精品解析：定远育才学校2025-2026学年七年级（下）期中检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年七年级（下）期中检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. 0 B. C. 0或10 D. 0或 3. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 八年级期末）下列各式的计算结果为的是（       ） A. B. C. D. 6. 不等式组的最大整数解是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 10. 若关于x的不等式＞0的解集是x＜，则关于x的不等式＞的解集是（　　） A. x＜ B. x＜ C. x＞ D. x＞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，则________． 12. 一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克_______元，才能避免亏本． 13. 两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，则其中一个长方形的周长为________． 14. 因式分解：________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1） （2） 19. 先因式分解，再求值：，其中，． 20. 如图，现有一块长为(4a+b)米，宽为(a+2b)米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元? 21. 已知代数式，． （1）与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； （2）先化简，再将（1）中的结果代入求值． 22. 小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 23. 请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” （1）受上述方法启发，尝试分解； （2）类比问题（1）尝试分解； （3）小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年七年级（下）期中检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. 0 B. C. 0或10 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出a、b的值，再计算即可. 【详解】∵， ∴， 则的值为或． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，平方根、立方根定义，以及有理数的加法，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键． 3. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 4. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B不符合题意； C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、如；故D符合题意； 故选D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱 5. 八年级期末）下列各式的计算结果为的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则判断即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：C． 6. 不等式组的最大整数解是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴最大整数解为， 故选：B． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的除法是解题的关键． 8. 如图，正方形中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，三角形的面积公式，整式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据“正方形中阴影部分的面积正方形面积个三角形面积”即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 正方形中阴影部分的面积为： ， 故选：． 9. 若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故选A． 10. 若关于x的不等式＞0的解集是x＜，则关于x的不等式＞的解集是（　　） A. x＜ B. x＜ C. x＞ D. x＞ 【答案】B 【解析】 【分析】根据＞0的解集是x＜，可以判断a和b的符号情况，再根据a和b的符号求不等式＞的解集． 【详解】∵关于x的不等式＞0的解集是x＜ ∴a＜0 ∴ ∴ ∴b＜0 ∴＞ ∴ ∴ 故答案选：B． 【点睛】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质3是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根定义计算即可． 【详解】． 故答案为：-343． 【点睛】本题考查立方根，如果，则x是a的立方根． 12. 一种荔枝的进价是每千克元，销售中估计有的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克_______元，才能避免亏本． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，设商家把售价定为每千克元，则，解出，即可． 【详解】解：设商家把售价定为每千克元， ∴， 解得：， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本 故答案为：． 13. 两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，则其中一个长方形的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】设矩形的长边是a，短边是b，则，求出b，再求出a，即可得出答案． 【详解】设每个长方形的长为a，宽为，则， ∴， ∴， ∴，则每个长方形的周长是． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了矩形性质和三角形的面积的应用，解此题的关键是能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示为： 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项系数化为1，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟记运算步骤是关键． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 19. 先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先根据提公因式法分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 20. 如图，现有一块长为(4a+b)米，宽为(a+2b)米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元? 【答案】（1）（3a2+9ab+2b2）平方米； （2）完成绿化共需要8400元． 【解析】 【分析】（1）利用矩形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将a=2，b=3代入公式（3a2+9ab+2b2），计算即可． 【小问1详解】 解：S=（4a+b）（a+2b）-a2 =4a2+8ab+ab+2b2-a2 =（3a2+9ab+2b2）平方米； 【小问2详解】 解：当a=2，b=3时， S=3×22+9×2×3+2×32=84平方米， 100×84=8400元． 答：完成绿化共需要8400元． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式以及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 21. 已知代数式，． （1）与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； （2）先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【小问1详解】 解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； 【小问2详解】 解： ， 把代入，则． 22. 小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）如图， （2）①；②3； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 23. 请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” （1）受上述方法启发，尝试分解； （2）类比问题（1）尝试分解； （3）小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 【答案】（1） （2） （3）正确； 举例：当完全平方数为时， ， 一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式 【解析】 【分析】本题考查了因式分解： （1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解； （3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：正确； 一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则， ， 因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $