精品解析：2026年江苏省连云港市中考数学试题

**基本信息** 立足中考要求，以2026年五一游客数据、空气质量统计等现实情境为载体，融合数学抽象、几何直观与数据意识，梯度覆盖基础运算与动态几何等创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、轴对称、科学记数法等|结合银行标志考轴对称，体现几何直观| |填空题|8/24|因式分解、方差、折叠、反比例函数等|矩形折叠问题考查空间观念，菱形动态面积发展创新意识| |解答题|11/102|统计分析、概率、方程应用、二次函数综合等|空气质量统计题培养数据意识，汽车转弯问题融合生活几何与推理能力|

数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长．数据“608万”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，以下对p的值估算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，扇形，点C在上．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为真命题的是（ ） ①若，则 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 8. 如图，四边形中，， ，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 不等式的解集是___________． 10. 分解因式：______． 11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 12. 如图，在中，，， 的平分线交于点E，则____． 13. 取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形 的面积为____． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 16. 如图，菱形中， ， ，点P在边上，且 ，Q为边上的动点，点C关于的对称点为．若 、 的面积分别记为、，则的最大值为____． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 解方程． 19. 先化简，再从， ，中选取一个合适的数代入求值． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数进行了统计分析． 【收集数据】 43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92 60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60 【整理数据】 规定：时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染． 空气质量 频数（天数） 频率 优 12 0.4 良 a 0.5 轻微污染 3 b 合计 30 1.0 【分析数据】 此组数据的平均数是，众数是 c ，中位数是60． 【解决问题】 （1）填空： ， ， ； （2）请估计该城市这一年（365天）中有多少天空气质量达到优； （3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法． 22. 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． （1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 24. 某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． （1）求好田、坏田各买了多少亩？ （2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 25. 【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离） ，前轮转向角即 ，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为 ，轴心距约为 ．转弯时，若右前轮的转向角即 ，求此时左前轮的转向角 的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为 ，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出 的范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； （3）设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的 与相似，求点P的坐标． 27. 【问题情境】 （1）在锐角中，求作一点P，使 的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作 的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使 ，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得 ．所以． 所以 ． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为 的最小值． 【方法迁移】 （2）如图2，已知点A，B到直线l的距离 ， ．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且， （ ）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数是， ∴的相反数为． 2. 下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长．数据“608万”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，解题时先将单位“万”转换为普通数字再进行表示即可． 【详解】解：∵万， 将写成（，为整数）的形式，可得 ，小数点向左移动了位， ∴，即． 4. 如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 5. 已知，以下对p的值估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即 ， 不等式三边同时加 ，得，即． 6. 如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 7. 下列命题为真命题的是（ ） ①若，则 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】解：逐个判断命题： ①若，则，例如 ，满足但，①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题； ③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题； ④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题； 综上真命题为③④． 8. 如图，四边形中，， ，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，先求得，，根据三角形的面积公式，分成当在上时，即时，当在上时，即时，当在 上且未到达时，即时，当在 上且到达后，即时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ， ∵，即， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 过点作于点， 当在上时，即时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当在上时，即时， ∴， ∴，函数图象为直线的一部分， 当在 上且未到达时，即时， ∴， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当在 上且到达后，即时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，本题是一元一次不等式基础型，只需要进行移项，注意移项时该项的符号要改变． 【详解】解：， 移项，得：． 故答案是：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【答案】甲 【解析】 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵三人的平均成绩都是分，方差分别是 ， ， ， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定， 故派甲去参赛更合适． 12. 如图，在 中，，， 的平分线交于点E，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 13. 取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点 与点恰好重合，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，根据折叠的性质、矩形的性质可判断是等腰直角三角形，则可得，根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵四边形是矩形， ∴， 根据图2可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据图3可得， ∴. 14. 如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形 的面积为____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形 的面积为． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解： ，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 16. 如图，菱形中， ， ，点P在边上，且 ，Q为边上的动点，点C关于的对称点为．若 、 的面积分别记为、，则的最大值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据得出当最小时，即 最小时，最大，再根据 得出 ，由此即可求解． 【详解】解：过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为， ∵， ∴， ∵菱形中， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴． ∴， 又∵ ， ∴当最小时，即 最小时，最大， 由对称可知： ， ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∵ ， ∴ ， ∴当在线段上时， 取最小值，最小值， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴的最小值 ， ∴的最大值为 ． 【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出，将面积差最大问题转化为最小，即 最小． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】0 【解析】 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ， ． 19. 先化简，再从 ， ，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 要使原式有意义，需满足得， 且 ， ， 且 ， 选取． 当时，原式． 20. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ，． 又， ． ， ， ．即 ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据矩形性质结合证明，继而可得 ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】略 21. 6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数进行了统计分析． 【收集数据】 43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92 60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60 【整理数据】 规定：时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染． 空气质量 频数（天数） 频率 优 12 0.4 良 a 0.5 轻微污染 3 b 合计 30 1.0 【分析数据】 此组数据的平均数是，众数是 c ，中位数是60． 【解决问题】 （1）填空： ， ， ； （2）请估计该城市这一年（365天）中有多少天空气质量达到优； （3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法． 【答案】（1）15，，60 （2）天 （3）该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据频数总和等于总样本数、频率总和为、众数的定义逐个求解即可； （2）利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率即可； （3）根据统计结果提出合理结论即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 在这组数据中，60出现的次数最多， ∴其众数． 【小问2详解】 解：（天）， 答：估计该城市这一年（365天）中有146天空气质量达到优． 【小问3详解】 解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）． 22. 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． （1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 【答案】（1）如图所示，点P的坐标为 （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得在直线上，进而待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解； （2）根据题意得出为的角平分线与的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴在直线上， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得； ∴直线的解析式为 当时， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设到的距离为，到的距离为 ∵和的面积相等 ∴ ∴ ∴在的角平分线上，作的角平分线交于点，即为所求． 24. 某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． （1）求好田、坏田各买了多少亩？ （2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】（1）好田买了亩，坏田买了亩 （2）好田的平均亩产量是 【解析】 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【小问1详解】 解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． 【小问2详解】 设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是． 25. 【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离） ，前轮转向角即 ，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为 ，轴心距约为 ．转弯时，若右前轮的转向角即 ，求此时左前轮的转向角 的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心 ，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为 ，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出 的范围． 【答案】（1）3 （2）此时左前轮的转向角 的度数约为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题求得 ，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解 得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：由题意得 ， ， ， ， 在 中， 解得： 在 中 ，， 答：此时左前轮的转向角 的度数约为 【小问3详解】 解：如图，连接 ，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意， ， 设 ，则 ， 在 中， ∴ 解得： ∴ ，, 在 中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于x轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，且，求的取值范围； （3）设抛物线的顶点为D，连接，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的 与相似，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，解出m的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出解析式即可． （2）设直线l： ，根据已知条件得出a的取值范围，再联立直线l与抛物线和直线，得出，根据抛物线可知 代入，最后得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． （3）连接，过点D作轴，垂足为E．根据正切的定义得出 ，进而可得出点P在点B的左侧．则存在或．然后根据相似三角形的性质列出比例进一步求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：， 将点代入得：， 解得或 ， ∴公共解为， 把代入， 得出抛物线对应的函数表达式为； 令， 则， 解得 ，， ∴，， 令，则， ∴， 设的解析式为， 则， 解得 ∴直线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，设直线l： ， ，， ． ∵直线l与抛物线和直线都相交， ∴可列方程 得． ， ∵抛物线的对称轴是， ， ． 又， ． ∵， ∴抛物线开口向上， 又， ∴当时，y取得最小值为60，当时，y取得最大值为， ． 即． 【小问3详解】 解：如图2，连接，过点D作轴，垂足为E． ∵抛物线， ∴顶点． ∴， 由（1）可知，， ，，，，， ∵， ， ． 与相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在或． 当时， 则， 得 ． ∴点． 当时， 有， 得 ， ∴点． 综上，使 与相似的点P的坐标为或． 27. 【问题情境】 （1）在锐角中，求作一点P，使 的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以为边向外作等边三角形，再作 的外接圆，连接， 与交于点P．则点P即为求作的点． 在上取一点，使 ，连接，在中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得 ① ，故是等边三角形．所以． 进而可证得 ．所以． 所以 ． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， 的长即为 的最小值． 【方法迁移】 （2）如图2，已知点A，B到直线l的距离 ， ．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且， （ ）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）① ；②两点之间线段最短 （2）作法：如图，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作 ，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． 点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为 ； （3）管道路线总长度最短为 ． 设计方案：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形 和等边三角形 ，再作和 的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，其中铺设路线为，，，，． 【解析】 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解； （2）连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作 ，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点．证明四边形 是平行四边形，利用平行，可证 ，根据等边三角形的性质，可求得 ，证明出 是外接圆的直径，接着证明此时 达到最小，再解 ，求得 、 ，得出答案； （3）分别以边和边向矩形外侧作等边三角形 和等边三角形 ，再作和 的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，结合（2）可得出 的长即为管道路线总长度的最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作法：如图1，连接，在上方作等边三角形，再作的外接圆，过点D作 ，垂足为M，交于N，交圆于点P，点P即为要作的点． ∵ ， ∴ ， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， 又 ，即 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ， ∴ ， ∵三角形 是等边三角形， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴为的外接圆的直径， ∵ ， ， ∴ ，同理 ， ∴此时 ， ∴此时点P到点A、点B、直线l的距离之和达到最小，最小值为的长． 是等边三角形， ， ． 在 中，， ． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为 ． 【小问3详解】 解：如图所示，分别以边和边向矩形外侧作等边三角形 和等边三角形 ，再作和 的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点和点，连接，，，，设交于点，交于点，其中铺设路线为，，，，． 由（2）可知， ，， ， ， ∴铺设的管道长度为： ， ∴此时管道长度达到最小，最小值为， ∵三角形 为等边三角形，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，同理可求得 为 ， ∴ ， ∴管道路线总长度的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $