精品解析：福建省永定第一中学2025-2026学年高一上学期数学期中考试模拟试卷（实验班）

永定一中2025级高一上学期半期考试 数学模拟试卷 考试时间：120分钟； 考试分数：150分 第一部分（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 4. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时.若对任意的恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是 B. 若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为 C. 若，，且，则的最小值为18 D. 已知函数，若，则实数a的值为或 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 第二部分（非选择题 ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______． 13. 如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，则矩形花坛面积最小值为________. 14. 已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求和； （2）设，若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 19. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定一中2025级高一上学期半期考试 数学模拟试卷 考试时间：120分钟； 考试分数：150分 第一部分（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，符合题意， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A. 2. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数是上的减函数，列出不等式，解出实数的取值范围． 【详解】因为是上的减函数，故，故， 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题． 3. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C 4. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，，，则的范围要包含. 【详解】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含， 故选：A． 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时.若对任意的恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇偶性和解析式分析函数在定义域内是单调递增，转化为，得恒成立，求参数范围. 【详解】当时，，所以在上单调递增且， 又是定义在上的奇函数，，综上在上单调递增， 由，可得， 则，所以，即对任意的恒成立，所以， 得， 解得. 故选：C 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和单调性解决不等式恒成立求参数范围问题，其中涉及转化与化归思想. 6. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性. 7. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得在恒成立，又，所以在恒成立，即在恒成立，令，，设，求解的最小值即可． 【详解】因为函数与是区间的“2阶依附函数”， 所以在恒成立， 又因为在单调递增，则， 所以在恒成立，即在恒成立， 不等式右侧可整理为， 令，，设，， 则， 因为，所以且， 即，在单调递增，则时有最小值， ，所以， 故选：A. 8. 已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】令，其对称轴为， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以， 且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一判断. 【详解】A、C选项的定义域和对应法则一致，故为同一函数： B选项中函数的定义域为,而的定义域为，故两函数定义域不一致，不是同一函数. D选项中函数的定义域为,而的定义域为， 故两函数定义域相同，且对应关系也相同，故是同一函数. 故选:ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是 B. 若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为 C. 若，，且，则的最小值为18 D. 已知函数，若，则实数a的值为或 【答案】CD 【解析】 【分析】对于选项A：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，解出答案，即可判断； 对于选项B：根据对钩函数的性质得出若时，，即可判断； 对于选项C：根据已知得出，即可根据基本不等式1的妙用得出，根据基本不等式得出答案，即可判断； 对于选项D：根据分段函数求函数值判断a的值为或是否满足题意. 【详解】对于选项A：若对任意实数x都成立，则在上恒成立， 当时，，满足题意， 当时，在上恒成立，则，解得，故A错误； 对于选项B：根据对钩函数的性质可得函数在上单调递增， 则当时，， 故当恒成立，则实数a取值范围为，故B错误； 对于实数C：，，且，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，则，满足题意， 若，则，满足题意，故D正确； 故选：CD. 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，先求新函数的最大值与最小值之和，再求的最大值与最小值之和. 【详解】设函数，则的最大值为，最小值为， 易知是奇函数，所以，所以， 故答案为： 13. 如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，则矩形花坛面积最小值为________. 【答案】320 【解析】 【分析】设，，由已知可得，，可推出.根据面积公式，用基本不等式即可求得最小值. 【详解】设，， 则根据题意，有，则有，即，. ， 当且仅当，，且，，即，时等号成立， 所以，矩形花坛面积最小值为320. 故答案为：320. 14. 已知集合为集合的子集，并且集合中任意两个元素之和不能被3整除，则集合中元素个数的最大值为______. 【答案】676 【解析】 【分析】利用集合中元素被3除的余数构造集合的划分，进而根据题意得中元素个数的最大值. 【详解】对于集合， 所有被3除余数为1的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有被3除余数为2的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有能被3整除的元素组成的集合为，元素个数为674； 由题意，，且中任意两个元素之和不能被3整除， 又因为，集合中任意一个元素与集合中任意一个元素之和能被3整除， 所以集合中的元素和集合中的元素不能都属于集合， 因为集合中任意一个元素与集合或与集合中任意一个元素之和都不能被3整除， 且集合中任意两个元素之和都能被3整除， 所以当集合中元素个数最多时， 集合，其中；或者，其中； 故集合中元素个数的最大值为. 故答案为： 676. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求和； （2）设，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由题意，可得， 所以，． 【小问2详解】 因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 16. 已知函数是R上的奇函数． （1）求a的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) ； (2)由(1)知，∴在上单调递增. 证明：设，则 ∵，∴ 又∵， ∴ ∴即 ∴在上单调递增. (3) . 【解析】 【分析】(1)由可直接求出结果； (2)设，再通过作差判断的符号即可判断单调性； (3)首先根据奇函数转变为，再根据单调性转化为，最后参变分离即可求解.. 【详解】(1)∵是R上的奇函数 ∴，即：，∴. (2)略 (3) ∵ ∴ ∵是R上的奇函数，∴ 即 由(2)知在上单调递增 ∴ 故对任意实数恒成立 由得，∴ ∴，则 ∴ 【点睛】定义法判断函数单调性的一般步骤： 1.取值，设，且； 2.作差，求； 3.变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 4.判断的正负符号； 5.根据函数单调性定义下结论. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． 【小问2详解】 ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1），证明:因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用的单调性可得，分类讨论可求不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【点睛】思路点睛： 1，对抽象函数求函数值的题型，主要是赋值法， 2，解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集. 19. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 【答案】（1）对于集合，取， 满足，，，，且， 所以集合为“完美集合”， 若为“完美集合”，则存在，使得，，，， 设中各元素的和为，中各元素的和为，中各元素的和为， 则有且， 所以，它不是整数，矛盾，故不是“完美集合”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据完美集合的定义可得中的最大元素就是，再根据三个集合的和的关系得到中各元素的和为，它是中去掉某个元素后余下4个元素的和，分类讨论后可得的值. 【详解】（1）略 （2）因为为“完美集合”，由（1）可知，根据定义可知为中的最大元素，故， 又中各元素的和为，所以的另一个元素为， 它是中的某个数， 因为中各元素之和为，它必是中去掉某个元素后余下4个元素的和，共有5种情形：，对应的的值. 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当或 时，或，余下任何两个元素的和不超过 ，故不满足定义要求， 综上,. 【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，找到完美集合的三个无公共元素的子集的诸元素之和的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $