 25. 如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． （1）若，且，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年砺成中学九年级下校本作业（六月份） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴A、B、C都不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选：B． 4. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】解：原数据的2、4、4、6的平均数为， 中位数为， 众数为4，方差为， 新数据2、4、4、4、6的平均数为， 中位数为4， 众数为4， 方差为， ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选：C． 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出从4个素数中随机选取两个不同的数所有等可能结果，再找出和小于的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵不超过10的素数为，，，，共4个，随机选取两个不同的数，所有等可能的结果为：，，，，，，共6种，其中和小于10的结果有：，，，，共种， ∴所求概率为． 7. 如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正八边形的内角和求出正八边形内角的度数，再求出菱形与正八边形相邻的内角度数，从而可求出的度数. 【详解】解：如图， 由正八边形内角和定理得：， ∴， 又四边形，是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 8. 某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， ∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】连接，即，又，故，所以；又因为为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果． 【详解】解：连接BD， ∵∠DAB=180°﹣∠C=60°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， ∵PD是切线， ∴∠ADP=∠ABD=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 圆锥的侧面积=底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，作于点F，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 16. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 【答案】4 【解析】 【分析】首先在图2中，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求出的长，进而求出此时的长；然后在图3中，通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理求出此时的长；最后计算两者的差值即可． 【详解】解：如图2，过点作于点，  由题意可知cm，为中点，  cm． 又∵cm，  ，  ． 在中，，  (cm)，  (cm)，   图2中的长为(cm)． 如图3，过点作于点，过点作于点，  ∴， ， ∴，   四边形是矩形，  cm，． 在中，，  (cm)，  (cm)，  cm． 在中，cm， 由勾股定理得(cm)，   图3中的长为(cm)，   变形前后两轴心的变化量为(cm)． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，点为矩形内的一点，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在和中， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出 ，求出 ，根据推出即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 某服装制造厂要在开学前赶制套校服，为尽快完成任务，工厂提高了生产效率，使每天完成的校服数量是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天完成多少套校服？ 【答案】原计划每天完成125套校服 【解析】 【分析】设原计划每天完成校服x套，由等量关系：原计划完成所需时间实际完成所需时间，列方程即可，注意分式方程要检验． 【详解】解：设原计划每天完成校服x套，则实际每天完成校服套， 由题意得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为，且符合题意， 答：原计划每天完成125套校服． 21. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 【答案】（1）图见解析，， （2）学校采用方案二奖金总额较少，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比即可得出总人数，总人数分别乘以B、C对应的百分比求出其人数，再根据各分组人数之和等于总人数可求得E组人数，从而补全图形； （2）根据题意画出树状图进行分析即可． 【小问1详解】 解： 参加竞赛的学生人数：（名）， B组人数为（名）， C组人数为（名），即， E组人数为（名），则，即， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：方案一：学生所获奖金的平均数为：（元）， 　方案二： 共有6种结果，每种结果的可能性相同，和为的结果有2种，和为的结果有2种，和为的结果有2种， ∴和为的概率为，和为的概率为，和为的概率为， ∴学生所获奖金的平均数为（元）． ∵， ∴学校采用方案二奖金总额较少． 【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，以及画出树状图等知识内容，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 如图，矩形，，． （1）用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）的值为，1，． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为，在的右侧，以为圆心，为半径作弧，交于点，在射线上截取线段，使得，连接，四边形即为所求； （2）证明，得到是等边三角形，分三种情况：，，分别求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵平行四边形面积是矩形面积的一半， ∴垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形； ∴， ∴． 当时，如图， 是等边三角形， ， ； 当时，如图，作交于点G， ∵， ， ； 当时，如图，作交于点M， 由， 得， 即， ， ， ， ． 23. 若对于实数r，s，满足，且当时，对应的函数值y的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． （1）若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求t的值． （2）已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； 【小问2详解】 解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”，且， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的两个根， 解得 ∴原式． 24. 七巧板是我国古代劳动人民智慧的结晶，小明受这一传统益智玩具的启发，利用正方形设计出一副“六巧板”，用这幅六巧板可拼搭出多种图形，图1为原始正方形，图2是用该六巧板拼搭成的“航天飞机”模型（机身是矩形，②③④是直角三角形，①⑤是两个全等的直角梯形，⑥是正方形），结合图形完成以下 （1）若将该“航天飞机”模型放置在平面直角坐标系中，发现点A，B的坐标分别为，，请在图2中画出该平面直角坐标系，并直接写出点D的坐标． （2）请利用图1中的正方形，按要求画出小明设计的这幅六巧板， 要求：a．用直尺画出所有分割线，分割线为实线； b．标记对应板块的序号． （3）利用这副六巧板拼搭n边形，要求六个板块全部用上，拼出的图形为无重叠、无空隙、封闭的凸多边形，按下列要求画出各n边形的拼搭示意图： ①拼出三种不同边数的多边形，每幅图清晰标注对应边数n； ②示意图需体现拼搭的n边形的大致形态，并在图中标注各板块对应的序号； ③若拼搭四边形，不得为正方形，其余多边形无特殊形状限制； ④有拼出边数最多的多边形才能得满分． 【答案】（1）如图，在点A作水平线，过点B作竖直线，两线交点O即为平面直角坐标系的原点，并以该点为原点作平面直角坐标系： （2）如图所示为所求： （3）（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】（1）根据题意在点A作水平线，点B作竖直线，两线交点O处作平面直角坐标系，利用相似三角形的判定与性质，矩形的性质及勾股定理即可得出点D的坐标； （2）根据图2在图1中的正方形进行分割并标上序号即可； （3）根据已知条件作出符合题意的n边形即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． （1）若，且，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）存在常数，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $