2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末能力提优卷-

**基本信息** 苏科版八年级下册期末提优卷，以中国结、二维码等现实情境为载体，融合统计与概率、分式、四边形等知识，通过分层设计考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题|统计调查、分式判断、确定事件|结合足球联赛调查、二十四节气考抽象能力| |填空|6题|频率计算、因式分解、二次根式规律|以对联动词频率、转盘概率考数据意识| |解答|10题|分组分解、动点几何、函数利润|中国结菱形计算考几何直观，奶茶店利润考模型意识，正方形旋转综合题考推理能力|

期末能力提优卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．为了解江苏省足球联赛各球队主场观众的平均年龄，下列调查方式合适的是（     ） A．对所有主场观众进行普查 B．对月日南京淮安这场比赛的主场观众进行普查 C．抽取部分球队多场比赛的主场观众进行抽查 D．对常州所有比赛的主场观众进行普查 2．在下列式子：①；②；③；④中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列事件中，属于确定事件的是（     ） A．随机选取《九章算术》中的一道应用题，其解法用到方程思想 B．在传统围棋对弈中，执黑棋的一方最终获胜 C．南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中任意翻开一页，页码是奇数 D．我国传统二十四节气中，冬至日一定是北半球一年中白昼最短的一天 4．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图是某地区年至年教育经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的教育经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．分别利用这两个模型，计算该地区年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ） A．将代入模型①计算 B．将代入模型①计算 C．将代入模型②计算 D．将代入模型②计算 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 8．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 9．随着旧城改造项目的加速推进，翻新过后的南宁中山路夜市迅速成了热门打卡地．某校八年级学生小苏和小霞相约前往距离学校的中山路夜市，小苏骑自行车先走20分钟，小霞乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑行速度的2倍，设小苏骑行的速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 10．中国结寓意团圆、美满，在我们贵州，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小阳家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了贵州少数民族传统图案．如图为其简化示意图，测得，，于点，则的长为（  ） A．16 B．18 C．19.2 D．20 二、填空题 11．淮安区河下古镇有一副对联，上联为“小大姐，上河下，坐南朝北吃东西”，就这副上联中出现表示动词的字的频率为________（河下为地名）． 12．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 13．无论取何值，代数式的值一定是_______． 14．如果方程有增根，那么增根为________． 15．正方形的边长为，，为边上的一动点，，，的最小值为________． 16．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 三、解答题 17．分解因式： (1) (2) 18．解方程：． 19．计算： (1) (2) 20．万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 21．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 22．为弘扬中华优秀传统文化，某市博物馆开通了“云游博物馆”线上平台．为全面了解本市九年级学生利用该平台进行线上参观的实际情况，市教育部门随机抽取了若干名九年级学生，统计了他们上个月在“云游博物馆”平台上的累计参观时长（单位：分钟），将参观时长分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，并根据数据绘制成如下不完整统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求参观时长分组在所对应的人数，并补全直方图； (2)该市九年级共有学生50000人，若将累计参观时长超过30分钟的学生视为“云游博物馆”的活跃参与者，请估计该市九年级学生中“云游博物馆”活跃参与者的总人数； (3)市博物馆计划根据此次调查结果，针对不同参观时长的人群推出个性化的线上文化活动推送，你认为博物馆还可以收集哪些方面的数据来使推送更精准？请提出一条建议，并简要说明理由． 23．奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ (2)若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 25．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 26．综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： (1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： (2)博雅小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明. (3)卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： (4)在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提优卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D D C D C A C 1．C 【详解】解：A、江苏省足球联赛各球队主场观众总数大，普查实施难度高，成本大，A选项的普查方式不合适； B选项仅抽取单场比赛的观众，D选项仅抽取常州地区比赛的观众，样本不具备代表性与广泛性，无法反映江苏省所有球队主场观众的整体年龄情况，故B，D不合适； C选项采用抽样调查，抽取的样本涵盖部分球队的多场比赛，具备代表性，符合实际调查要求，故C方式合适； 故选：C． 2．B 【详解】解：①的分母是常数，不含字母，不是分式； ②的分母含有字母，是分式； ③中是常数，分母不含字母，不是分式； ④的分母含有字母，是分式； 综上，共有个分式． 3．D 【详解】解：A、《九章算术》中的题目解法不一定用到方程思想，结果不确定，是随机事件，不符合要求； B、围棋对弈中执黑一方不一定获胜，结果不确定，是随机事件，不符合要求； C、翻开《数书九章》任意一页，页码可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，是随机事件，不符合要求； D、根据常识，我国传统二十四节气中，冬至日一定是北半球一年中白昼最短的一天，该事件一定发生，是必然事件，必然事件属于确定事件，符合要求； 故选：D． 4．D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 5．D 【分析】先确定两个模型中年对应的值：模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 但模型①是用年（最早）和年（最晚）的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠； 对于模型②：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 再看折线图的趋势：年之后教育经费投入的增长模式发生了变化， 模型①用了年的全部数据，包含了前期增长较慢的阶段，和后期增长模式不符； 模型②用了年的数据，更贴合后期的增长趋势， 所以用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 6．C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个计算选项即可判断正误. 【详解】选项A：∵，∴，A错误； 选项B：∵和不是同类二次根式，不能直接合并，∴，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误. 7．D 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 8．C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 9．A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， ， 即． 10．C 【分析】根据菱形的性质，先求得菱形的边长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 11． 【分析】先统计上联中总字数，再统计其中是动词的字的个数，根据频率的定义计算即可得到结果． 【详解】解：上联总字数为，其中表示动词的字为：上、坐、朝、吃，共个； 根据频率的定义：频率，可得所求频率为． 12．黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 13． 负数 【分析】先对原代数式配方变形，再利用平方数的非负性判断代数式的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：， ∵无论取何值，都有， ∴，则， 故该代数式的值一定是负数． 14． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，只需确定增根的可能值，令最简公分母为即可．本题中分母和互为相反数，最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 方程的增根为． 检验：当 时，最简公分母 ，所以原分式方程无解，其增根为． 15． 【分析】过点作于点，于点，证明 ，得出 ，，利用勾股定理求解的最小值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ，， 在中， 由勾股定理得 ， ∴当时，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 16．(1) (2) 【分析】（1）观察表格可知，每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行从左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大，计算出第7行，第2列上的二次根式是第32个二次根式，即可解答； （2）计算可得是第406行从左往右第5个二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：第7行，第2列上的二次根式是第个二次根式， ∴第7行，第2列上的二次根式为； （2）解：∵， ∴是第406行， ∵第406行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第406行第5列，记作． 17．(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可求解； （2）提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： . 18． 【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化成整式方程，再去括号，移项合并同类项解出，注意分式方程一定要检验． 【详解】解： ， ， ， 解得． 检验，当时，， 是原分式方程的解． 19．(1)； (2)． 【分析】（1）利用完全平方公式进行化简计算； （2）根据乘法的分配律进行简单的二次根式计算，最后进行化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．(1) (2) (3)小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【详解】（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． （2）解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． （3）略 21．(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 22．(1)人，频数分布直方图见解析 (2)30000人 (3)见解析 【分析】（1）先求出抽取的人数，再由总人数减去A、B、D、E组的人数，即为C组的人数，即可作图； （2）用样本估计总体的方法求解即可； （3）可收集学生希望每次线上参观的“理想时长”数据，通过对比实际参观时长与理想时长的差异，可以判断当前内容是否存在过长枯燥或过浅不过瘾的问题． 【详解】（1）解：抽取的人数为：，C组的人数为： 补图如图 （2）解：． 答：该市九年级学生中“云游博物馆”活跃参与者的总人数有30000人． （3）解：建议合理即可，比如：收集学生希望每次线上参观的“理想时长”数据，理由：通过对比实际参观时长与理想时长的差异，可以判断当前内容是否存在过长枯燥或过浅不过瘾的问题． 23．(1) 10元 (2) 旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元 【分析】（1）设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设可获得的总利润为元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是10元． （2）解：设可获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元． 答：旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元． 24．(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)或，理由见解析 【分析】（1）利用t表示出和的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此列出方程求得t值． （3）分别从和两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：四边形能够成为菱形． ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即， 解得：， 即当时，平行四边形是菱形； （3）解：当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形． 理由如下：当时，如图， ∵， ∴， ∴，， 即， 解得：； 当时，如图， 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ， ， ∵， ， 解得． 综上所述，当时或当时，也是直角三角形． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知个等式的，即可求解； （2）观察已知个等式的，即可求解； （3）式子化为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 26．(1)正方形 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论； （2）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （3）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （4）取的中点M，取的中点N，连接，求得，再证明，利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】（1）解：点E在对角线中点O处，点F与点B重合，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． （3）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形，O是的中点， O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，O是的中点， ， G是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， G是的中点， ， ， ． （4）解：取的中点M，取的中点N，连接， ， 根据（3）得， ，， ， 四边形是正方形，O是的中点， ，，， ， ， 过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $