福建省莆田市砺成中学2026年九年级6月考试数学试题

**基本信息** 涵盖代数、几何、统计核心知识，以科技前沿（电池能量密度迭代）、文化传承（哥德巴赫猜想、六巧板）为情境，分层设计基础题（如sin30°计算）、能力题（新定义“保值区间”）及创新题（六巧板拼图），培养数学眼光、思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、科学记数法、三视图、概率等|第6题结合陈景润哥德巴赫猜想研究，考查素数组合概率，渗透文化自信| |填空题|6/24|三角函数、因式分解、圆锥侧面积、反比例函数等|第15题通过双反比例函数与矩形面积综合，考查模型意识与运算能力| |解答题|9/86|方程应用、统计分析、尺规作图、圆综合、新定义等|24题六巧板拼搭探究凸多边形，培养空间观念与创新意识；25题圆与五边形综合证明，考查逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年砺成中学九年级下校本作业（六月份） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1．的相反数是(    ) A． B． C． D．3 2．式子在实数范围内有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．6 3．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（    ） A． B． C． D． 4．北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为(   ). A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106 5．在一组数据2，4，4，6，加入一个数4后，下列各统计量中，发生变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 7．如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中的度数是（     ） A． B． C． D． 8．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．45° 10．在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．sin30°=______． 12．因式分解：______． 13．若圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积等于_______ 14．如图，是的角平分线，若，则_____． 15． 如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是_____． 16．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 三、解答题（共9小题，共86分） 17．计算：． 18．如图，点为矩形内的一点，，求证：． 19． 先化简，再求值：，其中． 20． 某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为尽快完成任务，工厂提高了生产效率，使每天完成的校服是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，原计划每天完成多少套校服？ 21．为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． (1)请补全频数分布直方图，并写出a与n； (2)学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 22．如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 23．若对于实数r,s，满足r＜s，且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围也为r≤y≤s，则称区间[r,s]为该函数的一个“保值区间”. （1）若二次函数y=x2存在“保值区间”，且当x≥0时的一个“保值区间”为[0,t]，求t的值. （2）已知[a,b]为二次函数y=x2-4x+5的“保值区间”，且2≤a＜b，求a(a-b)+5b+1的值. 24．七巧板是我国古代劳动人民智慧的结晶，小明受这一传统益智玩具的启发，利用正方形设计出一副“六巧板”，用这幅六巧板可拼搭出多种图形，图1为原始正方形，图2是用该六巧板拼搭成的“航天飞机”模型（机身是矩形，②③④是直角三角形，①⑤是两个全等的直角梯形，⑥是正方形），结合图形完成以下探究问题： （1）若将该“航天飞机”模型放置在平面直角坐标系中，发现点A，B的坐标分别为（-4,0），（0,2），请在图2中画出该平面直角坐标系，并直接写出点D的坐标. （2）请利用图1中的正方形，按要求画出小明设计的这幅六巧板， 要求:a.用直尺画出所有分割线,分割线为实线； b.标记对应板块的序号. (3)利用这副六巧板拼搭n边形,要求六个板块全部用上,拼出的图形为无重叠、无空隙、封闭的凸多边形，按下列要求画出各n边形的拼搭示意图: ①拼出三种不同边数的多边形,每幅图清晰标注对应边数n； ②示意图需体现拼搭的n边形的大致形态,并在图中标注各板块对应的序号； ③若拼搭四边形,不得为正方形,其余多边形无特殊形状限制； ④有拼出边数最多的多边形才能得满分. 图1 图2 25．如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年砺成中学九年级下校本作业（六月份） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B C B D B C A 11． 12． 13． 14．/ 15． 16．4 17．解： =2-1-1 =0． 18．证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在和中， ∴ ， ∴． 19．解：原式 ， 当时，原式． 20．解：设原计划每天能完成x套校服 ∵现每天完成的校服是原计划的1.2倍， ∴实际每天能完成套校服 由题意得： 解得： ∴原计划每天能完成125套校服 21．（1）解： 参加竞赛的学生人数：（名）， B组人数为（名）， C组人数为（名），即， E组人数为（名），则，即， 补全图形如下：    （2）解：方案一：学生所获奖金的平均数为：（元）， 　方案二： 共有6种结果，每种结果的可能性相同，和为的结果有2种，和为的结果有2种，和为的结果有2种， ∴和为的概率为，和为的概率为，和为的概率为， ∴学生所获奖金的平均数为（元）． ∵， ∴学校采用方案二奖金总额较少． 22．(1)解：如图所示，四边形即为所求； (2)解：∵平行四边形面积是矩形面积的一半， ∴垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形； ∴， ∴． 当时，如图， 是等边三角形， ， ； 当时，如图，作交于点G， ∵， ， ； 当时，如图，作交于点M， 由， 得， 即， ， ， ， ． 23． （1）解：由题意得，x=t时，y=t,即t=t2， ∴t=1 （2） 由题意得，对称轴为直线x=2, ∵2≤a＜b ∴当x=a，ymin=a 当x=b，ymax=b 即a2-4a+5=a,b2-4b+5=b ∴a，b是方程x2-5x+5的两个根 ∴a+b=5，ab=5 ∴a(a-b)+5b+1=a2-ab+5b+1=5a-5-ab+5b+1=5(a+b)-ab-4=16. 24．（1）解：D（-5,2），平面直角坐标系如下图 （2） （3）n=4: n=5: n=6: 25．（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $