2025--2026学年北师大版数学八年级下册期末测试题（1）

**基本信息** 北师大版八年级下册数学期末卷，150分120分钟，覆盖二次根式、因式分解、平行四边形等核心知识，通过几何直观（中心对称图形识别）、运算能力（分式方程无解）、应用意识（年货采购问题）等核心素养，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称图形（第3题）、直角三角形判定（第4题）|结合科克曲线等图形考查空间观念| |填空题|5/20|分式方程无解（第14题）、平行四边形旋转（第15题）|通过动态几何问题发展几何直观| |解答题|10/90|年货采购应用题（第20题）、无刻度直尺作图（第25题）|以生活情境考查模型意识，以开放作图发展创新意识|

北师大版数学八年级下册 期末试题（1） 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题4分 ，共计40分 ）   1.使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（       ） A. B.且 C. D.且 2.下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（        ） A. B. C. D.  3.下列图案中，是中心对称图形的是（        ） A.三叶玫瑰线 B.蝴蝶曲线 C.笛卡尔心形线 D.科克曲线 4.已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件无法判定△ABC是直角三角形的是（          ） A. B. C. D.  5.如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（        ） A. B. C. D. 6.用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（       ） A.增长 B.缩短 C.不变 D.增长或缩短 7.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（     ） A. B. C. D. 8.如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. 不等式的解集是 B.方程的解是 C. D.  9.如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（       ） A. B. C. D.  10.如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（       ） A.①② B.②③④ C.①②③ D.①③④ 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计5小题 ，每题4分 ，共计20分 ）   11.因式分解：________ 12.如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为________． 13.若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为________________． 14.若关于的方程无解，则的值为________． 15.如图，在▱中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(9分) 计算 （1） （2）解不等式，并把不等式组解集用数轴表示出来： （3）   17.(8分) 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出； （2）绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 18.(8分) 如图，在中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，． （1）若，求； （2）求证：． 19.(8分) 如图，在 中，，，垂足为 ． 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，． （1）求 的度数 （2）若 ，求 的长度 20.(8分) 新春佳节临近，又到了年货大采购的时节，某商铺的、两类年货大礼包成了热销产品，已知一个类大礼包比一个类大礼包的进价少元，用元购进的类大礼包的数量是用元购进的类大礼包的数量的倍． （1）求一个类大礼包、一个类大礼包的进价分别是多少元？ （2）已知该商铺购进、两类年货大礼包共个，一个类大礼包的售价在进价基础上提高，一个类大礼包的售价为元，若该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于元，则该商铺至少要购进多少个类年货大礼包？  21.(8分) 如图，在中，，于点，，点在上，． （1）求证：平分； （2）求证：． 22.(9分) 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题； （1）分解因式：______． （2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状． 23.(9分) 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长度； （3）求证：是等边三角形． 24.(11分) 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是     ；关于x的不等式的解集是     ； （2）直接写出关于x的不等式组的解集      ； （3）若点C的坐标为． ①的面积为      ；             ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 25.(12分) 小明在学习平行四边形时，知道可以利用图形的中心对称性巧妙地解决图形分割问题．已知，点在边上． 请仅用无刻度直尺完成下列作图，并保留必要的作图痕迹． （1）如图1，点，分别在，上，，，过点作两条直线，分别交边于点，，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） （2）如图2，点、分别在、上，，，过点作两条直线、分别交于点、，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） 参考答案 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.C 2.B 3.D 4.B. 5.A 6.C. 7.B． 8.A. 9.D 10. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11. . 12.5 13.． 14.或2. 15.. 三、 解答题（本题共计 11 小题 ，共计90分 ） 16.（1）解： ； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： （3）解： 两边同乘 得： 化简得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 解得： 检验：当时，分母， 则是增根，原方程无解. 17.（1）解：如图， 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的 ，得到对应点坐标为 ， ， 即为所求作三角形： （2）解：如图， 绕原点O逆时针方向旋转 得到 ，得到对应点坐标为 即为所求作三角形： （3）解：如图，连接 ，分别作 垂直平分线，两垂直平分线交点即为旋转中心P，此时点P坐标为（3,-2） 18. （1）解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∵ F为OD的中点， ∵ BD=12， （2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB = CD, AB∥CD, OB = OD, ∴∠ABE = ∠CDF. ∵ E，F分别为OB，OD的中点， ∴ BE = OB, DF = OD, ∴ BE = DF, ∴ △AEB ≌△ CFD(SAS), ∴∠ AEB = ∠ CFD, ∴∠OEA =∠OFC ∴AE ∥CF, ∴ ∠OAE = ∠OCF. 19.（1）解：是AC的垂直平分线， ， （2） 是等边三角形， 又 . 20.（1）解：设一个类大礼包的进价是元，则一个类大礼包的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一个类大礼包的进价是元，一个类大礼包的进价是元； （2）设该商铺要购进个类年货大礼包，则要购进个类年货大礼包， 由题意得：， 解得：， 答：该商铺至少要购进个类年货大礼包． 21.（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点在的平分线上， 平分； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 由(1)得， ， ， ， ． 22.（1）解：由材料中的解法可知， 故答案为：(m+1)(m-5) （2）解：由材料中的解法可知， 当a=2,b=-3时， 有最小值，最小值是5； （3）解： ， 即 ， 根据三角形三边关系有 ， ， c为正整数， ， ， ， 是等腰三角形. 22.(1) 解: 是等边三角形, , 是 的中点, , 垂足为 的度数是 . (2) 解: , 是由 沿 方向平移得到的, 的长是 2. (3) 证明: 在 和 中, (SSS), 由 (1) 得 , 即 是等边三角形. 24.（1）解： 一次函数 的图象与x轴交于点 关于x的方程 的解是 一次函数 的图象与x轴交于点 观察图象可得关于x的不等式 的解集是 故答案为： ； （2）解： ， 观察图象可得关于x的不等式 的解集为 故答案为： （3）解： ① ， 故答案为： ②设 ， ， ， 分以下两种情况讨论： 当BD为直角边时， ， 解得 或 D的坐标为(5,1)或(-1,-1)； 当CD为直角边时， ， 解得 或 D的坐标为(-2,2)或(4,4)； 综上所述，D的坐标为(5,1)或(-1,-1)或(-2,2)或(4,4). 25.（1）解：在 中，设 ，AD边上的高为h， KN = FS = a ，则ED=AD-AE=2a， 点M，N在AD上，点P在边BC上， 要使得 只需MN=2a即可； 方法一：如图，PM、PN即为所求作： 图1 ① 作图证明：当M、N分别与E、D重合时， ，此时 故PM、PN即为所求； 方法二：如图，PM、PN即为所求作： 图1 ② 作图证明：连接AC、BD相交于O，连接FO并延长交AD于N， 是中心对称图形，O为对称中心， 当M与点A重合时， ，此时 故PM、PN即为所求； （2）解：在 中，设 AD=BC=4a，AD边上的高为h， ，BF ，则CF=ED=AD-AE=3a， 点M，N在AD上，点P在边BC上， ， 要使得 ，只需MN=2a即可； 方法一：如图，PM、PN即为所求作： 图2 ① 作图证明：连接AC、BD相交于O，连接FO交AD于N， 是中心对称图形，O为对称中心， 当M与点E重合时， ，此时 故PM、PN即为所求； 方法二：如图，PM、PN即为所求作： 图2 ② 作图证明：连接AC、BD相交于O，连接FO交AD于K， ABCD是中心对称图形，O为对称中心， 连接FD、EC相交于 ，则 为的对称中心， 连接 并延长交BC于S，则FS=DK=a， 连接SO并延长交AD于N，则KN=FS=a， 当M与点A重合时， ，此时 故PM、PN即为所求. 四边形FFCD是平行四边形 , CF//DE, 学科网（北京）股份有限公司 $