精品解析：福建莆田一中，莆田二中，擢英中学等4校联考2025-2026学年 下学期3月适应性检测 九年级数学试题

2025-2026学年第二学期3月适应性检测 九年级数学试题 （试卷满分：150分；完成时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，数据10909用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 设小明同学的月零花钱为a元，其月支出情况如扇形统计图所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 捐赠款所对应的圆心角为 B. 小明的捐赠款为元 C. 捐赠款是购书款的2倍 D. 其他消费占 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 8. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 9. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，点在抛物线上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 写出一个无理数，使得，则可以是______（只要写出一个满足条件的即可）． 13. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 14. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 15. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 16. 已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 解不等式组． 18. 如图，点A，B在的同侧，线段相交于点E，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 绿色出行（步行、骑行、公共交通等）是节能环保的方式之一，某校为了解全校学生每周绿色出行的次数，随机抽取了部分学生，统计了他们每周绿色出行的次数，得到如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，每周绿色出行次数的中位数是 次，众数是 次； （2）求所抽取的学生每周绿色出行次数的平均数； （3）若该校共有800名学生，请你估计该校每周绿色出行次数为5次的学生人数． 21. 近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 22. 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． （1）【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； （2）【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； （3）【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 23. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点分别在边上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点在上的位置，使即可．根据这个想法，设，通过确定的值，使． 思考路径中提到的的值与什么值相关？ 的值主要与四边形的对角线和的长度相关． 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，用含的代数式表示； （3）在图中，通过尺规作图作出符合要求的菱形． 24. 已知抛物线，（）与轴交于（点在点的左边），与轴交于C点． （1）若， ①求抛物线的对称轴； ②若抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2，求抛物线解析式； （2），是该抛物线上不重合的两点，点在直线上，存在一个的值，对任何符合的恒为定值，求的值及的取值范围． 25. 如图，是的直径，，是上的点，于，交于，交于． （1）若，求的度数； （2）设的半径为，求证：； （3）如图，于，于，交于，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月适应性检测 九年级数学试题 （试卷满分：150分；完成时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作． 故选：． 2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，数据10909用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解题． 【详解】解：10909用科学记数法可表示为， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体为： ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据、的取值判断图象经过的象限即可． 【详解】解：一次函数中，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 6. 设小明同学的月零花钱为a元，其月支出情况如扇形统计图所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 捐赠款所对应的圆心角为 B. 小明的捐赠款为元 C. 捐赠款是购书款的2倍 D. 其他消费占 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用360度乘以捐赠款的百分比即可判断A；用总钱数乘以捐赠款的百分比即可判断B；用捐赠款的百分比除以购书款的百分比即可判断C；用1减去捐赠款的百分比，再减去购书款的百分比即可判断D． 【详解】解：A、捐赠款所对应的圆心角为，原说法错误，符合题意； B、，则小明的捐赠款为元，原说法正确，不符合题意； C、捐赠款是购书款的倍，原说法正确，不符合题意； D、其他消费占，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 8. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可． 【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 9. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知抛物线，点在抛物线上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴的范围，再利用开口向下抛物线的性质：点到对称轴距离越大，函数值越小，比较各点函数值大小即可． 【详解】解：当时，， ∴点在抛物线上， ∵，在抛物线上， ∴抛物线开口向下，即， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵在抛物线上， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 写出一个无理数，使得，则可以是______（只要写出一个满足条件的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：写出一个无理数，使得，则可以是； 故答案为（答案不唯一）． 13. 在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用．根据频率统计图确定白球的稳定频率，将其作为白球的概率，设黑球的个数为，列出方程进而求出黑球个数． 【详解】解：由频率统计图可知，摸到白球的频率稳定在左右， 根据频率估计概率的思想，可得白球的概率约为． 设黑球的个数为，则总球数为， 由概率公式得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：． 14. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作于点，延长交于点，由题意可得，，则，，由相似三角形的性质可得，代入，，计算即可得出结果，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点，延长交于点， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 16. 已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求得，证明得出，设，根据已知条件证明四点共圆，得出，进而可得，则在以为圆心为半径的圆弧上运动，进而可得当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，正方形边长为 ∴，， ∵ ∴， ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴四点共圆 ∴ ∴ ∴ ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∴当在上时，取得最小值，最小值为 三、解答题（本题共9小题，共86分．） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式：， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式：， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为得， 原不等式组的解集为． 18. 如图，点A，B在的同侧，线段相交于点E，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据等角对等边得到，再利用证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，灵活运用所学知识是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 20. 绿色出行（步行、骑行、公共交通等）是节能环保的方式之一，某校为了解全校学生每周绿色出行的次数，随机抽取了部分学生，统计了他们每周绿色出行的次数，得到如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，每周绿色出行次数的中位数是 次，众数是 次； （2）求所抽取的学生每周绿色出行次数的平均数； （3）若该校共有800名学生，请你估计该校每周绿色出行次数为5次的学生人数． 【答案】（1）5，6； 补全条形统计图如下： （2）所抽取的学生每周绿色出行次数的平均数为4.9次； （3）该校800名学生中每周绿色出行次数为5次的学生人数大约有200人 【解析】 【分析】（1）求出被调查的总人数可得每周绿色出行次数为4次的人数，再根据众数，中位数的定义解答即可； （2）根据平均数的公式解答即可； （3）800乘以每周绿色出行次数为5次的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， 被调查的学生中每周绿色出行次数为4次的有（人）， 将这60名学生每周绿色出行次数最多的是6次，共有24人，故众数为6次， 这60名学生每周绿色出行次数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为次，即中位数是5次 【小问2详解】 解：（次）， 答：所抽取的学生每周绿色出行次数的平均数为次； 【小问3详解】 解： （人）， 答：该校800名学生中每周绿色出行次数为5次的学生人数大约有200人． 21. 近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1） （2）建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 22. 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为，倍矩形长为，宽为． （1）【特例感知】已知原矩形，，其倍矩形长为_______，宽为______； （2）【类比探究】上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； （3）【一般验证】求证：无论原矩形，取何正值，其倍矩形一定存在． 【答案】（1）； （2） 不存在，理由如下： 设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程无解， 方程组无解， 不存在； （3） 证明：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ， 方程有解， 又，大于， ，， 方程的两个实数解均为正数， 无论原矩形，取何值，其倍矩形一定存在． 【解析】 【分析】（1）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组即可； （2）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可； （3）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可． 【小问1详解】 解：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 其倍矩形长为，宽为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点分别在边上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点在上的位置，使即可．根据这个想法，设，通过确定的值，使． 思考路径中提到的的值与什么值相关？ 的值主要与四边形的对角线和的长度相关． 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，用含的代数式表示； （3）在图中，通过尺规作图作出符合要求的菱形． 【答案】（1） （2） （3）如图所示四边形即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据题意得出； （2）根据平行线分线段成比例得出，根据得出； （3）根据（2）的方法确定即可求解；延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，交边于点即可． 【小问1详解】 解：需添加； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ； ， 【小问3详解】 解：延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点即可． 根据作图可得，由（2）的结论，即可得出四边形是菱形． 24. 已知抛物线，（）与轴交于（点在点的左边），与轴交于C点． （1）若， ①求抛物线的对称轴； ②若抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2，求抛物线解析式； （2），是该抛物线上不重合的两点，点在直线上，存在一个的值，对任何符合的恒为定值，求的值及的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）； 【解析】 【分析】（1）①根据题意得出的横坐标为，即可求得对称轴； ②根据题意得出顶点纵坐标为2，代入，即可求解； （2）设，根据题意两点关于对称，得出，求得直线的解析式，并将点代入得出，根据为定值，得出，根据直线与抛物线相交于不重合的两点，得出代入，进而求得． 【小问1详解】 ①∵ ∴的横坐标为 ∴对称轴直线 ②∵抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2 顶点纵坐标为2， 顶点代 得 【小问2详解】 设， ∴两点关于对称， ， 令， ∵，点在点的左边 ∴， 当时，，则 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ， ， ∵为定值 ∴ 解得， ∴； ∵抛物线的解析式为 抛物线的对称轴为，最大值为． 直线与抛物线相交于不重合的两点， ， 方程两边同时除以得， 整理得， ， ． 将代入， 得， ． 25. 如图，是的直径，，是上的点，于，交于，交于． （1）若，求的度数； （2）设的半径为，求证：； （3）如图，于，于，交于，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ； （3） 证明：如图，过作于， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到，由垂径定理可得，进而可得，等量代换即可得到，由圆周角定理可得的度数，进而由三角形内角和定理结合等边对等角可得的度数，由等腰三角形三线合一可得的度数，最后根据角的和差关系可得的度数； （2）通过外角的性质结合角的和差关系等量代换证明，易证明，从而证明，由相似三角形的性质结合勾股定理即可得证； （3）过作于，先证明，得到，易证是等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而可得，等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $