2025-2026学年人教版数学八年级下册期末模拟卷(一）

**基本信息** 2026年人教版八年级数学期末模拟卷，以文化传承（如赵爽弦图、程大位《算法统宗》）和现实问题（如营养土购买、刻漏计时）为情境，融合几何直观、数据意识与模型思想，梯度覆盖函数、几何、统计等核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、函数自变量范围、箱线图|冰裂纹图案求角度（几何直观）| |填空题|5/15|一次函数、勾股定理应用、加权平均|程大位秋千问题（文化与模型意识）| |解答题|8/75|统计分析、函数建模、几何综合|矩形折叠探究（推理能力）、刻漏计时函数建模（数据意识）|

2026年人教版八年级期末模拟卷（一） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 3．图1冰裂纹图案最早源于冰面上裂开的纹路，是中国古典园林和建筑中常见的设计元素。苏州留园的冰裂纹花窗是其典型代表，图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为，则y关于x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，对角线，交于点，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（     ） A．快车和慢车相遇时，快车距离B地 B．相遇后，快车再行驶到达B地 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 10．如图，在中，，，分别为边、上的点，且，，分别为，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式：__________________． 12．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 13．某校学生会想从小聪和小明两人中推荐一人当校史馆讲解员，决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查，结果如下图．如果把口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表分别按的权重计算平均分，则__________更具优势． 14．在平面直角坐标系中，直线平行于轴，且交一次函数的图像于点，交轴于点，且在轴上存在点，点若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点A的坐标为____． 15．如图，在菱形中，，为边的中点，连接，，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数． 17（7分）．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 18．（9分）某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： (1)七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； (2)嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； (3)该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 19．（8分）学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障，绿植养护营养土购买方案选择 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 20．（7分） 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21．（9分）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 22．综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 23．综合与探究 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 试卷第20页，共23页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版八年级期末模拟卷（一）（解析版） （数学） 学校__________ 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二次根式的性质化简可得，又，可得，然后求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴． 2．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】要使函数有意义 需满足且 解不等式，得 解不等式，得 ∴自变量的取值范围是且． 3．图1冰裂纹图案最早源于冰面上裂开的纹路，是中国古典园林和建筑中常见的设计元素。苏州留园的冰裂纹花窗是其典型代表，图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 4．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 【答案】B 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可． 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 6．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为，则y关于x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到y关于x的函数关系式． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故，即． 7．如图，中，对角线，交于点，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理逆定理，根据，可求出为直角三角形，利用平行四边形的性质：对角线互相平分，可知，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，， ， 为直角三角形，， ， ，， 在中，根据勾股定理可得：， ， 解得：，（负值舍去）， ． 8．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 9．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（     ） A．快车和慢车相遇时，快车距离B地 B．相遇后，快车再行驶到达B地 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】先函数图像可知A，B两地相距，快车出发到达目的地，慢车出发到达目的进而可得出快车比慢车早到达目的地，同时也可求出快车和慢车的速度，再由函数图象可知两车出发后相遇，进而可求出相遇后，快车再行驶到达B地，快车距离B地． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距， 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论正确，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论错误，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇， ∴相遇后，快车再行驶到达B地，故B结论错误，不符合题意； 快车和慢车相遇时，快车距离B地，故A错误．不符合题意. 10．如图，在中，，，分别为边、上的点，且，，分别为，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接、，利用三角形中位线定理求出、的长及位置关系，进而求出的度数，最后通过构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于点； 、分别为、的中点， 是的中位线， ，； 、分别为、的中点， 是的中位线， ，； ，， ∴，， ； ， ∴； 在Rt中，，， ， 由勾股定理得； ； 在Rt中，． 【点睛】 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式：__________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一次函数表达式为， 一次函数的图象经过点， ， 函数值随自变量的增大而减小， ， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 12．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】设尺，则有尺，然后对运用勾股定理建立方程． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 13．某校学生会想从小聪和小明两人中推荐一人当校史馆讲解员，决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查，结果如下图．如果把口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表分别按的权重计算平均分，则__________更具优势． 【答案】小明 【分析】分别求出两个人的加权平均数，比较后即可得到结论． 【详解】解：小聪的平均成绩为分， 小明的平均成绩为分， ∵， ∴小明更具优势． 14．在平面直角坐标系中，直线平行于轴，且交一次函数的图像于点，交轴于点，且在轴上存在点，点若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点A的坐标为____． 【答案】或 【分析】根据题意可得平行于轴，在轴上，故，结合平行四边形对边平行且相等的性质，得到，计算长度后列方程求解点的横坐标，代入一次函数得到点的纵坐标． 【详解】解：设点的横坐标为， 平行于轴，点在轴上， ， 将代入得， ∴， ，， ，在轴上， ∴， ∵以为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， ， 解得或， 当时，，得． 当时，，得． 15．如图，在菱形中，，为边的中点，连接，，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，可得是的中位线，，由四边形是菱形，，可得是等边三角形，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． 【答案】 【详解】解： ． （2）．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数． 【答案】18 【分析】边形的内角和为，再结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为18． 17（7分）．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 18．（9分）某中学为提升学生消防安全意识，开展了“消防知识竞赛”活动，竞赛成绩按从高到低分为A、B、C、D四个等级，活动结束后随机抽取七年级和八年级各50名同学的竞赛成绩进行调查分析．同时绘制了如图1和2所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中所给信息，解答下列问题： (1)七年级抽取的学生中成绩为B的有 人，八年级抽取学生的竞赛成绩统计图中 ； (2)嘉嘉和淇淇在抽取学生的竞赛成绩中分别位居七年级和八年级的第26名．通过统计图分析谁的成绩高； (3)该中学七年级有480名同学，八年级有500名同学，请估计七、八年级竞赛成绩为D的总人数． 【答案】(1)18； (2)淇淇的成绩高，理由见解析 (3)（人） 【分析】（1）根据总人数计算七年级抽取的学生中成绩为B的人数即可；用1减其他部分的占比即可得到； （2）根据题意得出嘉嘉和淇淇竞赛成绩所在的等级，根据等级判断即可； （3）由样本所占比例估计总体的人数即可． 【详解】（1）解：（人）， ，圆心角为， 故七年级抽取的学生中成绩为B的有18人，； （2）解：（人），， 七年级第26名同学的成绩为C，即嘉嘉的成绩为C． 八年级抽取学生中成绩为A的有（人）， 成绩为B的有（人）， ， 八年级第26名同学的成绩为， 即淇淇的成绩为, 淇淇的成绩高； （3）解：七、八年级竞赛成绩为的人数为（人）． 19．（8分）学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障，绿植养护营养土购买方案选择 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)（，且为正整数），（，且为正整数）； (2)当（为正整数）时，选择“绿园”店购买更划算；当时，两家店花费相同，任意选择即可；当（为正整数）时，选择“植享”店购买更划算． 【分析】（1）根据两家店铺的收费规则，结合题干的条件，分别列出总费用和购买袋数的函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程和一元一次不等式求解，分情况得到不同购买量下更划算的方案． 【详解】（1）解：“绿园”店无论购买多少均不打折，每袋售价18元， 购买袋总费用为，其中，为正整数． “植享”店时，前3袋每袋20元，超过3袋的部分打八折，超过部分每袋价格为元， 因此总费用为 ，其中，为正整数． （2）分三种情况比较费用大小： 当时， 解得： ∴当（为正整数）时，选择“绿园”店购买更划算； 当时， 当时，两家店花费相同，任意选择即可； 当时， 当（为正整数）时，选择“植享”店购买更划算． 20．（7分） 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 21．（9分）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②图见解析 (2)①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 填表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 描点，连线得， （2）解：①当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 22．综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，把当时，；当时，代入解析式，得，解答即可； （2）根据自变量的值求函数值即可； （3）当时，实验结束，得，解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，根据自变量值求函数值，根据函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法，借助解析式计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，把当时，；当时，代入解析式，得， 解得， 故． （2）解：当时，， 答：水面高度h的值． （3）解：当时，实验结束，得， 解得， 实验结束时的时间． 24．综合与探究 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)（或） (2)①15，15；②，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 取的中点N，连接， ， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ， 故答案为：（或）． （2）解：四边形是正方形 ， 由折叠性质得：， ① ∴ ， 故答案为：，． ②，理由如下： 四边形是正方形 ， 由折叠可得， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点在点的上方时，如图， ，， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 试卷第20页，共23页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $